第5章剛體的轉動本章內容5.1剛體轉動的描述5.2轉動慣量及計算5.3轉動定律5.4轉動定律的應用5.5角動量守恒5.6轉動中的功和能5.7*進動5.1剛體轉動的描述剛體可以看成是很多質元組成的質點系，且在外力作用下，各個質元的相對位置保持不變剛體在受力時不改變形狀和體積的物體剛體是固體物件的理想化模型平動和轉動平動：剛體在運動過程中，其上任意兩點的連線始終保持平行。可以用質點動力學的方法來處理剛體的平動問題。注：轉動：剛體上所有質點都繞同一直線作圓周運動。這種運動稱為剛體的轉動。這條直線稱為轉軸。定軸轉動：轉軸固定不動的轉動。P點線速度P點線加速度旋轉(切向)加速度向軸(法向)加速度瞬時軸vωrrP×基點O剛體剛體繞O的轉動其轉軸是可以改變的，反映順時軸的方向及轉動快慢，引入角速度矢量和角加速度矢量5.2轉動慣量及計算質元：組成物體的微顆粒元質元對點的角動量為沿轉軸Oz的投影為剛體對Oz軸的角動量為令為剛體對Oz軸的轉動慣量。剛體的轉動慣量與剛體的形狀、大小、質量的分布以及轉軸的位置有關。結論：對于質量連續分布的剛體：（面質量分布）（線質量分布）（體質量分布）例1.

計算質量為m，長為l的細棒繞一端的轉動慣量。oxzdxdmx解：O1.將棒彎一半成90度;2.將Z軸移至細棒中心位置;oR例2.一質量為m，半徑為R的均勻圓盤，求通過盤中心并與盤面垂直的Z軸轉動慣量。解：rdr1.將圓盤切成一半;2.將軸平行移至與盤邊緣相切處;3.將Z軸移至通過圓心并在圓面上;mRJz平行軸定理若剛體對過質心的軸的轉動慣量為Jc，則剛體對與該軸相距為d的平行軸z的轉動慣量Jz是Jc平行軸定理證明:平行=m質心=0

對薄平板剛體的正交軸定理y

rixz

yi

xi

mi

Δ例3.

已知圓盤JZ=0.5mR2,求對圓盤的一條直徑的Jx

yxz

圓盤RCm由JJJJJJJmRzyxxyxy=+=ìí?\==142回轉半徑設物體的總質量為m，剛體對給定軸的轉動慣量為J，則定義物體對該轉軸的回轉半徑rG為：z例4.計算鐘擺的轉動慣量。（已知：擺錘質量為m，半徑為r，擺桿質量也為m，長度為2r）ro解：擺桿轉動慣量：擺錘轉動慣量：解題思路1.確定研究對象屬性;2.寫出擺桿轉動慣量;3.寫出擺錘轉動慣量;4.計算鐘擺轉動慣量;5.3轉動定律

由質點系對軸的角動量定理，可得兩邊乘以dt，并積分剛體對定軸的角動量定理：在某一時間段內，作用在剛體上的外力之沖量矩等于剛體的角動量增量。當J轉動慣量是一個恒量時，有或剛體在作定軸轉動時，剛體的角加速度與它所受到的合外力矩成正比，與剛體的轉動慣量成反比。轉動定律：轉動慣量J是剛體轉動慣性的量度例5.質量為M=16kg的實心滑輪，半徑為R=0.15m。一根細繩繞在滑輪上，一端掛一質量為m的物體。求（1）由靜止開始1秒鐘后，物體下降的距離。（2）繩子的張力。解：MmmgTm1?例6.一質量為m，長為l的均質細桿，轉軸在o點，距A端l/3。今使棒從靜止開始由水平位置繞o點轉動，求：（1）水平位置的角速度和角加速度。（2）垂直位置時的角速度和角加速度。解：（1）coBA（2）coBA例7.一半徑為R，質量為m的均勻圓盤平放在粗糙的水平面上。若它的初速度為o，繞中o心旋轉，問經過多長時間圓盤才停止。（設摩擦系數為）or解drR3-1-4剛體對定軸的角動量守恒定律剛體對定軸的角動量定理恒量當時剛體對定軸的角動量守恒定律：當剛體所受的外力對轉軸的力矩之代數和為零時，剛體對該轉軸的角動量保持不變。注意：該定律不但適用于剛體，同樣也適用于繞定軸轉動的任意物體系統。說明：1.物體繞定軸轉動時角動量守恒是指轉動慣量和角速度的乘積不變。方向也不變。2.幾個物體組成的系統，繞一公共軸轉動，則對該公共轉軸的合外力矩為零時，該系統對此軸的總角動量守恒常平架回轉儀裝置軸承光滑，在不太長的時間內，空氣與軸摩擦阻力的沖量矩和回轉儀的角動量相比是很小的!可近似認為:角動量守恒，矢量方向不變表現為轉軸方向不變，大小不變表現為回轉儀的恒定角速率轉動

軍艦的穩定性例8.質量為M0，半徑為R的轉盤,可繞鉛直軸無摩擦轉動,初角速度為零,一質量為m的人,在轉盤上從靜止開始沿半徑為r的圓周相對圓盤勻速跑動,如圖所示.求當人在轉盤上運動一周回到盤上的原位置時,轉盤相對地面轉過的角度。解：由系統角動量守恒知:設人相對于轉盤角速度為orR轉盤相對于地的角速度為解題思路寫出人的絕對角速度;運用角動量守恒定理;積分求解;3-1-5力矩的功力矩：力矩對剛體所作的功：功率：力矩對剛體的瞬時功率等于力矩和角速度的乘積。3-1-6剛體的定軸轉動動能和動能定理zmi第i個質元的動能：整個剛體的轉動動能：設在外力矩M的作用下，剛體繞定軸發生角位移d

元功：由轉動定律有剛體繞定軸轉動的動能定理：合外力矩對剛體所做的功等于剛體轉動動能的增量。例9.質量為M，長為2l的均質細棒，在豎直平面內可繞中心軸轉動。開始棒處于水平位置，一質量為m的小球以速度u垂直落到棒的一端上。設為彈性碰撞。求碰后小球的回跳速度v以及棒的角速度。ou解：由系統角動量守恒解題思路寫出角動量守恒表達式;寫出機械能守恒表達式;解方程組;小球作為剛體,對定軸角動量為:機械能守恒設碰撞時間為t消去tyou由沖量與沖量矩例10.一長為l，質量為M的桿可繞支點o自由轉動。一質量為m，速度為v的子彈射入距支點為a的棒內。若棒偏轉角為30°。問子彈的初速度為多少。解：角動量守恒：oalv30°子彈作為剛體,射入前的角動量：射入后,子彈與桿作為一個剛體的角動量：機械能守恒：oalv30°例11.一質量為M，半徑R的圓盤，盤上繞由細繩，一端掛有質量為m的物體。問物體由靜止下落高度h時，其速度為多大？mgmMm解：T解題思路寫出剛體動能定理表達式;寫出質點動能定理表達式;解方程組;由力矩對剛體作功可知：由力對質點作功可知：也可視為力矩對剛體作功!mgmMmT例12.長為l的均質細直桿OA，一端懸于O點鉛直下垂，如圖所示。一單擺也懸于O點，擺線長也為l，擺球質量為m。現將單擺拉到水平位置后由靜止釋放，擺球在A處與直桿作完全彈性碰撞后恰好靜止。試求：⑴細直桿的質量M；⑵碰撞后細直桿擺動的最大角度。（忽略一切阻力）解

⑴按角動量守恒定律系統的動能守恒解題思路寫出剛體角動量守恒表達式;由動能不變列出表達式;確定質量;寫出機械能守恒表達式;計算出角度;解得系統的機械能守恒，有桿與地球構成系統，只有重力做功,機械能守恒初始：，Ek10=

令

EP10=末態：EJko2212=w,

EmglP24=-sinq

則：

12402Jmglowq-=sin

(1)例13.已知均勻直桿質量為m,長為l,初始水平靜止,軸光滑,AO=l/4.求桿下擺θ角度后,角速度為多少?軸對桿作用力為多少?解

由平行軸定理

JJmdoc=+2=+=1124748222mlmlml()(2)由(1)、(2)得：

wq=267glsin應用質心運動定理：vvvNmgmac+=$sinlmgNmalcl方向：-+=q

(3)$costmgNmatct方向：

q+=

(4)algcl==4672wqsin

(5)allmgJctlo==444aqcos=37gcosq(6)由(3)(4)(5)(6)可解得：Nmgl=137sin,qNmgt=-47cosqvNmglmgt=-13747sin$cos$qqNmg=+7153162sinqaq==--tgNNtgctgtl11413||()mghmv=122vghT=2(1)例14.如圖所示已知:M=2m,h,θ=600,求:碰撞后瞬間盤的角速度是多少?P轉到x軸時盤的角速度是多少?解

m下落:碰撞t極小，對m+盤系統，沖力遠大于重力，故重力對O力矩可忽略，角動量守恒：mvRJocosqw=(2)JMRmRmR=+=122222

(3)由(1)(2)(3)得：wqoghR=22cos

(4)對m+M+地球系統，只有重力做功，E守恒，則：P、x重合時EP=0。令1mgRJJosinqww+=12222(5)由(3)(4)(5)得：wqq=+ghRgR222cossin=+12243RghR.()()q=60oa===MJmgRmRgR222汽車的驅動力、打滑、翻車ＭＦ２Ｆ１一、驅動力問題汽車發動機內的燃氣壓力推動汽缸內的活塞經過傳導動機構傳到后輪上，對后輪作用一個驅動力矩Ｍ，而地面給后輪一個摩擦力Ｆ１，（主動輪），前輪為從動輪，有前滑的趨勢，地面對前輪有一個向后的摩擦力Ｆ２，只有當Ｆ１＞Ｆ２時，汽車才能前進，如果后輪不能提供足夠的摩擦力，此時發生打