1第4章微分中值定理

與導數的應用§4.1微分中值定理一、羅爾(Rolle)定理二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理Page2中值定理應用研究函數性質及曲線性態利用導數解決實際問題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三節)推廣Page3一、羅爾(Rolle)定理費馬(fermat)引理且存在證:

設則證畢Page4羅爾（Rolle）定理滿足:(1)在區間[a,b]上連續(2)在區間(a,b)內可導(3)

f(a)=f(b)使證:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.若M=

m,則因此在(a,b)內至少存在一點Page5若M>

m,則M和m

中至少有一個與端點值不等,不妨設則至少存在一點使注意:1)定理條件不全具備,結論不一定成立.例如,則由費馬引理得Page6使2)定理條件只是充分的.本定理可推廣為在(a,b)內可導,且在(a,b)內至少存在一點證明提示:

設證

F(x)在[a,b]上滿足羅爾定理.Page7例1.證明方程有且僅有一個小于1的正實根.證:1)存在性.則在[0,1]連續,且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假設另有為端點的區間滿足羅爾定理條件,至少存在一點但矛盾,故假設不真!設Page8求證存在使例2.設可導，且在連續，證：因此至少存在顯然在上滿足羅爾定理條件,即設輔助函數使得Page9二、拉格朗日中值定理(1)在區間[a,b]上連續滿足:(2)在區間(a,b)內可導至少存在一點使思路:利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數作輔助函數顯然,在[a,b]上連續,在(a,b)內可導,且證:問題轉化為證由羅爾定理知至少存在一點即定理結論成立.證畢Page10拉格朗日中值定理的有限增量形式:推論:若函數在區間I

上滿足則在

I上必為常數.證:

在

I

上任取兩點日中值公式,得由的任意性知,在

I

上為常數.令則Page11例3.證明等式證:

設由推論可知(常數)令x=0,得又故所證等式在定義域上成立.自證:經驗:欲證時只需證在

I

上Page12例4.證明不等式證:

設中值定理條件,即因為故因此應有Page13設證明對任意有證：例5.不妨設Page14三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在閉區間[a,b]上連續(2)在開區間(a,b)內可導(3)在開區間(a,b)內至少存在一點使滿足:要證Page15證:

作輔助函數且使即由羅爾定理知,至少存在一點思考:

柯西定理的下述證法對嗎?兩個

不一定相同錯!上面兩式相比即得結論.Page16柯西定理的幾何意義:注意:弦的斜率切線斜率Page17例6.設至少存在一點使證:

結論可變形為設則在[0,1]上滿足柯西中值定理條件,因此在(0,1)內至少存在一點

,使即證明Page18例7.試證至少存在一點使證:

法1

用柯西中值定理.則f(x),F(x)在[1,e]上滿足柯西中值定理條件,令因此即分析:Page19例7.試證至少存在一點使法2令則f(x)在[1,e]上滿足羅爾中值定理條件,使因此存在Page20內容小結1.微分中值定理的條件、結論及關系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的應用(1)證明恒等式(2)證明不等式(3)證明有關中值問題的結論關鍵:

利用逆向思維設輔助函數費馬引理Page21思考與練習1.填空題1)函數在區間[1,2]上滿足拉格朗日定理條件,則中值2)設有個根,它們分別在區間上.方程Page222.

設且在內可導,證明至少存在一點使提示:由結論可知,只需證即驗證在上滿足羅爾定理條件.設Page233.

若可導,試證在其兩個零點間一定有的零點.提示:設欲證:使只要證亦即作輔助函數驗證在上滿足羅爾定理條件.Page244.思考:在即當時問是否可由此得出不能!因為是依賴于x

的一個特殊的函數.因此由上式得表示x

從右側以任意方式趨于0.應用拉格朗日中值定理得上對函數Page25費馬(1601–1665)法國數學家,他是一位律師,數學只是他的業余愛好.他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數學上有許多重大貢獻.他特別愛好數論,他提出的費馬大定理:1994年由英國數學家證明.他還是微積分學的先驅,費馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中提煉出來的.Page26拉格朗日(1736–1813)法國數學家.他在方程論,解析函數論,及數論方面都作出了重要的貢獻,近百余年來,數學中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對分析數學產生全面影響的數學家之一.Page27柯西(1789–1857)法國數學家,他對數學的貢獻主要集中在微積分學,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學校編