第一章

流體屬性和流體靜力學1.1流體屬性1.2作用在流體微團上力的分類1.3理想流體內一點的壓強及其各向同性1.4流體靜平衡微分方程1.5重力場靜止液體中的壓強分布規律1.6液體的相對平衡問題1.7標準大氣1.1流體屬性1.1.1連續介質的概念流體力學和空氣動力學是從宏觀上研究流體（空氣）的運動規律和作用力規律的學科，流體力學和空氣動力學常用“介質”一詞表示它所處理的流體。流體包括液體和氣體。從微觀角度而言不論液體還是氣體，其分子之間都存在間隙，但這個距離與我們宏觀上關心的物體（如飛行器）的任何一個尺寸L相比較都是微乎其微的。例：海平面條件下，空氣分子的平均自由程為l=10-8mm,1m3含3×1021個分子，1mm3氣體含2.6×1016個分子。（注：平均自由程：氣體分子兩次碰撞自由程的平均值）1.1.1連續介質的概念當受到物體擾動后，流體或空氣所表現出的是大量分子運動體現出的宏觀特性變化如壓強，密度，而不是個別分子的行為。流體力學和空氣動力學所關注的正是這樣的宏觀特征而不是個別分子的微觀特征。如果我們將流體的最小體積單位假設為具有如下特征的流體質點：宏觀上充分小，微觀上足夠大，則可以將流體看成是由連綿一片的，彼此之間沒有空隙的流體質點組成的連續介質，這就是連續介質假設。由連續質點組成的質點系稱為流體微團。1.1.1連續介質的概念一般用努生數即分子平均自由程與物體特征尺寸之比來判斷流體是否滿足連續介質假設：

l/L<<1

對于常規尺寸的物體只有到了外層大氣中，l/L才可能

等于甚至大于1

一旦滿足連續介質假說，就可以把流體的一切物理性質如密度，壓強，溫度及宏觀運動速度等表為空間和時間的連續可微函數，便于用數學分析工具來解決問題。1.1.1連續介質的概念在連續介質的前提下，流體介質的密度可以表達為：流體為均值時：流體為非均值時：其中，

為流體空間的體積，

為其中所包含的流體質量。1.1.1連續介質的概念：介質內部一點處的密度下圖為

時平均密度的變化情況

(繞A點的微團體積)：當微團體積趨于宏觀上充分小，微觀上充分大的某體積

時，密度達到穩定值，但當體積繼續縮小到分子平均自由程

量級時，其密度就不可能保持為常數。

Axyz1.1.2流體的易流性流體與固體的宏觀差別：固體－可保持一定體積和形狀

液體－可保持一定體積但不能保持形狀流體與固體在力學特性上最本質的區別在于：二者承受剪應力和產生剪切變形能力上的不同。

如圖所示，固體能夠產生一定的剪切角變形量

（弧度）來抵抗剪切應力：θ固體1.1.2流體的易流性靜止流體在剪切力作用下（不論所加剪切應力

多么小，只要不等于零），將產生持續不斷的變形運動（流動），換句話說，靜止流體不能承受剪切應力，將這種特性稱為流體的易流性。θ1θ2t2t1流體1.1.3流體的壓縮性與彈性流體受壓時其體積發生改變的性質稱為流體的壓縮性，而抵抗壓縮變形的能力和特性稱為彈性。#體積彈性模量定義為產生單位相對體積變化所需的壓強增高：壓縮性系數定義為單位壓強差所產生的體積增量：1.1.3流體的壓縮性與彈性當E較大時，βp較小，流體不容易被壓縮，反之則容易被壓縮。液體的E較大，通常可視為不可壓縮流體，氣體的E通常較小且與熱力過程有關，故一般認為氣體具有壓縮性。由于

，E還可以寫為：后面降到高速流動時會證明，

，即音速的平方等于壓強對密度的變化率。所以氣體的彈性決定于它的密度和聲速：1.1.3流體的壓縮性與彈性由于氣體的彈性決定于聲速，因此馬赫數的大小可看成是氣體相對壓縮性的一個指標。當馬赫數較小時，可認為此時流動的彈性影響相對較大，即壓縮性影響相對比較小（或一定速度，壓強變化條件下，密度的變化可忽略不及），從而低速氣體有可能被當作不可壓縮流動來處理。反而當馬赫數較大之后，可以認為此時流動的彈性影響較小，即壓縮性影響相對較大（或一定速度，壓強變化條件下，密度的變化不能忽略不計），此時必須考慮流動的壓縮性效應。因此盡管一般我們認為氣體是可以壓縮的，但在考慮其流動時按照其速度快慢即馬赫數大小將其區分為不可壓縮流動和可壓縮流動。可以證明，當馬赫數小于0.3時，此時的流動為不可壓縮流動；當馬赫數大于0.3時，此時的流動為可壓縮流動。1.1.4流體的粘性實際流體都有粘性。粘性的物理本質是？數學表達是？任取相鄰流層，考察可知，外層的流體受到內層流體摩擦，速度有變慢趨勢；反過來內層流體受到外層流體摩擦拖拽，其速度有變快趨勢。直接貼著壁面的一層速度降為零。流層間的互相牽扯作用一層層向外傳遞，離板面一定距離后，牽扯作用逐步消失，速度分布變為均勻。（邊界層）1.1.4流體的粘性流層間阻礙流體相對錯動（變形）趨勢的能力稱為流體的粘性，相對錯動流層間的一對摩擦力即粘性剪切力。牛頓（1686）發現，流體作用在平板上的摩擦力正比于速度U和平板面積A,反比于高度h，而

是與流體介質屬性有關的比例常數：θ1Fθ2t2t1流體hUA1.1.4流體的粘性設

表示單位面積上的內摩擦力（粘性剪切應力），則如果高度h無限接近

（設為y方向），即兩個相鄰流層無限接近，則流層間速度變化趨向于線性。則可以化為速度梯度：這就是著名的牛頓粘性應力公式，它表明粘性剪切應力與速度梯度有關，與物性有關。

（注：該公式也是流體易流性的數學表達式。）1.1.4流體的粘性從牛頓粘性公式可以看出：流體的剪應力與壓強無關。當

時，

，

無論剪應力多小，只要存在剪應力，流體就會發生變形運動。當

時，

，

即只要流體靜止或無變形，就不存在剪應力，流體不存在靜摩擦力。牛頓粘性應力公式可以看成流體易流性的數學表達。1.1.4流體的粘性綜上所述：流體的粘性是指流體抵抗剪切變形或者質點之間的相對運動的能力。流體的粘性力是抵抗流體質點之間相對運動（例如流體層間的相對運動）的剪切力或摩擦力。在靜止狀態下，流體不能承受剪切力；但是在運動狀態下，流體可以承受剪力，粘性應力大小與流體變形速度梯度有關，而且與流體種類有關。1.1.4流體的粘性液體和氣體產生粘性的物理原因不同，前者主要來自液體分子間的內聚力，后者主要來自于氣體分子的熱運動。因此液體與氣體動力粘性系數隨穩定變化的趨勢相反：液體：溫度升高，

變小，反之變大氣體：溫度身高，

變大，反之變小如氣體動力粘性系數的薩特蘭公式等。1.1.4流體的粘性在許多空氣動力學問題里，粘性力和慣性力同時存在，在式子中

和

（質量）往往以

的組合形式出現，所以用符號

表示1.2作用

在流體微團上力的分類按照作用力的性質和作用方式，可分為徹體力和表面力兩類。徹體力：外力場作用于流體微團質量中心，大小與微團質量成正比的非接觸力。例如重力，慣性力和磁流體具有的電磁力等都屬于徹體力。徹體力也稱為體積力或質量力。由于徹體力按照質量分布，故一般用單位質量的徹體力表示，并且往往寫出分量形式：其中

是微團體積，ρ為密度，

為作用于微團的徹體力，i、j、k分別是三個坐標方向的單位向量，fx

、fy

、fz分別是三個方向的單位質量徹體力分量

。1.2作用

在流體微團上力的分類表面力：相鄰流體或者物體作用于所研究物體團塊外表面，大小與流體團塊表面積成正比的接觸力。由于按面積分布，故用接觸應力表示，并可將其分解為法向應力和切向應力：ΔAΔTΔPn1.2作用

在流體微團上力的分類法向應力與切向應力即摩擦應力組成接觸應力：上述畫出的表面力對整個流體而言是內力，對所畫出的流體團塊來說則是外力。流體內任取一個剖面一般有法向應力和切向應力，但切向應力完全是由粘性產生的。1.3理想流體內一點的壓強及其各向同性

理想和靜止流體中的法向應力稱為壓強

p，其指向沿著表面的內法線方向，壓強的量綱是[力]/[長度]2，單位為（N/m2）或

（帕：pa）在理想（無粘）流體中，不論流體靜止還是運動，盡管一般壓強是位置的函數

P=P(x,y,z),

但在同一點處壓強不因受壓面方位不同而變化，這個結果稱為理想流體內壓強是各向同性的。1.3理想流體內一點的壓強及其各向同性如討論P點處壓強，在周圍取如圖微元4面體ABCo,作用在各表面的壓強如圖所示，理想流體無剪切應力，由于dx,dy,

dz

的取法任意，故面ABC的法向方向n方向也是任意的。分別沿

x、y、z

三個方向建立力的平衡關系：x方向合外力＝質量×加速度（x方向）,,,0yxzdxdydzpzpxpypnnABCo·P因為圖中的n方向為任取，故各向同性得證。01.4

理想流體內一點壓強及其各向同性壓強的各向同性說明：無粘流體內部一點的壓強，其值與壓力方向無關，其沿各個方向受到的壓力大小都是一樣的；無論流體是靜止的還是流動的，這個結論都是成立的。

1.4

流體靜平衡微分方程下面我們研究壓強在平衡流體中的分布規律在平衡流體（靜止或者相對靜止）中取一笛卡爾坐標系Oxyz，坐標軸方位任意。在流體內取定一個點P

(x,y,z),

然后以該點為中心沿坐標軸三個方向取三個長度dx,dy,dz,畫出一個微元六面體作為分析對象：O

xyz·Pdxdydz1.4

流體靜平衡微分方程假設：六面體體積：dτ=dxdydz中心點坐標：

x,y,z中心點壓強：p=p（x,y

,z）中心點密度：

ρ=ρ（x,y,z）中心點處三個方向的單位質量徹體力:fx,fy,fz

微元六面體的表面力可以用中心點處壓強表示:?

xyz·Pdxdydz1.4

流體靜平衡微分方程x方向的表面力為：x方向的徹體力為流體靜止，則x方向的合外力為零：

1.4

流體靜平衡微分方程兩邊同除以

dτ=dxdydz，可得

x方向平衡方程：y,z方向同理可得：

流體平衡微分方程

-Euler

靜平衡方程

<

>表明當流體平衡時，若壓強在某個方向有梯度的話，必然是由于徹體力在該方向有分量造成緣故。

1.4

流體靜平衡微分方程將上三個式子分別乘以dx，dy，dz，然后相加起來，得到：

此式左端是個全微分：

如果右端括號也是某函數Ω=Ω（x,y,z）的全微分dΩ

，則稱Ω為徹體力的勢函數，或稱徹體力有勢。

（1）1.4

流體靜平衡微分方程根據數學分析，上述括號是全微分要求右端的三個徹體力分量

fx

，fy

，fz

滿足下列關系：這就是全微分的充分條件.

1.4

流體靜平衡微分方程則方程（1）右側括號也是Ω（x,y,z）的全微分，并規定它在x,y,z三個方向導數的負值為其三個分量則平衡微分方程可寫為：如果我們知道某一點的壓強值

pa

和徹體力勢函數

Ωa

的值,則任何其它點的壓強和勢函數之間的關系便可表出：

1.4

流體靜平衡微分方程等壓面的概念：流場中壓強相等的空間點組成的幾何曲面或平面在等壓面上滿足：或上式積分分為一幾何曲面或平面，該曲面上滿足dp=0，上方程稱為等壓面方程，也是徹體力的等勢面。

······p=c等壓面1.4

流體靜平衡微分方程例如：1.在重力場下靜止液體等壓面必然為水平面2.在加速上升電梯中的液體除了受到重力之外，還受到向下的慣性力，二者合成的徹體力均為向下，因此等壓面也是水平面

1.5

重力場靜止流體中的壓強分布規律設封閉容器自由面處壓強為p0，如圖建立坐標系，考慮距水平軸高度為

y處的某單位質量流體，其徹體力可表示為：其中g為重力加速度。

p0。xygy1.5

重力場靜止流體中的壓強分布規律

p0。xygy積分得（注意重度γ＝ρg）：此式稱為平衡基本方程。上式表明，在平衡流體中

p/γ與

y之和為常數。顯然，靜止流體中等壓面為水平面

y＝c代入平衡微分方程

得：1.5重力場靜止流體中的壓強分布規律

的物理意義為:y----代表單位重量流體的重力勢能簡稱勢能

p/γ---代表單位重量流體的壓力勢能簡稱壓力能H----代表平衡流體中單位重量流體的總能量平衡基本方程

表明:平衡流體中勢能與壓力能可以互相轉換，但總能量保持不變1.6液體的相對平衡問題

在以勻加速運動或勻角速度轉動的相對平衡流體中，如果將坐標系固連在以勻加速運動或勻角速度轉動的容器上，對液體引入慣性力(達朗伯原理)，則同樣可以利用平衡微分方程求解問題。

如圖圓筒作勻角速轉動

，求其中液體的等壓面形狀和壓強分布規律。

yzg將坐標系固連于轉筒，并建如圖坐標系。考慮距底壁為

z,半徑為

r處單位質量流體，會受到一個向下的徹體力大小為g,此外還受到一個向外的慣性力大小為ω2r。在直角坐標系中，三個方向的徹體力可表為：

yxrω2rθω2yω2xyzg1.6液體的相對平衡問題求等壓面：由等壓面方程可得：積分得：即：為旋轉拋物面族yzgH1.6液體的相對平衡問題h特別地，設自由面最低點距坐標原點高

H時，可定出自由面對應的常數：r=0

時，c=z=H，故自由面方程為：其中

稱為超高，即液面高出拋物線頂點的部分。1.6液體的相對平衡問題yzgHh求壓強分布：將徹體力代入平衡微分方程方程可得：積分得：由自由面條件定出積分常數：x=y=0

，

z=H時,p=pa，定得積分常數

c=pa+ρgH，

帶入上述積分結果，得：1.6液體的相對平衡問題1.7標準大氣

無論做飛行器設計，還是做實驗研究，都要用到大氣的條件，為了便于比較，工程上需要規定一個標準大氣。這個標準是按中緯度地區的平均氣象條件定出來的。這樣做計算時，都依此標準進行計算；做實驗時，也都換算成標準條件下的數據。

標準大氣規定在海平面上，大氣溫度為

15℃或

T0=288.15K

，壓強p0=760

毫米汞柱=101325牛/米2，密度ρ0=1.225千克/米3

從基準面到11km的高空稱為對流層，在對流層內大氣密度和溫度隨高度有明顯變化，溫度隨高度增加而下降，高度每增加1km，溫度下降

6.5K，即：

從

11km到

21km的高空大氣溫度基本不變，稱為同溫層或平