第4章

連續系統的振動（I)李映輝西南交通大學2015.092023年2月2日《振動力學》22023年2月2日中國力學學會學術大會‘2005’22023年2月2日2聲明本課件可供教師教學和學生學習中免費使用。不可用于任何商業目的。本課件的部分內容參閱了上海交通大學陳國平教授和太原科技大學楊建偉教授的課件，作者在此向二位教授表示衷心感謝。如該課件無意中損害了二位教授利益，作者在此致歉。本課件以高淑英、沈火明編著的《振動力學》（中國鐵道出版社，2011年）的前四章為基礎編寫。感謝研究生蔣寶坤、王金梅在文字錄入方面的工作2023年2月2日《振動力學》3教學內容連續系統的振動2023年2月2日《振動力學》3弦、桿的的振動梁的橫向的振動薄板的振動連續系統固有特性的近似解法2023年2月2日《振動力學》4教學內容連續系統的振動/弦、桿的振動2023年2月2日《振動力學》4弦、桿的的振動弦的橫向振動弦的橫向振動方程弦的自由振動弦的強迫振動桿的縱向振動桿的縱向振動方程桿的縱向自由振動桿的縱向強迫振動桿的扭轉振動桿的扭轉振動方程桿的扭轉自由和強迫振動2023年2月2日《振動力學》5連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動

連續系統：具有分布質量和分布彈性的系統。如柔索或弦、梁、板等。

連續系統的運動狀態可用時間和坐標的連續函數來描述y=f(x,t)基本假設如下：（1）材料是均勻連續的，且各向同性；

（2）線彈性，即服從胡克定律；

（3）小變形。2023年2月2日《振動力學》6連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動4.1弦、桿的振動弦、繩索構件：懸索橋的索[圖4.1(a)]、斜拉橋的斜拉索[圖4.1(b)]、懸索屋頂結構[圖4.1(c)]、高壓輸電線[圖4.1(d)]、小提琴、胡琴等琴弦。2023年2月2日《振動力學》7連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動4.1.1弦橫向振動方程兩端固定，張力T0

，單位體積質量ρ，橫截面積A，長度l，如圖4.2。

開始受干擾（沖擊力或位移），干擾消失后，弦將在Oxy平面內發生橫向自由振動。2023年2月2日《振動力學》8連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動(1)離散化方法

將弦任意分割為n+1段，如圖4.3（a）。將每段的質量對半聚縮到兩端。各質量點質量為mi(i=1,2,…,n)，且mi=ρA.Δxi。

使連續系統簡化為一個n自由度的離散系統振動問題。2023年2月2日《振動力學》9連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動用yi表示各質點mi偏離平衡位置的橫向位移，設各質點mi作微振動。考查3個相鄰質點mi-1、mi和mi+1，mi受力如圖4.3（b）所示。2023年2月2日《振動力學》10連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動質點mi的橫向振動方程為式中αi、

βi分別為質點mi上兩相鄰弦段的張力T0與x軸的夾角。對微振動，sinαi≈

tanαi,sinβi≈tanβi,且代入整理得2023年2月2日《振動力學》11連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動

令yi-1=yi-yi-1,yi=yi+1-yi,代入式（4.1）得兩邊同除以xi，得令xi0,離散系統趨近連續系統。為弦橫向自由振動方程。2023年2月2日《振動力學》12連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動（2）連續化方法在離左邊固定端x處取微段dx[圖4.4a]，x點的橫向位移y=y(x,t)，其質量為dm=ρAdx。微段受力如圖該微段的運動方程為

對微幅振動，有2023年2月2日《振動力學》13連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動因=y/x，得2023年2月2日《振動力學》14連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動4.1.2弦橫向自由振動將（4.2）簡寫為式中c2=T0/ρA,c為波沿弦長度方向傳播速度.式（4.3）一般稱為一維波動方程。2023年2月2日《振動力學》15連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動設（4.3）的解為式中,Y(x)為弦的振型,而T(t)為弦的振動方式，式（4.4）代入（4.3）得整理得方程中含x和t兩個變量，這種方法稱為分離變量法。2023年2月2日《振動力學》16連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動因兩邊分別為x和t的函數，兩邊必為同一常數，設為-ω2，得式（4.6a）和式（4.6b）的解分別為（4.7b）稱為振型函數，表明弦按固有頻率作簡諧振動的振動形態，即為主振型。

代入得2023年2月2日《振動力學》17連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動式中A、B、φ、ω為4個待定常數，除需振動的初始條件外，還需端點條件確定。對兩端固定弦，邊界條件為代入（4.8）得2023年2月2日《振動力學》18連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動式（4.9）為弦振動的特征方程，也就是頻率方程，由于對應于正弦函數為零的固有頻率ω值應有無限多個，即所以為此，對應于無限多階的固有頻率ωn，就有無限多階的主振動，代入（4.8）得式中為主振型，即2023年2月2日《振動力學》19連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動通常稱Y(x)為特征函數。為此Yn(x)為一特征函數族，主振型也應是一函數族。通常，弦的自由振動為無限多階主振動的疊加，或式中An、?n或Cn、Dn根據初始條件來決定。

設初始條件為2023年2月2日《振動力學》20連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動代入式（4.13b），有把f1(x)、f2(x)按傅里葉級數展開，有式中2023年2月2日《振動力學》21連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動由式（a）、（b），得弦的自由振動響應為在求解弦的自由振動微分方程的過程中，要注意以下幾點：（1）方程（4.7b）的解必須滿足初始條件和邊界條件。2023年2月2日《振動力學》22連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動初始條件和邊界條件稱為定解條件，只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題稱為初值問題（或柯西問題）；沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題稱為邊值問題，兩者皆有稱為混合問題。

（2）特征方程（頻率方程）由邊界條件獲得，解由無限多的特征值組成的。（3）特征函數族中的An是未定振幅，故Yn(x)僅描述了振型的形狀。2023年2月2日《振動力學》23連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動（4）系統的固有頻率中，當n=1時，，稱為基頻。較高次的頻率ωn(n=2,3,4,…)是基頻的整數倍，ωn與ρ、T0、l有關?？芍呵傧揖o一些，可調高音調，松一些可調低音調。圖4.52023年2月2日《振動力學》24連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動3.弦的橫向強迫振動的微分方程及其解兩端固定，長l的弦上，作用橫向分布力q(x,t)，弦線作強迫振動，如圖4.6所示。設張力T0，單位體積質量和橫截面積A皆為常量,強迫振動方程為2023年2月2日《振動力學》25連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動式中c2=

T0/ρA，振型函數為振動方式Hn（t）為未知的時間函數，振型函數必須滿足邊界條件。因此，令也必須滿足邊界條件，同時式（4.13）的解也應滿足邊界條件，設方程（4.15）的解為2023年2月2日《振動力學》26連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動式（4.16）代入式（4.15），得設An=1，上式兩邊乘以，對x在[0,l]上積分，根據振型函數正交性得式中與無阻尼單自由度系統在外激勵下方程形式相同，其解為：2023年2月2日《振動力學》27連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動式中,為待定常數,由初始條件決定。分別表示廣義坐標和廣義速度的初始值，稱為廣義力。將式（4.18）代入式（4.16）中，可得弦的強迫振動解，即得系統在初始條件下和任意激振的響應。2023年2月2日《振動力學》28連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動【例4.1】在一旋轉的圓平臺上，沿直徑方向安裝了一根弦AB，弦內初拉力為T0，弦長為l，弦的一端A離圓平臺的圓心距離為l1，弦在圓平臺上作微振動，如圖4.7（a）。在這種情況下，弦實為測量平臺旋轉角速度的敏感元件，即由測量弦振動基頻來確定平臺的角速度。試建立此弦的振動方程。2023年2月2日《振動力學》29連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動【解】平臺旋轉時，張力T(x)大小沿其長度方向變化。設分布離心力在x軸上投影為qx(x)，則作用在dx微段上的離心力因弦AB總伸長為0，m(x)=m0=常數有（b）2023年2月2日《振動力學》30連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動式中，E為材料彈性模量，F為橫截面面積，Nq(x)為qx(x)作用引起弦的內力,有（c）代入（b）有2023年2月2日《振動力學》31連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動分布力離心力引起的弦內張力為對有初拉力為T0，弦內總張力為離心力q(x)在y方向的投影為2023年2月2日《振動力學》32連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動由平衡方程整理得此為該弦振動方程?！纠?.2】兩端固定弦，長l，橫截面A,單位體積質量ρ，開始時，在距O點a處把弦拉高h，然后放手，如圖4.9。設張力T0大小不變。求弦自由振動響應和弦以第n階主振型振動時的總能量。2023年2月2日《振動力學》33連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動圖4.9解：弦作自由振動，其響應可由式（4.14）表為：式中ωn=cnπ/l,f1(x)、f2(x)為初始條件。根據題意2023年2月2日《振動力學》34將f1(x)和f2(x)代入式(a)得連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動2023年2月2日《振動力學》35連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動當弦以第n階主振型振動時，它的總能量公式為將yn(x,t)代入上式得由此可見，En將隨n值的增大而快速變小，當n=1時，它的總能量有最大值。2023年2月2日《振動力學》362023年2月2日《振動力學》362023年2月2日《振動力學》362023年2月2日《振動力學》362023年2月2日《振動力學》362023年2月2日《振動力學》362023年2月2日《振動力學》362023年2月2日《振動力學》362023年2月2日《振動力學》362023年2月2日《振動力學》36作業第156頁4.4連續系統的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動2023年2月2日《振動力學》372023年2月2日《振動力學》37教學內容連續系統的振動/弦、桿的振動2023年2月2日《振動力學》37弦、桿的的振動弦的橫向振動弦的橫向振動方程弦的自由振動弦的強迫振動桿的縱向振動桿的縱向振動方程桿的縱向自由振動桿的縱向強迫振動桿的扭轉振動桿的扭轉振動方程桿的扭轉自由和強迫振動2023年2月2日《振動力學》38連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動1.桿縱向振動方程基本假設：（1）只考慮桿的縱向變形；（2）垂直于桿軸線的任一截面始終保持為平面，且始終垂

直于桿的軸線；（3）各橫截面內各質點只沿著桿軸線方向作相等位移，即

不計桿的橫向變形?；緟担航孛婵估瓌偠菶A(x)，彈性模量E，橫截面積A(x)，單位體積質量ρ。2023年2月2日《振動力學》39連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動

設u(x,t)為t時刻，x處截面縱向位移。微段dx受力如圖4.10（b），x處橫截面上軸力N，x+dx處橫截面上軸力、位移為2023年2月2日《振動力學》40連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動軸向應變量由σx=Eεx及有由平衡方程得2023年2月2日《振動力學》41連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動整理有（4.19）代入得對等直桿，EA(x)為常量時，式（4.20）寫為式中c2=E/ρ，c為彈性縱波沿桿軸線的傳播速度（材料內聲的速率）。2023年2月2日《振動力學》42連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動2.桿的縱向自由振動式（4.21）與（4.3）有相同形式，是一維波動方程。用分離變量法求解。

設解u(x,t)=U(x)T(t)，得解得2023年2月2日《振動力學》43連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動A、B、ω、φ為待定常數，由初始條件和邊界條件決定。對兩端固定桿，邊界條件為代入式（4.23）得得出對應的主振型2023年2月2日《振動力學》44連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動兩端自由桿，邊界條件為自由端軸力為零，代入邊界條件有則有主振型為

2023年2月2日《振動力學》45連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動與兩端固定桿不同處：

存在n=0時的固有頻率ωn=0，表示桿順軸線方向作剛體平移。對零頻率ω0=0，若取B0=1，則其主振型為2023年2月2日《振動力學》46連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動三種邊界條件下的桿縱向振動頻率方程、固有頻率及主振型2023年2月2日《振動力學》47連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動其它情況的邊界條件2023年2月2日《振動力學》48連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動桿縱向振動響應：由無限多階主振型的疊加得到，如對兩端固定桿或式中An、φn或Cn、Dn兩個待定常數，由初始條件決定。2023年2月2日《振動力學》49連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動

【例4.3】圖中等直桿橫截面積A，單位體積質量ρ，彈性模量E，長l，左端固定，右端固結一質量M的質量塊，計算其固有頻率,并進行正交性條件推導?！窘狻浚?）計算固有頻率

由（4.23）響應為2023年2月2日《振動力學》50連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動邊界條件為代入及c2=E/ρ，得ρAl/M為桿質量和附加質量之比。式（a）為頻率方程。

設ρAl/M=1，ωl/c=β，式（a）為2023年2月2日《振動力學》51連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動tanβ和1/β的曲線如圖由兩曲線交點β1，β2，…，可求得各階固有頻率。由圖可得β1=0.86，β2=3.43，則2023年2月2日《振動力學》52連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動【討論】(1)當桿質量和附加質量比不為1，令v為質量比，由（a）有則（a）可簡化為由（c），當給定質量比時，可求出一系列的β值，代入ωl/c=β中，可得即可求出各階固有頻率。2023年2月2日《振動力學》53連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動【討論】(2)當質量比v在兩種極端情況，即v≈∞和v≈0時。a.當v≈∞時，由（c）知tanβ=

∞,即將（e）代入（d）得與表4.1中一端固定一端自由桿固有頻率相同。

說明此質量塊M的作用可以不計。2023年2月2日《振動力學》54連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動b.當v≈0時，tanβ≈β

，代入（c）得將v=ρAl/M和ωl/c=β

代入上式，得因EA/l是桿的縱向剛度，說明（h）為略去桿質量后，得到的單自由度系統固有頻率。值得注意的是，若v=0.1時，由數值計算可得β1=0.32，代入（d）得2023年2月2日《振動力學》55連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動若v=0.1,代入v=ρAl/M中，則M=10ρAl，再代入(h)，則（j）與（i）比較，相對誤差僅1.18%。為此，當v值較小時，略去桿的質量，可得到精度較好的結果。2023年2月2日《振動力學》56連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動（2）正交性條件的推導兩個不同階主振型Yn、Ym之間正交性定義為對右端帶一質量塊的桿主振型正交性證明如下：設Un(x)

和Um(x)為n階和m階主振型函數，則它們滿足方程2023年2月2日《振動力學》57連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動式中c2=E/ρ，整理得式中m=ρA，將Un(x)和Um(x)代入（a），得用Um和Un分別（b）和（c），并積分得2023年2月2日《振動力學》58連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動應用分部積分，得兩式相減得由將邊界條件2023年2月2日《振動力學》59連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動代入式（f）得故有當m≠n時，ωm2≠ωn2，則有上式為右端帶質量塊的桿縱向振動主振型對質量的正交性條件。

與無質量塊的桿縱向振動主振型對質量的正交性條件相比較，多了MUn(l)

Um(l)。2023年2月2日《振動力學》60連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動當m=n時，ωm2=ωn2，，則有式中，λ是一個任意常數。若取λ=1，則振型函數即可按照下面方式規格化2023年2月2日《振動力學》61連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動3.桿的縱向強迫振動微分方程的解在兩端自由桿上作用均布軸向力Q(x,t)，如圖4.13。截面抗拉剛度為EA(x)，E為彈性模量，A(x)為橫截面面積，單位體積質量為ρ，桿振動方程為式中q(x,t)=Q(x,t)/ρA。2023年2月2日《振動力學》62連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動設桿振動方式Tn(t)為時間函數，則必須滿足邊界條件時設方程（4.25）的解為代入（4.25），應用正交性條件和規格化后，得式中Un(x)是正則振型函數，根據杜哈美積分求得2023年2月2日《振動力學》63連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動桿的縱向強迫振動的響應為2023年2月2日《振動力學》64連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動【例4.4】圖4.14（a）為一端自由，一端固定端的細長桿。其固定端支承相對于地面按拋物線函數作平移。設桿長l,桿截面抗拉剛度EA，E為彈性模量，A為橫截面面積，ρ為單位體積質量。在初瞬時，桿處于靜止。試確定支承運動所引起的桿的縱向振動響應。2023年2月2日《振動力學》65連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動【解】設u(x,t)為

x處縱向位移。X處微段dx，受力如圖4.14（b）軸向應變由動靜法得2023年2月2日《振動力學》66連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動

整理后得（a）代入（b）中，得設則有代入式（c）中，得2023年2月2日《振動力學》67連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動

令c2=E/ρ，整理得令q(x,t)=,代入上式式（e）和式4.25）相同。先解齊次方程：根據邊界條件，得到固有頻率2023年2月2日《振動力學》68連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動

式中，Un*(x)是規格化的正則振型函數，根據（4.28）有由支承運動引起的桿的縱向振動響應為故2023年2月2日《振動力學》692023年2月2日《振動力學》692023年2月2日《振動力學》692023年2月2日《振動力學》692023年2月2日《振動力學》692023年2月2日《振動力學》692023年2月2日《振動力學》692023年2月2日《振動力學》692023年2月2日《振動力學》692023年2月2日《振動力學》692023年2月2日《振動力學》69作業第156頁4.7連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動2023年2月2日《振動力學》702023年2月2日《振動力學》70教學內容連續系統的振動/弦、桿的振動2023年2月2日《振動力學》70弦、桿的的振動弦的橫向振動弦的橫向振動方程弦的自由振動弦的強迫振動桿的縱向振動桿的縱向振動方程桿的縱向自由振動桿的縱向強迫振動桿的扭轉振動桿的扭轉振動方程桿的扭轉自由和強迫振動2023年2月2日《振動力學》71連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的扭轉振動

4.1.3桿的扭轉振動

1.振動微分方程

圓截面細長直桿，單位體積質量ρ，截面抗扭剛度GJt(x)，G為剪切彈性模量，It(x)為截面抗扭常數，圓形截面It(x)=Ip(x),Ip(x)為截面極慣性矩。2023年2月2日《振動力學》72連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的扭轉振動基本假設：桿扭轉振動時，截面翹曲可忽略不計，且始終保持截面平面繞x軸作微擺動，φ(x,t)表x處截面的角位移，微段dx，其受力如圖4.15（b）。則由動量矩定理整理后式（4.29）代入，得2023年2月2日《振動力學》73連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的扭轉振動對等直桿，It為一常數，上式可化簡為式中，對于圓截面桿，It=Ip，則c2=G/ρ，c為剪切彈性波沿x軸的傳播速度。2023年2月2日《振動力學》74連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的扭轉振動2.桿扭轉自由振動式（4.30）與（4.21）形式相同，也是一維波動方程，故其解可直接寫成式中A、B、ω、φ四個待定常數，由初始條件和邊界條件來確定。2023年2月2日《振動力學》75連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的扭轉振動表4.3為一些常用的邊界條件。表4.3常用邊界條件2023年2月2日《振動力學》76連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的扭轉振動桿扭轉自由振動通解由各主振型疊加而成，即給定初始條件后，則由來決定式（4.32）中常數項An（或Bn）和αn。2023年2月2日《振動力學》77連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的扭轉振動桿扭轉受迫振動式（4.28）形式相同，其解也有相同的形式?，F以表4.4給出弦、桿振動方程的參數對應關系。2023年2月2日《振動力學》78連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的扭轉振動如已知兩端固定均勻弦的固有頻率，正則振型表達式，根據表4.4，兩端固定均勻軸固有頻率及正則振型表達式：2023年2月2日《振動力學》792023年2月2日《振動力學》792023年2月2日《振動力學》792023年2月2日《振動力學》792023年2月2日《振動力學》792023年2月2日《振動力學》792023年2月2日《振動力學》792023年2月2日《振動力學》792023年2月2日《振動力學》792023年2月2日《振動力學》792023年2月2日《振動力學》792023年2月2日《振動力學》79作業第157頁4.11連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動2023年2月2日《振動力學》80教學內容連續系統的振動/弦、桿的振動2023年2月2日《振動力學》80梁的橫向振動梁的橫向振動方程Euler梁的橫向振動方程Timosheko梁的橫向振動方程軸力作用下梁的橫向振動方程梁的雙向橫向振動方程梁的橫向振動解梁的橫向自由振動主振型的正交性梁的橫向強迫振動移動載荷作用下梁的橫向振動2023年2月2日《振動力學》81連續系統的振動/梁的橫向振動4.2梁的橫向振動房屋中的主梁、次梁，鋼軌、枕木，橋梁等都是梁的例子。梁在垂直其軸線方向發生的振動，稱為梁的橫向振動或彎曲振動。

2023年2月2日《振動力學》82連續系統的振動/梁的橫向振動梁的三種力學模型（1）歐拉-伯努利梁（Euler-Bernoullibeam）只考慮梁的彎曲變形，不計剪切變形及轉動慣量影響。（2）瑞利梁（Rayleighbeam）除考慮梁的彎曲變形外，還考慮轉動慣量影響，但不計剪切變形影響。（3）鐵木辛科梁（Timoshenkobeam）既考慮梁的彎曲變形和轉動慣量，還考慮其剪切變形影響。2023年2月2日《振動力學》83連續系統的振動/梁的橫向振動4.2.1梁的橫向振動微分方程

1.歐拉-伯努利梁的振動方程設y(x,t)為梁的橫向位移，如圖4.17(a)，它是橫截面位置x和時間t的函數。橫截面對中心主軸的截面慣性矩為I(x),單位體積質量為ρ,橫截面積為A(x)，作用有分布力q(x,t)。2023年2月2日《振動力學》84連續系統的振動/梁的橫向振動取微段dx，受力如圖4.17（b）。Q為剪力，M為彎矩,慣性力由整理得由2023年2月2日《振動力學》85連續系統的振動/梁的橫向振動略去二階微量，可得由彎矩和撓度關系有把式(a)和(4.35)代入式(4.36)，整理得為歐拉-伯努利梁橫向振動方程。對等直梁，EI(x)和A(x)為常量，得到2023年2月2日《振動力學》86連續系統的振動/梁的橫向振動2.鐵木辛科梁的振動方程鐵木辛科梁力學模型考慮了梁的剪切變形和轉動慣量。取微段dx，如圖4.18。梁軸線（截面）轉角ψ由彎矩、剪力共同作用產生。彎矩作用產生的梁軸線（截面）轉角θ，剪力作用產生的梁軸線（截面）轉角β，則2023年2月2日《振動力學》87連續系統的振動/梁的橫向振動由彎矩M和剪力Q關系式(b)代入上式得式中，k’=1/k，k為取決于截面幾何形狀的常數。矩形截面k=1.2，圓形截面k=1.11，而k’A為截面有效剪切面積。由得2023年2月2日《振動力學》88連續系統的振動/梁的橫向振動整理得式(d)代入上式得由，得略去二階微量，整理得式中I為橫截面對中心主軸慣性矩，為轉動慣性矩，ρIdx為微段轉動慣量。2023年2月2日《振動力學》89連續系統的振動/梁的橫向振動式(c)、(d)代入上式，得對等截面梁，將(e)、(f)中θ消去，得(4.39)為鐵木辛科梁振動方程。2023年2月2日《振動力學》90連續系統的振動/梁的橫向振動3.在軸向力影響下，梁的橫向振動方程梁除承受橫向載荷外，常還受平行于軸線的軸向力，如圖4.19。因軸向力和橫向位移相互影響，不能直接應用橫向振動方程，需推導其振動方程。2023年2月2日《振動力學》91連續系統的振動/梁的橫向振動設軸力N為常量，取微段dx，受力圖如圖4.19(b)，由，得因θ很小，sinθ≈θ，整理得由，得含軸力的梁振動方程2023年2月2日《振動力學》92連續系統的振動/梁的橫向振動4.梁的雙向橫向振動方程以上討論的梁，在振動中軸線始終在同一平面內。若截面主方向隨x改變，在振動中軸線將不再位于同一平面內。對每一主振動，皆包含兩個相互垂直的分量，兩個方向的橫向振動是互相耦合的。稱這種振動為梁的雙向橫向振動。建立梁的雙向橫振動方程。常采用哈密頓原理，式中，T為動能，U為勢能，δW為主動力的虛功。2023年2月2日《振動力學》93連續系統的振動/梁的橫向振動設x軸為變形前的彈性線，坐標軸如圖4.20，彈性線上各點位移沿y和z方向的分量為2023年2月2日《振動力學》94連續系統的振動/梁的橫向振動則梁上任一點a在3個方向的位移分量為由圖4.20(b)-(c)得因sinθ=θ，sinφ=φ，則2023年2月2日《振動力學》95連續系統的振動/梁的橫向振動微元的動能、勢能為式中，則系統的動能、勢能為：2023年2月2日《振動力學》96連續系統的振動/梁的橫向振動式中，Iz、Iy

為截面對于z軸和y軸的慣性矩，Iyz為相應的慣性積。

設梁受分布載荷為qz(x,t)

、

qy(x,t)

，兩端作用彎矩和剪力為Qy0、Qz0、My0、Mz0、Qy1、Qz1、My1、Mz1，如圖4.20(a)，則主動力的虛功為將(4.42a)、(4.42b)、(4.42c)代入(4.41)得2023年2月2日《振動力學》97連續系統的振動/梁的橫向振動式中，“.”表示，“’”表示，且δv(0)、

δv(l)、δv’(0)、

δv’(l)、δw(0)、δw(l)、δw’(0)、δw’(l)為兩個端點的虛位移。式（4.43）中動能變分為（a）中第一項式中，因為t1、t2瞬時的運動已給定。2023年2月2日《振動力學》98連續系統的振動/梁的橫向振動式中。同理（4.43）中勢能變分為（b）中第一項為2023年2月2日《振動力學》99連續系統的振動/梁的橫向振動

同理（b）其余三項為以上結果代入（4.43），整理得2023年2月2日《振動力學》100連續系統的振動/梁的橫向振動2023年2月2日《振動力學》101連續系統的振動/梁的橫向振動在邊界上的變分δv(0)、δv’

(0)、δw(0)、δw’(0)對應于位移邊界條件為零，而力邊界條件是任意的，同時δv、δw也是任意的，得到2023年2月2日《振動力學》102連續系統的振動/梁的橫向振動由（4.45）得梁的雙向橫振動方程以上方程相互耦合。欲使不耦合，則Iyz=0，有2023年2月2日《振動力學》103連續系統的振動/梁的橫向振動相應于（4.47）的邊界條件為2023年2月2日《振動力學》104連續系統的振動4.2.2梁的橫向自由振動1.梁的橫向自由振動

(1)歐拉-伯努利梁橫向自由振動方程對等截面直梁，振動方程為設2023年2月2日《振動力學》105連續系統的振動代入（4.50）中得有得到2023年2月2日《振動力學》106連續系統的振動（4.53）第一式為式中設其基本解為Y(x)=eλx，代入(4.54)得四次代數方程，四個根為則通解為2023年2月2日《振動力學》107連續系統的振動因整理得(4.55)為梁橫向振動的振型函數。由(4.53)第二式得代入整理得(4.50)的通解。2023年2月2日《振動力學》108連續系統的振動式中，A、B、C、D、ω和φ為6個待定常數，將由初始條件和邊界條件決定。如兩端簡支的梁，其邊界條件為代入(4.57)得及由(a)-(b)得2023年2月2日《振動力學》109連續系統的振動因shkl≠0，故C=0。代入(a)得因A≠0,得頻率方程：其根為knl=nπ,n=1,2,3,…又，則固有頻率為相應主振型為2023年2月2日《振動力學》110表4.5各種邊界條件下的頻率方程和固有頻率連續系統的振動2023年2月2日《振動力學》111表4.6振型函數與主振型連續系統的振動2023年2月2日《振動力學》112常見的約束狀況與邊界條件（1）固定端撓度和截面轉角為零（2）簡支端撓度和彎矩為零（3）自由端彎矩和剪力為零連續系統的振動/梁的彎曲振動2023年2月2日《振動力學》113例：求懸臂梁的固有頻率和模態函數解：一端固定，一端自由邊界條件固定端：撓度和截面轉角為零自由端：彎矩和截面剪力為零得：以及：非零解條件：連續系統的振動/梁的彎曲振動2023年2月2日《振動力學》114簡化后，得：頻率方程當

i=1,2,3時解得：當

時各階固有頻率：對應的各階模態函數：其中：連續系統的振動/梁的彎曲振動2023年2月2日《振動力學》115鉛垂梁的前三階模態形狀第一階模態第二階模態第三階模態一個節點兩個節點無節點節點位置連續系統的振動/梁的彎曲振動2023年2月2日《振動力學》116例：簡支梁的固有頻率和模態函數解：一端圓柱固定鉸另一端圓柱滑動鉸固定鉸：撓度和截面彎矩為零滑動鉸：撓度和截面彎矩為零得：以及：頻率方程：固有頻率：連續系統的振動/梁的彎曲振動2023年2月2日《振動力學》117頻率方程：固有頻率：模態函數：第一階模態第二階模態第三階模態第四階模態模態形狀節點位置無節點一個節點兩個節點三個節點連續系統的振動/梁的彎曲振動2023年2月2日《振動力學》118例：兩端自由梁的固有頻率和模態函數背景：導彈飛行系統類別：半正定系統存在剛體模態連續系統的振動/梁的彎曲振動2023年2月2日《振動力學》119頻率方程：模態函數：其中：當

i=1,2,3時解得：當

時自由端：彎矩和截面剪力為零當

時對應剛體模態連續系統的振動/梁的彎曲振動2023年2月2日《振動力學》120第二階模態第三階模態第四階模態第五階模態自由梁的模態形狀連續系統的振動/梁的彎曲振動2023年2月2日《振動力學》121例：試用數值確定一根一端固定另一端簡支的梁的頻率方程，并且繪出第一階模態和第二階模態的撓度曲線。連續系統的振動/梁的彎曲振動2023年2月2日《振動力學》122連續系統的振動/梁的彎曲振動解：梁的自由振動方程：邊界條件固定端：自由端：模態函數：2023年2月2日《振動力學》123連續系統的振動/梁的彎曲振動2023年2月2日《振動力學》124連續系統的振動/梁的彎曲振動非零解條件：頻率方程：求得：對應的各階模態函數：代入：2023年2月2日《振動力學》125連續系統的振動/梁的彎曲振動第一階模態：第二階模態：0.5602023年2月2日《振動力學》126例：懸臂梁一端固定，另一端有彈性支撐邊界條件固定端：撓度和截面轉角為零彈性支撐端：剪力、彎矩分別與直線彈簧反力、卷簧反力矩相等彈簧二：直線彈簧，與撓度成正比彈簧一：卷簧，與截面轉角成正比彎矩平衡條件：剪力平衡條件：連續系統的振動/梁的彎曲振動2023年2月2日《振動力學》127固定端：彈性支撐端：由固定端條件解得：由彈性支撐固定端條件解得：連續系統的振動/梁的彎曲振動2023年2月2日《振動力學》128或非零解條件導出頻率方程：連續系統的振動/梁的彎曲振動2023年2月2日《振動力學》129（1）若k1、k2

同時為零，則退化為懸臂梁的情形連續系統的振動/梁的彎曲振動討論：2023年2月2日《振動力學》130（2）若k1＝0、k2

無窮大，則退化為一端固定另一端簡支的情形連續系統的振動/梁的彎曲振動討論：2023年2月2日《振動力學》131例：懸臂梁自由端附有質量求頻率方程解：固定端：自由端：彎矩為零，剪力與質量慣性力平衡利用同上述算例相同的方法，得頻率方程：其中：為集中質量與梁質量之比為梁質量連續系統的振動/梁的彎曲振動2023年2月2日《振動力學》132連續系統的振動

(2)鐵木辛科梁橫向自由振動由(4.39)得對簡支梁代入(4.59)，得頻率方程2023年2月2日《振動力學》133連續系統的振動若僅考慮(4.59)中前二項，即不考慮轉動慣量和剪切變形影響，得式中，λn=l/n為振動中梁的半波長度，得固有頻率與歐拉-伯努利梁模型固有頻率相同。若僅考慮(4.59)中前三項，即只考慮轉動慣量影響，得頻率方程2023年2月2日《振動力學》134連續系統的振動由二項展開，得固有頻率若只考慮剪切變形影響，則頻率方程得出固有頻率2023年2月2日《振動力學》135連續系統的振動可見，轉動慣量、剪切變形都是使梁固有頻率降低，對高階固有頻率影響更大。因考慮轉動慣量后，梁慣性增加，考慮剪切變形后，剛度就降低，兩者都引起梁固有頻率降低。剪切變形影響比轉動慣量影響大。最后一項與第一項相比是一微量，略去得固有頻率2023年2月2日《振動力學》136連續系統的振動2.主振型的正交性自由振動解通常為無限多階主振型的疊加，對簡支梁有式中An、φn為待定常數，由初始條件決定。設Yn(x)和Ym(x)為n、m階固有頻率ωn和ωm對應的主振型函數。對歐拉-伯努利梁，滿足方程：2023年2月2日《振動力學》137連續系統的振動將Yn(x)、Ym(x)代入(a)，得由Yn(x)、Ym(x)分別乘(b)、(c)，并在[0l]上積分,得對(d)、(e)應用分部積分，得2023年2月2日《振動力學》138連續系統的振動兩式相減，得對簡支、固定、自由三種支承的任意組合，右邊皆為零，故m≠n，ωn≠ωm時，有2023年2月2日《振動力學》139連續系統的振動此式為主振型對質量的正交條件。將(4.65)代入（f)或(g)，得此式為主振型對剛度的正交條件。對等截面梁,主振型正交性條件可表為2023年2月2日《振動力學》140連續系統的振動當m=n時，則式中，正常數Mn稱為廣義質量。如果Mn=1，則稱Yn(x)為正則振型函數，即滿足代(4.68)入(d)，得2023年2月2日《振動力學》141連續系統的振動(4.66a)、(4.68)可統一寫為(4.69)可寫為

對等直梁

2023年2月2日《振動力學》1422023年2月2日《振動力學》1422023年2月2日《振動力學》1422023年2月2日《振動力學》1422023年2月2日《振動力學》1422023年2月2日《振動力學》1422023年2月2日《振動力學》1422023年2月2日《振動力學》1422023年2月2日《振動力學》1422023年2月2日《振動力學》1422023年2月2日《振動力學》1422023年2月2日《振動力學》1422023年2月2日《振動力學》142作業第157頁4.12、4.13、4.14、4.16連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動2023年2月2日《振動力學》143連續系統的振動3.梁的橫向強迫振動長l的均質等截面歐拉-伯努利梁，受分布力q(x,t)作用，其強迫振動方程為設其解為式中，Yn(x)為固有頻率ωn對應的正則振型函數，Hn(t)待求時間函數，即正則坐標(廣義坐標)。將(4.72)代入(4.38)，得2023年2月2日《振動力學》144連續系統的振動注意：主振型的正交性對等直梁2023年2月2日《振動力學》145連續系統的振動式(4.73)兩邊均乘Ym(x)，并對x在[0l]上積分，應用正交性條件(4.70)、(4.71a)得式中，稱為廣義力，(4.74)通解為因此歐拉-伯努利梁強迫振動解為式中，為廣義坐標和廣義速度初值。2023年2月2日《振動力學》146連續系統的振動【例4.5】圖4.21為長l簡支梁，截面抗彎剛度EI，單位體積質量ρ，截面積A，離梁一端a處，作用周期性集中載荷F=F0sinω0t。梁初位移及初速度均為零，求此系統的響應?！窘狻孔饔糜趚=a處的集中載荷可寫為對簡支梁，正則振型函數為2023年2月2日《振動力學》147連續系統的振動由(4.75)有因t=0時，，則兩邊均乘ρAYm(x)，對x在[0l]積分，利用振型正交性得2023年2月2日《振動力學》148連續系統的振動代入初始條件得廣義力則系統響應為2023年2月2日《振動力學》149連續系統的振動4.2.3移動載荷作用下的梁的橫向振動橋梁、橋式吊車大梁皆承受移動載荷，在其作用下將產生振動。

1.恒值集中動荷作用下梁的橫向振動對歐拉-伯努利梁，所受恒值集中載荷F以速度v向右運動。在t=0，F位于支承A處，t時刻F距A距離為a=vt。設x處橫向位移y(x,t)，則振動方程為2023年2月2日《振動力學》150連續系統的振動式(4.76)通解為式中，Yn(x)為正則振型函數，表達式為廣義力則2023年2月2日《振動力學》151連續系統的振動故系統響應為2023年2月2日《振動力學》152連續系統的振動2.移動質量作用下梁的橫向振動考慮歐拉-伯努利梁。對移動質量m，以等速度v向右移動，t=0時位于支承A處。則t時刻，移動質量距A距離a=vt，聯連于移動質量上的坐標ξ，則有2023年2月2日《振動力學》153連續系統的振動以移動質量為對象，受力如圖4.23(b)，由牛頓定律有梁的橫向位移y(x,t)，則橫向振動方程為把(b)代入(c)中，有因2023年2月2日《振動力學》154連續系統的振動將以上關系代入(d)中，得當x=vt時當x≠vt時2023年2月2日《振動力學》155連續系統的振動(4.79a)解可表示為代入(4.79a)，得式(4.80)為非常系數微分方程，可用逐步漸近法求解。2023年2月2日《振動力學》1562023年2月2日《振動力學》1562023年2月2日《振動力學》1562023年2月2日《振動力學》1562023年2月2日《振動力學》1562023年2月2日《振動力學》1562023年2月2日《振動力學》1562023年2月2日《振動力學》1562023年2月2日《振動力學》1562023年2月2日《振動力學》1562023年2月2日《振動力學》1562023年2月2日《振動力學》1562023年2月2日《振動力學》156作業第158頁4.18連續系統的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動2023年2月2日《振動力學》157連續系統的振動3.車輪滾動時軌道的橫向振動對圖4.24模型，車輪為剛性，半徑R，質量m，受軸重G和驅動力MA作用。MA隨Ω變化如圖4.25，且車輪中心以速度v在無限長彈性軌道上滾動。軌道基礎認為是粘彈性基礎。

將軌道簡化為歐拉-伯努利梁，彎曲剛度EI，單位長度質量μ，軌道高度h<<R，單位長度基礎剛度k，單位長度基礎阻尼b。2023年2月2日《振動力學》158連續系統的振動建立如圖4.24的坐標系，考慮車輪有微小的偏移s(t)、y(t)、φ(t)，梁在垂直方向有微小的偏移w(x,t)，輪心到K點的半徑為R，鉛垂線偏轉了一個微小的角度α(t)，車輪的平均角速度是ω=v/R，接觸點K的橫坐標為xK=vt+sK，由圖4.24可見式中“′”表示?/?x。假設車輪為純滾動，則在接觸點K處不存在相對運動，又假設梁在接觸點處水平方向運動非常小而忽略不計，在接觸點K處有一下的運動關系式：2023年2月2日《振動力學》159連續系統的振動又假設梁在接觸點處水平方向運動非常小而忽略不計，在接觸點K處有一下的運動關系式：式中，“·”表示?/?t。因為非線性項，又可忽略不計，故上兩式可化為2023年2月2日《振動力學》160連續系統的振動根據圖4.26所示車輪的受力圖，應用動靜法可寫出車輪的運動微分方程為而非線性項可忽略不計，J0為車輪的轉動慣量，則式(g)可寫為對梁而言，其振動微分方程為2023年2月2日《振動力學》161連續系統的振動則本系統的運動微分方程共有4個：式(4.81)、式(4.82)、式(4.83)、式(4.84)。對上述方程組將從兩個方面來考慮，一方面考慮車輪為靜止時，即車輪中心的平均速度v=0的情況，另一方面考慮車輪中心的速度v≠0的情況，在此情況下，把坐標進行變換，取一運動坐標系，其坐標原點在輪心，設將方程(4.84)的齊次方程改寫為2023年2月2日《振動力學》162連續系統的振動其邊界條件為其中間連續條件(在接觸點處)為式中(4.83)經過坐標變換后，可寫為2023年2月2日《振動力學》1632023年2月2日《振動力學》163教學內容連續系統的振動/弦、桿的振動2023年2月2日《振動力學》163薄版的橫向振動矩形板的橫向振動矩形板橫向振動方程矩形板橫向自由振動矩形板橫向強迫園板的橫向振動園板的橫向振動方程園板的自由振動園板的強迫振動2023年2月2日《振動力學》164連續系統的振動4.3薄板的振動工程結構中，除梁、柱基本構件外，還有板構件。

薄板是指其厚度要比長、寬這兩方面的尺寸小得多板（通常長/厚>10)，在上下表面之間存在著一對稱平面，稱為中面，且假定：

（1）板材料由各向同性彈性材料組成；

（2）振動時薄板的撓度要比它的厚度要小；（3）自由面上的應力為零；

（4）原來與中面正交的橫截面在變形后始終保持正交，即薄板在變形前中面的法線在變形后仍為中面的法線。2023年2月2日165連續系統的振動4.3.1矩形薄板的橫向振動

1.振動方程為了建立應力、應變和位移之間的關系，取一空間直角坐標系Oxyz，坐標原點及oxy坐標面皆放在板變形前的中面位置上，如圖4.27。設板上任意一點a的位置，將由變形前的坐標x、y、z來確定。2023年2月2日166連續系統的振動由假定（2），板的橫向變形w和面內變形u、v相互獨立。為此，其彎曲變形可由中面上各點的橫向位移w(x,y,t)所決定。根據假定（3），可認為σz處處為零;

根據假定（4），剪切應變分量γxz=γyz=0板內任意一點a(x,y,z)沿x,y,z三個方向的位移分量u,v,w分別為2023年2月2日《振動力學》167連續系統的振動

應變與位移的幾何關系為

2023年2月2日《振動力學》168連續系統的振動應力應變關系為：

2023年2月2日《振動力學》169連續系統的振動2023年2月2日《振動力學》1702023年2月2日《振動力學》170連續系統的振動整理得

《振動力學》171連續系統的振動整理得

2023年2月2日《振動力學》172連續系統的振動整理后，可得將（4.92）、（4.93）代入（4.91）得

因2023年2月2日《振動力學》173連續系統的振動將（4.90）代入（4.95），積分得

將（4.96）代入（4.94），得薄板振動方程

2023年2月2日《振動力學》174連續系統的振動

四階線性非齊次偏微分方程。2.矩形板橫向振動自由振動矩形板的橫向自由振動方程

應用分離法，設解為

2023年2月2日《振動力學》175連續系統的振動將（4.99）代入（4.98）得

式中由邊界條件可求解固有頻率。2023年2月2日《振動力學》176連續系統的振動令代入（4.100）得

（4.102）可改寫為

2023年2月2日《振動力學》177連續系統的振動現討論式（4.103a）中，首先要滿足邊界條件，設

根據上兩式，有則-α4=β4，故有

2023年2月2日《振動力學》178連續系統的振動將上兩式代