《極限的概念》許聰聰《高等數學》之

授課部分2流程

說課部分1教學內容

教學目標

重點難點

地位作用

學生情況

教學方法

設計思路引入

極限思想

數列的極限

函數的極限

極限的應用（一）教學內容第二節極限的概念一、數列的極限二、函數的極限一、說課第一章函數與極限知識目標理解數列極限及函數極限的概念及思想，并判斷簡單函數的極限

素質目標高度概括能力抽象思維能力能力目標用極限及辯證的思維模式去思考問題、分析問題、解決問題一、說課（二）教學目標（三）重點、難點

數列極限的概念及求法函數極限的概念及判斷

數列極限概念的理解函數極限概念的理解與判斷

教學難點教學重點一、說課

定積分極限連續導數無窮級數不定積分微分方程一元函數多元函數（四）本節在本門課中的地位與作用靈魂一、說課一、說課學生情況高中階段接觸過極限的概念只能對最簡單的數列進行判斷（五）學生情況只能對最簡單的函數進行計算對極限思想的理解不夠

教學內容教法問題驅動法對比講授討論啟發一、說課（六）教學方法數學史融入數學教學1信息化方式引入數學教學3.4數學建模思想滲入數學教學了解數學發現數學美愛上數學享用數學一、說課（七）設計思路數學文化融入數學教學2內容梳理一、說課數學理論篇數學應用篇極限思想數列的極限函數的極限極限的應用（5分鐘）（10分鐘）（15分鐘）（10分鐘）數學文化篇文化價值科學價值應用價值藝術價值數學的素質教育導入新課1數學文化篇2數學理論篇3數學應用篇4一、說課二、授課請思考這兩句詩的意境！導入新課1劉徽(約225–295年)

我國古代魏末晉初的杰出數學家。他撰寫《重差》對《九章算術》中的方法和公式作了全面的評注，指出并糾正了其中的錯誤，在數學方法和數學理論上作出了杰出的貢獻。他的“割圓術”求圓周率的方法：它包含了數學文化篇2二、授課“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不割，則與圓周合體而無所失矣”“用已知逼近未知,用近似逼近精確”的重要極限思想“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：播放——劉徽數學文化篇2二、授課正六邊形的面積正十二邊形的面積正邊形的面積數學文化篇2二、授課2、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”數學文化篇2二、授課——《莊子.天下篇》第一天截完后所剩杖的長度為第二天截完后所剩杖的長度為第n天截完后所剩杖的長度為按一定次序排列的一列數這一列有序的數就叫數列.記為其中的每個數稱為數列的項,稱為通項(一般項).數學理論篇3（一）數列的極限二、授課

定義1簡潔美對于數列，否則稱該數列發散．

定義2如果當n無限增大時，無限接近于某個確定的常數A，則稱A為數列或稱數列收斂于A,記為或的極限，數學理論篇3二、授課1.數列是整標函數

例1

觀察下列數列的極限：注：2.數列對應著數軸上一個點列.可看作一動點在數軸（1）01所以收斂于1上依次取數學理論篇3二、授課（4）所以所以發散（2）024816趨勢不定，發散（3）01所以收斂于1播放數學理論篇3二、授課收斂于1。（5）趨勢不直觀，觀察下面動畫數學理論篇3二、授課（1）（2）（4）（5）單調增加趨近于1單調增加但無極限擺動無極限左右擺動趨近于1收斂單調增加收斂單調減少收斂左右擺動收斂發散無窮發散擺動發散單調數列不一定有極限擺動不一定發散（1）（5）（3）（4）（2）（3）單調增加趨近于0引例考察函數當無限增大時的變化趨勢。

數學理論篇3二、授課（二）函數的極限把數列推廣到一般函數1.自變量趨向無窮時函數的極限xOy由高中知識可知，注意到，此時，。定義可看作的推廣。與數列極限定義對比可得y=A為函數f(x)的水平漸近線。定義3:如果當的絕對值無限增大時,函數無限接近于常數則稱常數為函數當時的極限,記作或如果在上述定義中,限制只取正值或者只取負值,即有或則稱常數為函數當或時的極限.數學理論篇3二、授課注意到意味著同時考慮與可以得到下面的定理:

所以極限二、授課數學理論篇3例2

討論極限解由于不存在.Oxy定理1極限的充分必要條件是對稱美極限與有無定義無關

圖１O1-1(1,2)xyf(x)=x+1圖2O1-1(1,2)xyf(x)=x+12.自變量趨向有限值時函數的極限二、授課數學理論篇3以及函數的變化趨勢？引例

討論當時，的變化趨勢，函數二、授課數學理論篇3定義4設函數在點的某一去心領域內有定義.如果當時,函數無限接近于常數則稱常數為函數當時的極限.記作或函數從左側(或右側)趨于當自變量時,趨于常數,則稱為在點處的左極限(或右極限),記為或二、授課數學理論篇3OyxAOyxA注意到意味著同時考慮與可以得到下面的定理:定理2極限的充分必要條件為例3.

解從右圖易見，1。e2?顯然e

2,從而故函數f(x)當x1時極限不存在。討論函數當時，極限是否存在？數學理論篇3二、授課。yO強調：可以借助圖像去觀察，但不要過分依賴圖像極限無限接近無限接近數列函數數學理論篇3二、授課無窮點量變到質變統一美數學應用篇4

有小兔一對，若第二個月它們成年，第三個月生下小兔一對，以后每月生產一對小兔。而所生小兔亦在第二個月成年，第三個月生產另一對小兔，以后亦每月生產小兔一對，試問一年后共有小兔幾對？以后每月的增長速度怎么樣？二、授課1提出問題問題假設1假定每產一對小兔必一雌一雄；2均無死亡。1.問題假設是建立模型的關鍵；2.注意假設的合理性。1月12月23月34月55月86月13成兔仔兔數學應用篇4二、授課觀察一下數列之間有什么樣的關系？目前12分析問題Fibonacci數列

1，1，2，3，5，8，13，寫出數列數學應用篇4二、授課遞推關系：3解決問題89，通項：一年后兔子共有兔子233對21，34，55，233144，數學應用篇4二、授課多年后成年兔子與仔兔數量均以每月61.8%速度增長與Fibonacci數列緊密相關的一個重要極限黃金分割4問題升華（2）證券投資的艾略特“波浪理論”（1）樹的分枝

內容小結1.

數列極限的概念及簡單計算2.函數極限，左、右極限概念及判定思考與練習1.若極限存在,

課后作業

是否一定有二、授課P4710;11?2.設函數且存在,則3謝謝大家！1、割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽二、授課數學文化篇2“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽數學文化篇2二、授課“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽數學文化篇2二、授課“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽數學文化篇2二、授課“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽數學文化篇2二、授課“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽數學文化篇2二、授課“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽數學文化篇2二、授課“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽數學文化篇2二、授課數學理論篇3二、授課數學理論篇3二、授課數學理論篇3二、授課數學理論篇3二、授課數學理論篇3二、授課數學理論篇3二、授課數學