§6

函數的極值與最值定義復習極值的概念：2/3/20231[費馬定理]：可導函數極值的必要條件：2/3/20232定理1(第一充分條件)

f在x0連續，在x0的某去心鄰域可導，

左增右減右增左減左右不變號2/3/20233(不是極值點情形)(是極值點情形)2/3/20234定理2(第二充分條件)2/3/20235證同理可證(2).證畢問：2/3/20236定理3(第三充分條件)證：2/3/202372/3/20238求極值的步驟:(1)求出導數等于零的點及導數不存在的點；2/3/20239例1解列表極大值極小值2/3/202310例2解從例1、2看出兩個充分條件使用條件的區別？2/3/202311例3解-1+1y=f(x)Oyx或者：2/3/202312二、最值的求法2/3/202313由極值與最值的關系知2/3/202314步驟:1.求穩定點和不可導點;2.求區間端點及穩定點和不可導點的函數值,比較大小,哪個大哪個就是最大值,哪個小哪個就是最小值;注意:如果區間內只有一個極值,則這個極值就是最值.(最大值或最小值)2/3/202315解注：實際問題中最值的存在性常可由問題的背景確定.2/3/202316例6

某房地產公司有50套公寓要出租。當租金定為每月180元時，公寓會全部租出去；當月租金每增加10元時，就有一套租不出去，而租出去的房子每月需花費20元維護費。試問房租定為多少可獲得最大收入？解設房租為每月元，租出去的房子有套，每月總收入為（唯一穩定點）答：每月每套租金為350元時收入最高.（就是最大值點）2/3/202317例7解如圖:解得2/3/202318注意極值是函數的局部概念：可有多個極大值和極小值；可能有某個極小值大于某個極大值.函數的極值必在穩定點和不可導點取得.充分性判別法第一充分條件;第三充分條件;(注意使用條件)。最值是整體概念,是唯一的。求實際問題中的最值的步驟.第二充分條件;2/3/202319§7

函數圖象討論2/3/202320一、作圖的步驟5.確定漸近線;2/3/202321曲線的漸近線復習1.垂直漸近線即動點沿著上下方向無限原離原點時，動點到直線x=x0距離趨于0。2/3/202322例如有垂直漸近線兩條:求垂直漸近線，一般關注分式中分母為0的點。2/3/2023232.水平漸近線例如有水平漸近線兩條:即動點沿著左右方向無限原離原點時，動點到直線y=b距離趨于0。2/3/2023243.斜漸近線即動點沿著曲線y=f(x)無限遠離原點時，動點到直線y=kx+b

距離趨于0。2/3/202325斜漸近線的求法:2/3/2023262/3/2023272/3/202328例1解（無奇偶性及周期性）列表:拐點極大值極小值二、作圖舉例2/3/2023292/3/202330例2解（非奇非偶函數,且無對稱性）列表:拐點極值點2/3/2023312/3/202332（描點）作圖2/3/202333例3解列表:極大值極小值2/3/2023342/3/202335最大值最小值極大值極小值拐點凸凹單增單減三、小結函數圖形的描繪綜合運用函數初等性質（奇偶性、周期性、）、分析性質（極限、連續、導數）的幾何特征，是對導數幾何應用的綜合考察.拐點2/3/202336第八節曲率一、曲率

二、弧微分三、曲率計算公式四、曲率園及曲率半徑2/3/202337在生產實踐和工程技術中，常常需要研究曲線的彎曲程度，例如，設計鐵路、高速公路的彎道時，就需要根據最高限速來確定彎道的彎曲程度。2/3/202338例如，鐵軌的曲率就是個關鍵問題：曲率曲線彎曲的程度2/3/202339一、曲率)))弧長相同弧長越短（（2/3/202340M1M2M3′1與切線轉角成正比曲率曲線彎曲的程度.2/3/202341ABB′1與切線轉角成正比S′2與曲線弧長S成反比S故定義曲線AB平均曲率...曲線彎曲的程度曲率.=.A′2/3/202342)yxo設曲線C是光滑的，（定義（曲線C在點M處的曲率曲率(定義為正的值)2/3/202343注意:(1)直線的曲率處處為零;(2)圓上各點處的曲率等于半徑的倒數,且半徑越小曲率越大.即直線不彎曲2/3/202344二、弧微分規定：2/3/202345單調增函數如圖，弧微分公式2/3/202346三、曲率的計算公式yxo2/3/202347三、曲率的計算公式yxo2/3/202348三、曲率的計算公式1.2.3.2/3/202349例1解顯然,2/3/202350定義四、曲率圓與曲率半徑2/3/202351三、曲率圓與曲率半徑2/3/202352例2解設Q為座椅對飛行員的反力,P為飛行員的體重。視飛行員在點o作勻速圓周運動,O點處拋物線軌道的曲率半徑如圖,受力分析2/3/202353得曲率為曲率半徑為即:飛行員對座椅的壓力為641.5千克力.2/3/202354點擊圖片任意處播放\暫停2/3/2023552/3/202356（（在緩沖段上,實際要求2/3/202357四、小結運用微分學的理論,研究曲線和曲面的性質的數學分支——微分幾何學.基本概念:弧微分,曲率,曲率圓.曲線彎曲程度的描述——曲率;曲線弧的近似代替曲率圓(弧).2/3/202358第九節方程的近似解一、問題的提出二、二分法三、切線法四、小結思考題2/3/202359一、問題的提出【求近似實根的步驟】１．確定根的大致范圍——根的隔離．【問題】高次代數方程或其他類型的方程求精確根一般比較困難,希望尋求方程近似根的有效計算方法．2/3/202360２．以根的隔離區間的端點作為根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精確度，直至求得滿足精確度要求的近似實根．【常用方法】——二分法和切線法（牛頓法）2/3/202361二、二分法【作法】2/3/202362總之，2/3/2023632/3/202364【例１】【解】如圖2/3/202365計算得:2/3/2023662/3/202367三、切線法【定義】用曲線弧一端的切線來代替曲線弧，從而求出方程實根的近似值，這種方法叫做切線法（牛頓法）．2/3/202368【如圖】2/3/202369如此繼續，得根的近似值【注意】2/3/202370【例２】【解】2/3/202371代入(1),得計算停