11概率論與隨機過程(1)，8_solution?電子工程擲三次均勻的硬幣，以X表示正面出現的次數，以Y表示正面出現次數與出現次(X,Y)′的聯合分布列，XY的邊緣分布列。YX13P(X=0038038301818P(Y=3414—(X,Y)′{p(x,y) 4xy,0<x<1,0<y<0

(0<X

1,

)<Y<2P(X=YP(X<YP(X?Y參考答案P(0<X

1,

<Y<1)

∫1∫2

4xydydx=2 P(X=Y)=∫1∫ 0 P(X<Y) 40 2[P(X?Y)=P(X<Y)=2(X,Y,Z)′p(x,y,z)

{yz) x>0,y>0,z>0求P(X<Y<P(X=Y<X2參考答案

P(X<Y<Z)

∫+∞

z∫

e?(x+y+z)dxdydz= 方法二X,Y,Z分布的對稱性：P(X<Y<Z)=P(X<Z<Y)=P(Y<X<ZP(Y<Z<X)=P(Z<X<Y)=P(Z<Y<X)上述六種情況等概出現11/6P(X=Y<Z)=x0p(x)

∫+∞∫

e?(x+y+z)dydz= {p(x)

e?x,x>0 x?22Σ 1 1Σ2 2其中σ10σ20,|ρ| aΣb矩陣正定的充要條件是各階順序主子式大于零 正定等價a> det(Σ)=ac?2>a>0,ac>2令

0?c>0,ac<√σ ,

= c, b則 111Σ2 2|ρ|<1′’3參考答案DD區域包含邊界，虛線表示D區域不包含邊界。設D1區域為P(a1?X<a2,b?Y<5=F(a2?0,b5?0)?F(a2?0,b3?0)?F(a1?0,b5?0)+F(a1?0,b3?D2P(a2?X<a5,b?Y<5=F(a5?0,b5?0)?F(a2?0,b5?0)?F(a5?0,b1?0)+F(a2?0,b1?D3P(a3?X<a4,b?Y<4=F(a4?0,b4?0)?F(a3?0,b4?0)?F(a4?0,b2?0)+F(a3?0,b2?DD1D2D3P(D)=P(a1?X<a2,b3?Y<5P(a2?X<a5,b?Y<5P(a3?X<a4,b2?Y<4F(a5?0,b5?0)+F(a1?0,b3?0)+F(a2?0,b1?0)+F(a4?0,b2?0)+F(a3?0,b4?F(a2?0,b3?0)?F(a1?0,b5?0)?F(a5?0,b1?0)?F(a4?0,b4?0)?F(a3?0,b2? 注意邊界條件的問題，F(a0b0?

F(aδbδF(ab(X,Y)′F(x,y)P(a?X<b,Y<P(X=a,Y<P(X<x,Y<P(X<?∞,Y<參考答案P(a?X<b,Y<y)=P(X<b,Y<y)?P(X<a,Y<=F(b?0,y?0)?F(a?0,y?P(X=a,Y<y)=P(X?a,Y<y)?P(X<a,Y<=F(a,y?0)?F(a?0,y?4P(X<x,Y<+∞)=limy→∞F(x?0,y)=FX(x?P(X<?∞,Y<+∞)?P(X<?∞,Y?y)=F(?∞,y)=

P(X<?∞,Y<+∞)?P(X<?∞,Y<+∞)=和上一題一樣，請注意邊界條件的問題分布函數F(x,y)并不只適用于連續隨量亦適用于離散隨量因此，F(x,y)并不一定是連續的。我們在使用它時，一定要多加注意。很多同學認為P(X=aY<y)=0第二問有同學的錯誤答案為?F(x,y)a后面講到條件分布大家會知道?F(x,y)= pX|Y?y(aP(Y?y)已知隨量X1和X2的概率密度分別為{fX1(x){fX2(x) 2試求E(X1X2)E2X13X2

x> x? x> x?參考答案E(X1)

∫ ∫ ∫2xe?2xdx xd(?e?2x)=

e?2xdx=

1e?2x|+∞=E(X2)

∫ ∫ ∫4xe?4xdx xd(?e?4x)=

e?4xdx=

441e?4x|+∞=44 ∫ ∫

0∫ 1∫ E(X2)

4x2e?4xdx

x2d

2xe?4xdx

4xe?4xdx )

2 E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)= 1設隨量X的概率密度為f(x)

0<x<cx+b2?x? 已知E(X2,P{1X3}0.75,5a,b,cYeX的期望和方參考答案由規范性、E(X2、P{1X3}0.75可∫ ∫axdx ∫

(cx+b)dx=

2a+6c+2b=

a=42ax2dx

8a(cx+b)xdx=1

3+6b=2

b=∫

∫

axdx (cx+b)d