小波變換與小波濾波匯報人：***指導老師：***匯報日期：2014.4.211.1小波變換的由來2基本思想： 將信號分解成一系列不同頻率的連續正弦波的疊加。缺陷：丟掉了時間信息，無法根據變換結果判斷一個特定的信號是在什么時候發生的。傅立葉變換1.1

小波變換的由來FT變換適于分析平穩信號。實際中大多數信號含有大量的非平穩信號，例如：突變，奇異，事件的起始與終止等情況。這些情況反映了信號的重要特征，是分析的對象。例如下圖：典型的地震信號。3典型的地震記錄4實際采集的地震信號它們的頻域特性都隨時間而變化。分析它需要提取某一時間段的頻域信息或某一頻率段所對應的時間信息如何完成只分析數據中的一小部分?51.2短時傅立葉變換（STFT）基本思想：給信號加一個小窗，主要集中在對小窗內的信號進行變換，因此反映了信號的局部特征。61.2短時傅立葉變換（STFT）缺陷：

其窗函數的大小和形狀均與時間和頻率無關，保持固定不變，對于分析時變信號不利。（高頻信號持續時間短，低頻長。我們希望對于高頻采用小的時間窗，低頻使用大時間窗進行分析。）

STFT無能為力了！

不能構成正交基，給數值計算帶來不便。

7小波信號隆重登場登場原因：（1）繼承和發展了STFT的局部化思想。（2）克服了窗口大小不隨頻率變化、缺乏離散正交基的缺點。8正交基的解釋

若一物體可用顏色和大小表示，我們稱顏色和大小為特征基，構成此物體特征描述空間。

大小和顏色是互不相干的2種描述，我們稱其為正交。 同時若這些基能夠完全表示所有物體，我們稱其為完備特征基。

因為特征基表現了物體特征，因而可以用更簡潔的描述表示物體。

9小波變換的提出1984年法國的年輕的地球物理學家JeanMorlet在進行石油勘探的地震數據處理分析時與法國理論物理學家A.Grossman一起提出了小波變換(wavelettransform,WT)的概念101.3小波變換定義及特點小波（Wavelet），即小區域的波，是一種特殊的長度有限、平均值為0的波形。特點：（1）“小”，即在時域都具有緊支集或近似緊支集（2）正負交替的“波動性”，也即直流分量為零111.3小波變換定義及特點121.3小波變換定義及特點傅立葉分析所用的正弦波在時間上沒有限制，從負無窮到正無窮，但小波傾向于不規則與不對稱。FT將信號分解成一系列不同頻率正弦波的疊加，小波分析是將信號分解成一系列小波函數的疊加。而這些小波函數都是由一個母小波函數經過平移與尺度伸縮得來的。用不規則的小波函數來逼近尖銳變化的信號顯然要比光滑的正弦曲線要好，同樣，信號局部的特性用小波函數來逼近顯然要比光滑的正弦函數來逼近要好。1314

連續小波變換（ContinuousWaveletTransform，CWT）用下式表示：表示小波變換是信號f(x)與被縮放和平移的小波函數ψ()之積在信號存在的整個期間里求和的結果。1.4連續小波變換CWT的變換結果是許多小波系數C，這些系數是縮放因子（scale）和平移（position）的函數。

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基本小波函數ψ()的縮放和平移操作

(1)縮放。就是壓縮或伸展基本小波，縮放系數越小，則小波越窄小波的縮放操作

16(2)平移。小波的延遲或超前。在數學上,函數f(t)延遲k的表達式為f(t-k)，小波的平移操作(a)小波函數ψ(t)；(b)位移后的小波函數ψ(t-k)

基本小波函數ψ()的縮放和平移操作1.5小波變換的步驟小波變換的步驟:

一取一個小波與信號的最前面部分比較;

二計算相關因子C,C代表小波和這段數據的相關性 即:C越大,兩者越相似;171.5小波變換的步驟

三移動小波,重復步驟一和二,一直遍歷整個數據;18

四對小波進行縮放,重復步驟一到三;五在所有小波尺度下,重復上述步驟.1.5小波變換的步驟19小波尺度和信號頻率的關系小尺度信號的高頻大尺度信號的低頻20

在每個可能的縮放因子和平移參數下計算小波系數，其計算量相當大，將產生驚人的數據量，而且有許多數據是無用的。1.6離散小波變換（DWT）

如果縮放因子和平移參數都選擇為2j（j>0且為整數）的倍數，即只選擇部分縮放因子和平移參數來進行計算，就會使分析的數據量大大減少。21

使用這樣的縮放因子和平移參數的小波變換稱為雙尺度小波變換（DyadicWaveletTransform），它是離散小波變換（DiscreteWaveletTransform，DWT）的一種形式。1.6離散小波變換（DWT）通常離散小波變換就是指雙尺度小波變換。

22執行離散小波變換的有效方法是使用濾波器，該方法是Mallat于1988年提出的，稱為Mallat算法(馬拉)。這種方法實際上是一種信號分解的方法，在數字信號處理中常稱為雙通道子帶編碼。1.6離散小波變換（DWT）23一個濾波器為低通濾波器，通過該濾波器可得到信號的近似值A（Approximations）另一個為高通濾波器，通過該濾波器可得到信號的細節值D（Detail）。1.6離散小波變換（DWT）24實際應用中，信號的低頻分量往往是最重要的，而高頻分量只起一個修飾的作用。如同一個人的聲音一樣，把高頻分量去掉后，聽起來聲音會發生改變，但還能聽出說的是什么內容，但如果把低頻分量刪除后，就會什么內容也聽不出來了。1.6離散小波變換（DWT）25圖多級信號分解示意圖（a）信號分解；(b)小波分樹；（c）小波分解樹26在使用濾波器對真實的數字信號進行變換時，得到的數據將是原始數據的兩倍。根據尼奎斯特(Nyquist)采樣定理就提出了降采樣的方法，即在每個通道中每兩個樣本數據取一個，得到的離散小波變換的系數(coefficient)分別用cD和cA表示1.6離散小波變換（DWT）27

將信號的小波分解的分量進行處理后，一般還要根據需要把信號恢復出來，也就是利用信號的小波分解的系數還原出原始信號，這一過程稱為小波重構（WaveletReconstruction）或叫做小波合成（WaveletSynthesis）。1.7小波重構

這一合成過程的數學運算叫做逆離散小波變換（InverseDiscreteWaveletTransform，IDWT）。

28小波重構算法示意圖

1.7小波重構

29(1)重構近似信號與細節信號

由小波分解的近似系數和細節系數可以重構出原始信號。 同樣，可由近似系數和細節系數分別重構出信號的近似值或細節值，這時只要近似系數或細節系數置為零即可。

1.7小波重構

30重構近似和細節信號示意（a）重構近似信號；(b)重構細節信號

1.7小波重構

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(2)多層重構 重構出信號的近似值A1與細節值D1之后，則原信號可用A1＋D1＝S重構出來。對應于信號的多層小波分解，小波的多層重構圖:

1.7小波重構

32重構過程為：A3＋D3＝A2；A2＋D2＝A1；A1+D1＝S。1.7小波重構

應用之一：小波分析信號去噪中的應用主要內容心電信號的噪聲特點小波分析與傳統信號處理方法的比較小波去噪的基本原理小波去噪的基本步驟小波去噪中的閾值函數和閾值的選取小波去噪中小波函數的選擇去噪效果的評價程序說明總結心電信號（ECG）是典型的強噪聲的非平穩的隨機信號。正常心電信號的頻率范圍在0.01Hz-100Hz之間，而90%的ECG頻譜能量又集中在0.25Hz-35Hz之間。在心電信號的采集和A/D轉換過程中,心電信號不可避免地受到各種類型的噪聲干擾,概括起來主要包括以下三類噪聲:一、心電信號的噪聲特點（1）由于電源磁場作用于心電圖機與人體之間的環形電路所致的50Hz/60Hz工頻干擾;（2）由于病人肌肉緊張產生的肌電干擾;（3）由于病人呼吸運動或者由電極—電極—皮膚之間界面阻抗所致的頻響,一般小于1Hz的基線漂移；這些噪聲干擾與心電信號混雜,引起心電信號的畸變,使整個心電信號波形模糊不清,對隨后的信號分析處理,尤其是計算機自動識別診斷造成誤判和漏判,因此,心電信號的消噪有重要的意義。二、小波分析的去噪原理在實際工程應用中，通常所分析的信號具有非線性，非平穩,并且奇異點較多的特點。含噪的一維信號模型可表示為：其中，f(t)為真實信號，s(t)為含噪信號，e(t)為噪聲，為噪聲標準偏差。

有用信號通常表現為低頻信號或是相對比較平穩。而噪聲信號通常表現為高頻分解后，含噪部分主要集中在高頻小波系數中，并且，包含有用信號的小波系數幅值較大，但數目少；而噪聲對應的小波系數幅值小，數目較多。基于上述特點，可以應用門限閾值法對小波系數進行處理。（即對較小的小波系數置為０，較大的保留或削弱），然后對信號重構即可達到消噪的目的。CD3CD2CA3CA2sCA1CD1小波分解的結構示意圖小波分解系數示意圖三、小波分解示意圖：四、一維信號利用小波除噪的步驟1.小波變換去噪的流程示意圖：預處理小波變換多尺度分解各尺度小波系數除噪小波逆變換重構信號除噪后的信號含噪信號２．小波除噪的具體步驟：(1)對含噪信號進行預處理,并進行小波分解。選擇小波確定分解的層數N,然后對信號s進行N層分解。(2)小波分解的高頻系數的閾值量化。對第一層到第N層高頻系數，選擇軟閾值或硬閾值量化處理。(３)一維小波重構。根據小波分解的第N層低頻系數和第一層到第N層的高頻系數，進行一維重構。在上面的步驟中，最為關鍵的就是如何選取閾值和如何閾值量化，從某種意義上講，它直接影響信號去噪的質量。五、閾值函數和閾值的選取１．閾值函數閾值函數分為軟閾值和硬閾值兩種。(1).硬閾值(hardthresholding)當小波系數的絕對值大于等于給定閾值時，保持不變，而小于時，令其為０。即：(2).軟閾值(softthresholding)當小波系數的絕對值大于等于給定的閾值時，令其值為減去閾值；而小于時，令其為０．即：采用這種閾值方法去噪在實際應用中，已取得了較好的效果，但也存在著一些潛在的缺點，如硬閾值在閾值點不連續，重構可能產生一些震蕩；軟閾值連續，但估計的小波系數和分解的小波系數有恒定的偏差，直接影響重構信號對真實信號的逼近程度．２．閾值的選取閾值的選擇是小波去噪和收縮最關鍵的一步，在去噪過程中閾值起著決定性的作用：如果太小，施加閾值后小波系數包含太多的噪聲分量，達不到去噪效果；反之，則去除了有用部分，使信號失真。閾值選擇方案及對應的MATLAB命令(1)固定閾值(’sqtwolog’)選取的算法是：

(2)Stein無偏似然估計閾值(’rigrsure’)對于給定一個閾值t，得到它的似然估計，再將非似然的t最小化，就得到了所選的閾值。(3)啟發式閾值(‘heursure’)它是前兩種閾值的綜合，是最優預測變量閾值選擇，如果信噪比很小時，無偏似然估計的誤差較大，此時，采用固定閾值。令：進行比較，如果時采用固定閾值，反之，選擇無偏似然估計。(4)極大極小閾值(‘minimaxi’)它的原理是令估計的最大風險最小化，其閾值選取的算法是：六、小波函數的選擇小波變換不像傅里葉變換是由正弦函數唯一決定的，小波基可以有很多種，不同的小波適合不同的信號去噪，對于確定的信號，如果小波選擇不當，去噪結果可能相差很遠，還有可能丟失有用的信息。面對各種小波，到底選擇哪一種來處理心電信號才能滿足醫療上的需要，必須經過大量的仿真研究結果來進行