個人住房抵押貸款以及其它金融問題數學試驗正如文學誘導人們的情感一樣，數學啟發人們的想象與推想。—Chaserole方法就是把我們應留意的事物進行適當的整理和排列.─R.Descartes試驗目的

●介紹差分方程●復習：數列及其極限、線性代數方程組、矩陣及其運算、方程的求根●運用Mathematica進行迭代運算、求根、矩陣等運算●學習相關問題建模背景隨著經濟的發展，金融正越來越多地進入一般人的生活：貸款、保險．養老金和信用卡等；個人住房抵押貸款是其中重要的—項。個人住房商業抵押貸款養老保險金融公司的支付基金的流淌本節主要探討：小學問——個人住房貸款個人住房貸款是指銀行向借款人發放的用于購買自用一般住房的貸款。借款人申請個人住房貸款時必需供應擔保。目前，個人住房貸款主要公積金貸款、商業貸款和組合貸款三種。1、住房公積金貸款:是指由各地住房公積金管理中心運用職工以其所在單位所繳納的住房公積金，托付商業銀行向繳存住房公積金的在職職工和在職期間繳存住房公積金的離退休職工發放的房屋抵押貸款2、個人住房商業貸款:是中國公民因購買商品房而向銀行申請的一種貸款，是銀行用其信貸資金所發放的自營性貸款。3、組合貸款:是指符合個人住房商業性貸款條件的借款人又同時繳存住房公積金的，在辦理個人住房商業貸款的同時還可以申請個人住房公積金貸款，及借款人以所購本市城鎮自住住房（或其他銀行認可的擔保方式）作為抵押可同時向銀行申請個人住房公積金貸款和個人住房商業性貸款。首付比例：買房子時不能全部貸款。要先付一部分，余下的從銀行貸款。現在的要求是付房款的20%-30%。因為考慮到貸款的還款風險，相關的部門都會要求購房人供應一部分首付，就是預先由個人支付一部分房款，以證明你有還款實力。還款方式貸款期限在一年以上的房屋貸款還款方式一般有等額本金還款和等額本息還款兩種。1、等額本金是在還款期內把貸款數總額等分，每月償還同等數額的本金和剩余貸款在該月所產生的利息。每月還款金額=（貸款本金/還款月數）+（本金—已歸還本金累計額）×每月利率特點：由于每月的還款本金額固定，而利息越來越少，貸款人起初還款壓力較大，但是隨時間的推移每月還款數也越來越少。2、等額本息在還款期內，每月償還同等數額的貸款(包括本金和利息)。每月還款金額=［貸款本金×月利率×（1＋月利率）＾還款月數］÷［（1＋月利率）＾還款月數－1］特點：相對于等額本金還款法的劣勢在于支出利息較多，還款初期利息占每月供款的大部分，隨本金漸漸返還供款中本金比重增加。但該方法每月的還款額固定，可以有支配地限制家庭收入的支出，也便于每個家庭依據自己的收入狀況，確定還貸實力。實際案例

1998年12月，中國人民銀行公布了新的存、貸款利率水平,其中貸款利率如下表所列:●中國人民銀行再次調整存、貸款利率貸款期限 半年1年3年5年5年以上利率/％ 6.12 6.39 6.667.207.56

(當貸款期處于表中所列相鄰年限之間時，利率為對應相鄰兩數中較大者.)最新貸款利率表（2010年10月20日）貸款期限 半年1年3年5年5年以上利率/％ 5.10 5.565.605.966.14

依據央行的貸款利率表，上海商業銀行對個人住房商業性貸款利率作出相應調整，公布新的利率表和還款表

個人住房商業抵押貸款年利率表貸款期限1年2年 3年4年5年利率（％）6.1206.2556.3906.5256.660

個人住房商業抵押貸款(萬元)還款表

貸款期年123 45

月1224364860月還款額到期一次還清

444.356305.9896237.2649196.4118本息總額10612.010664.5411015.6311388.7111784.71

提出問題個人住房商業抵押貸款年利率表和個人住房商業抵押貸款還款表是如何依據中心銀行的貸款利率水平制定的？

分析一下年利率和月還款額表：貸款期限1年2年3年4年5年利率（％）6.1206.2556.3906.5256.660貸款期年123 45

月1224364860月還款額到期一次還清

444.356305.9896237.2649196.4118本息總額10612.010664.5411015.6311388.7111784.71建立模型

(差分方程)則由Ak到Ak+1，應有

Ak+1-Ak＝rAk-m即得模型

Ak+1＝(r＋1)Ak-m(k=0,1,…)其中r為利息，當然應當用月利率r＝0.06255/12＝0.0052125設貸款后第k個月時欠款余數為Ak,月還款額m元另外明顯有A0＝10000分析求解●月還款額的確定令

Bk＝Ak－Ak－1,(k＝1，2,...)推得

Bk+1＝(1+r)Bk(等比)從而

Bk+1＝B1(1+r)k利用以上關系導出

Ak＝A0(1+r)k－[(1+r)k－1]m/r

Bk+1＝Ak+1－Ak

＝((r＋1)Ak-m)－((r＋1)Ak-1-m)A0＝10000,k＝24,A24=0r＝0.0052125M＝[A0(1+r)kr]/[(1+r)k－1]=52.125(1.0052125)24/[(1.0052125)24－1]In[1]:=

52.125*1.0052125^24/(1.00125^24-1)Out[1]=

444.356(24個月還款本息總額10664.54元)考慮二年期狀況：運用Mathematica●年利率如何得到

比較央行公布貸款利率與上海住房商業貸款，有數字相同：6.12％、6.66％，但年限不同

中間年限的利率如何得出(建議作圖，從得到線性插值)任務1：制定住房商業性貸款利率表和還款表●還款周期越短越好嗎假如逐年還款，對二年期貸款，用公式Ak＝A0(1+r)k－[(1+r)k－1]m/r其中:r=0.06255應為年利率k=2年還款額為m=5473.867元本息總額2m=10947.63元，比逐月還款本息總額10664.54元多任務2：探討還款周期問題對于公式

Ak+1＝(r＋1)Ak–m(*)平衡點若

Ak+1＝Ak=A則

A=m/r成為方程（*）的平衡點由此若

A0＝m/r則衡有

Ak＝m/r這就意味著假如貸款利率r和月還款額m固定，第一個月還m/r,正好抵上利息，每個月的欠款額始終不變。(穩定）若第一個月還款大于或小于m/r，則欠款額就會遠離m/r（不穩定）對于一般差分方程

Ak+1＝f(Ak)平衡點（續）當時始值A0稍大于或小于差分方程的平衡點A時若有AkA(k∞)稱A為穩定的，否則稱A為不穩定的

推斷A是否穩定的方法是：|f'(Ak)|<1,A是穩定的|f'(Ak)|>1,A是不穩定的其它金融或經濟問題●養老保險某保險公司的一份材料指出：在每月交費200元至60歲起先領取養老金的約定下，男子若25歲起投保，屆時月養老金2282元；若35歲起投保，月養老金1056元；若45歲起投保，月養老金420元.●問題交保險費所得利率如何？(假定投保人所得完全由其交款及利息產生)(留意：明顯結果依于投保人壽命)

設投保人在投保后第k個月所交保險費及利息的累計總額Fk為，那么易得到數學模型為分段表示的差分方程Fk+1=Fk(1+r)＋p,k=0,1,…,NFk+1=Fk(1+r)－q,k=N+1,…,M其中p、q分別為60歲前所交月保險費和60歲起所領月養老金的數目(元)，r是所交保險金獲得的利率，N,M分別是自投保起至停交保險費和至停領養老金的時間(月).明顯M依靠于投保人的壽命,取M=75(歲)（統計平均值）以25歲起投保為例,則有

P=200,q=2282;N=420,M=600

如前可推出差分方程的解Fk=F0(1+r)k＋[(1+r)k－1]p/r,k=0,1,…,N

Fk=FN(1+r)k－N

＋[(1+r)k－1]q/r,k=N+1,…,M在前一式取k=N，后一式取k=M，且留意F0=FM=0，消去FN，(1+r)M－(1+q/p)(1+r)M－N+q/p

＝0記x＝

1+r，

代入數據

x600－12.41x180＋11.41＝0(Newton法,方程求根)運用MathematicaIn[2]:=FindRoot[x^600-12.41x^180+11.41==0,{x,1.01}]Out[1]={x->1.00485}x＝1.00485,r

＝0.00485交保險費所得月利率為0.00485

年利率為0.0582某保險公司的推出結合養老的壽險支配，例子為：若40歲的男性投保人每年交保險費1540元，交費期20年至60歲任務3：一個人壽保險支配的利率分析

試分析：若該投保人的壽命為76歲，其交保險費所獲得的實際年利率是多少？若該投保人的壽命為74歲，其交保險費所獲得的實際年利率又是多少？

則在他生存時期，45歲時(投保滿5年)可獲返還補貼4000元，50歲時可獲返還補貼5000元，其后每隔5年可獲增幅為1000元的返還補貼；而在投保人去世或殘廢時，其受益人可獲保險金20000元

每過一周

A城公司基金10％→

B城公司

A城公司←B城公司基金12％●金融公司的支付基金的流淌(形式的推廣)新問題總額$540萬基金,放置A公司和B公司要求：周末結算時總額仍為$540萬A公司基金額A0＝$260萬B公司基金額B0＝$280萬●問題資金流淌趨勢？會否少于警戒數＄220(萬)●數學模型

設第k周末結算時,A城公司和B城公司支付基金數分別為ak和bk(單位:萬美元),則有

差分方程組ak+1=0.9ak+0.12bkbk+1=0.1ak+0.88bk●視察數據通過對數據的觀測估計結論(12周數據)For[a[0]=260;b[0]=280;k=0,k<=12,k++,Print[k];a[k+1]=0.9a[k]+0.12b[k];Print[a[k]//N];b[k+1]=0.1a[k]+0.88b[k];Print[b[k]//