數(shù)學建模電子教案教材:數(shù)學模型（第三版）姜啟源謝金星葉俊主講肖剛應用數(shù)學博士數(shù)學模型第一章建立數(shù)學模型第二章初等模型第三章簡單的優(yōu)化模型第四章數(shù)學規(guī)劃模型第五章微分方程模型第六章穩(wěn)定性模型第七章差分方程模型第八章離散模型第九章概率模型第十章統(tǒng)計回歸模型第十一章馬氏鏈模型第一章建立數(shù)學模型1.1從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型1.2數(shù)學建模的重要意義1.3數(shù)學建模示例1.4數(shù)學建模的方法和步驟1.5數(shù)學模型的特點和分類1.6怎樣學習數(shù)學建模為什么要學數(shù)學模型（數(shù)學建模）？數(shù)學模型無處不在

實際中，要用數(shù)學知識去解決實際問題，就一定要用數(shù)學的語言、方法去近似地刻畫該實際問題，這種刻畫的數(shù)學表述就是一個數(shù)學模型。歐幾里得幾何萬有引力定律能量轉換定律牛－萊公式柯西積分公式這可都是最好的數(shù)學模型呀！還有很多很多了，數(shù)學模型無處不在呀！數(shù)學模型在數(shù)學應用的各個領域無處不在；數(shù)學模型在日常生活中無處不在。合理投資的問題養(yǎng)老保險的問題住房公積金問題新技術傳播問題流言蜚語的傳播傳染病流行問題語言學中用詞量人口的增長問題減肥與增肥問題資源的管理問題借貸買房或購物比賽與競爭問題現(xiàn)在我可說“數(shù)學模型無處不在了！”玩具、照片、飛機、火箭模型……~實物模型水箱中的艦艇、風洞中的飛機……~物理模型地圖、電路圖、分子結構圖……~符號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征1.1

從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型我們常見的模型你碰到過的數(shù)學模型——“航行問題”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x=20y=5求解航行問題建立數(shù)學模型的基本步驟作出簡化假設（船速、水速為常數(shù)）；

用符號表示有關量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學式子（二元一次方程）；

求解得到數(shù)學解答（x=20,y=5）；

回答原問題（船速每小時20千米/小時）。數(shù)學模型(MathematicalModel)和數(shù)學建模（MathematicalModeling)對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內在規(guī)律，作出必要的簡化假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結構。建立數(shù)學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數(shù)學模型數(shù)學建模1.2

數(shù)學建模的重要意義

電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；

數(shù)學以空前的廣度和深度向一切領域滲透。數(shù)學建模作為用數(shù)學方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。

在一般工程技術領域數(shù)學建模仍然大有用武之地；

在高新技術領域數(shù)學建模幾乎是必不可少的工具；

數(shù)學進入一些新領域，為數(shù)學建模開辟了許多處女地。數(shù)學建模的具體應用

分析與設計

預報與決策

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理數(shù)學建模計算機技術知識經(jīng)濟如虎添翼1.3

數(shù)學建模示例1.3.1

椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析模型假設通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面;地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。模型構成用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性xBADCOD′C′B′A′用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置四只腳著地距離是的函數(shù)四個距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉正方形對稱性用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來f(),g()是連續(xù)函數(shù)對任意,f(),g()至少一個為0數(shù)學問題已知：f(),g()是連續(xù)函數(shù);

對任意，f()?g()=0;

且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型構成地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置至少三只腳著地1.3.2

商人們怎樣安全過河問題(智力游戲)3名商人3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步?jīng)Q策過程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)模型構成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,sk=(xk

,yk)~過程的狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)vk~第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk

,vk)~決策D={(u

,v)u+v=1,2}~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk

dk

+(-1)k~狀態(tài)轉移律求dkD(k=1,2,n),使skS,并按轉移律由s1=(3,3)到達sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問題模型求解xy3322110窮舉法~編程上機圖解法狀態(tài)s=(x,y)~16個格點

~10個點允許決策~移動1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,，d11給出安全渡河方案評注和思考規(guī)格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}人、狗、雞、米均要過河，船需要人劃，每次只能運載其中的一物和人本身，而當人不在時，狗要吃雞，雞要吃米。問人、狗、雞、米怎樣過河？用四元數(shù)組(即由4個數(shù)所組成的數(shù)組來表示初始狀態(tài)，目標狀態(tài)以及中間的各種可取狀態(tài)當一物在本岸時，用數(shù)字“1”表示；在對岸時，用數(shù)字“0”表示例如，(1，0，1，0)表示人在本岸，狗在對岸，雞在本岸，米在對岸，每個數(shù)取0或1的四元數(shù)組共有16個：

(1，1，1，1)

(0，0，0，0)

(1，1，1，0)

(0，0，0，1)

(1，1，0，1)

(0，0，1，0)

(1，0，1，1)

(0，1，0，0)

(1，1，0，0)

(0，0，1，1)

(1，0，1，0)

(0，1，0，1)

(1，0，0，1)

(0，1，1，0)

(1，0，0，0)

(0，1，1，1)由于雞和米或者狗和雞不能留在一起，所以(1，1，0，0)，(0，0，1，1)，(1，0，0，1)，(0，1，1，0),(1，0，0，0)，(0，1，1，1)所表示的狀態(tài)都是不允許的，我們用10個頂點分別表示以上10個可取狀態(tài)如果一個可取狀態(tài)可以經(jīng)過一次過河運載轉移到另一個可取狀態(tài)，那么在表示這兩個可取狀態(tài)的頂點之間聯(lián)結一條邊，例如，(1，0，1，1)和(0，0，1，0)之間聯(lián)結一條邊表示如果人把米從本岸運到對岸；反過來，如果人把米從對岸運到本岸，狀態(tài)(0，0，1，0)就轉移狀態(tài)(1，0，1，1)現(xiàn)在問題變?yōu)樵趫D中找一條從頂點(1，1，1，1)通過相聯(lián)結的邊到頂點(0，0，0，0)的路徑，每條路徑就是一個解。背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長1.3.3如何預報人口的增長指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計算公式x(t)~時刻t的人口基本假設

:人口(相對)增長率r

是常數(shù)今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長指數(shù)增長模型的應用及局限性與19世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合

適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代

可用于短期人口增長預測

不符合19世紀后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律

不能預測較長期的人口增長過程19世紀后人口數(shù)據(jù)人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數(shù)r或r,xm

利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位~百萬）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4專家估計阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較實際為281.4(百萬)模型應用——預報美國2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)Logistic模型在經(jīng)濟領域中的應用(如耐用消費品的售量)阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0數(shù)學建模的基本方法機理分析測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認識，找出反映內部機理的數(shù)量規(guī)律將對象看作“黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究(CaseStudies)來學習。以下建模主要指機理分析。二者結合用機理分析建立模型結構,用測試分析確定模型參數(shù)1.4

數(shù)學建模的方法和步驟數(shù)學建模的一般步驟模型準備模型假設模型構成模型求解模型分析模型檢驗模型應用模型準備了解實際背景明確建模目的搜集有關信息掌握對象特征形成一個比較清晰的‘問題’模型假設針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設在合理與簡化之間作出折中模型構成用數(shù)學的語言、符號描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學工具數(shù)學建模的一般步驟模型求解各種數(shù)學方法、軟件和計算機技術如結果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗模型的合理性、適用性模型應用數(shù)學建模的一般步驟數(shù)學建模的全過程現(xiàn)實對象的信息數(shù)學模型現(xiàn)實對象的解答數(shù)學模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗證根據(jù)建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數(shù)學問題選擇適當?shù)臄?shù)學方法求得數(shù)學模型的解答將數(shù)學語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答實踐現(xiàn)實世界數(shù)學世界理論實踐1.5

數(shù)學模型的特點和分類模型的逼真性和可行性模型的漸進性模型的強健性模型的可轉移性模型的非預制性模型的條理性模型的技藝性模型的局限性

數(shù)學模型的特點數(shù)學模型的分類應用領域人口、交通、經(jīng)濟、生態(tài)……數(shù)學方法初等數(shù)學、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計……表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預報、決策……建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機靜態(tài)和動態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)1.6怎樣學習數(shù)學建模數(shù)學建模與其說是一門技術，不如說是一門藝術技術大致有章可循藝術無法歸納成普遍適用的準則想像力洞察力判斷力

學習、分析、評價、改進別人作過的模型

親自動手，認真作幾個實際題目數(shù)學模型與數(shù)學建模競賽全國大學生數(shù)學建模競賽創(chuàng)辦于1992年，每年一屆，目前已成為全國高校規(guī)模最大的基礎性學科競賽，也是世界上規(guī)模最大的數(shù)學建模競賽。2012年，來自全國33個省/市/自治區(qū)(包括香港和澳門特區(qū))及新加坡、美國的1284所院校、21219個隊（其中本科組17741隊、專科組3478隊）、63600多名大學生報名參加本項競賽。數(shù)學建模競賽內容與形式內容答卷：一篇包含問題分析、模型假設、建立、求解(通常用計算機)、結果分析和檢驗等的論文形式3名大學生組隊，在3天內完成的通訊比賽可使用任何“死”材料(圖書/互聯(lián)網(wǎng)/軟件等),但不得與隊外任何人討論（包括上網(wǎng)討論）宗旨創(chuàng)新意識團隊精神重在參與公平競爭標準假設的合理性，建模的創(chuàng)造性，結果的正確性，表述的清晰性。競賽培養(yǎng)綜合素質

信息獲取能力：可以自由地使用圖書館和互聯(lián)網(wǎng)以及計算機和軟件，時間短、任務重

團隊精神和組織協(xié)調能力:三人一隊，分工合作、取長補短、求同存異、相互啟發(fā)、相互學習、相互爭論、同舟共濟評獎標準：假設的合理性、建模的創(chuàng)造性、結果的