第2章——自動控制系統的數學模型

2．1控制系統的微分方程

2．2傳遞函數2．3控制系統結構圖及其等效變換2．4脈沖響應函數本次內容簡介

系統是指相互聯系又相互作用著的對象之間的有機組合。許多控制系統，不管它們是機械的、電氣的、熱力的、液壓的，還是經濟學的、生物學的等等，都可以用微分方程加以描述。如果對這些微分方程求解，就可以獲得控制系統對輸入量（或稱作用函數）的響應。系統的微分方程，可以通過支配著具體系統的物理學定律，例如機械系統中的牛頓定律，電路系統中的基爾霍夫定律等獲得。為了設計（或者分析）一個控制系統，首先需要建立它的數學模型，即描述這一系統運動規律的數學表達式。本次內容簡介有三種比較常用的描述方法：一種是把系統的輸出量與輸入量之間的關系用數學方式表達出來，稱之為輸入--輸出描述，或外部描述，例如微分方程式、傳遞函數和差分方程。第二種不僅可以描述系統的輸入、輸出間關系，而且還可以描述系統的內部特性，稱之為狀態變量描述，或內部描述，它特別適用于多輸入、多輸出系統，也適用于時變系統、非線性系統和隨機控制系統。另一種方式是用比較直觀的方塊圖模型來進行描述。同一控制系統的數學模型可以表示為不同的形式，需要根據不同情況對這些模型進行取舍，以利于對控制系統進行有效的分析。數學模型1、定義：控制系統的輸入變量和輸出變量之間動態關系的數學表達式即為數學模型，能夠揭示系統的結構參數與動態性能之間關系。2.表示形式

a.微分方程；b.傳遞函數，c.頻率特性3.三種數學模型之間的關系線性系統傳遞函數微分方程頻率特性拉氏變換傅氏變換通過時域分析方法，可以得到控制系統的時域響應曲線，它直觀地反映了系統的動態過程，同時，它建立起來的系統概念、指標體系等易于人們理解和使用。但是，一個控制系統的微分方程往往是高階的微分方程式，求解這類方程式較困難。同時，通過時域解很難找出微分方程式系數（它們取決組成系統的元件的參數）對方程解的影響的一般規律。因而，使得控制系統的分析和校正較為困難。所以，人們往往通過建立復域和時域之間、頻域和時域之間的聯系來達到，通過根軌跡法、頻域法間接地達到分析和校正控制系統的目的。

系統的數學模型可以用解析法或實驗法建立。本章只討論解析法建立系統的數學模型。

2．1控制系統的微分方程

控制系統中的輸出量和輸入量通常都是時間t的函數。很多常見的元件或系統的輸出量和輸入量之間的關系都可以用一個微分方程表示，方程中含有輸出量、輸入量及它們各自對時間的導數或積分。這種微分方程又稱為動態方程、運動方程或動力學方程。微分方程的階數一般是指方程中最高導數項的階數，又稱為系統的階數。

建立系統微分方程的一般步驟或方法：1．根據研究問題的需要，確定系統的輸入和輸出。2．對實際系統進行適當的簡化，如將分布參數集中化、將非線性因素線性化等。3．根據系統、輸入和輸出三者之間動態關系的原理或定律，列寫系統的微分方程。若系統比較復雜，則需分段列寫微分方程，在這種情況下必須注意各分段之間的負載效應問題。4．消去中間變量，將方程整理成標準形式，即將與輸出有關的項列在等號左邊，而將與輸入有關的項列在等號右邊，且各階導數按降冪排列。列寫微分方程的一般步驟確定元件的input量和output量，并引入必要的中間變量根據物理或化學定律，列微分方程消去中間變量，得出元件的數學模型

2．1．1電氣系統

電氣系統中最常見是由電阻、電感、電容、運算放大器等元件組成的的裝置,其電路又稱電氣網絡。像電阻、電感、電容這類本身不含有電源的器件稱為無源器件，像運算放大器這種本身包含電源的器件稱為有源器件。僅由無源器件組成的電氣網絡稱為無源網絡。如果電氣網絡中包含有源器件或電源，就稱為有源網絡．例1

圖中所示的電路中，電壓ui(t)為輸入量，uo(t)為輸出量，列寫該裝置的微分方程式。解設回路電流為i(t)如圖2-1所示．由基爾霍夫電壓定律可得到(2-6)式中i(t)是中間變量。i(t)和uo(t)的關系為（2-7）將式（2-7）代入式（2-6），消去中間變量i(t)，可得例2

圖中所示為由兩個RC電路串聯而成的濾波網絡。試建立輸入電壓ui和輸出電壓uo之間動態關系的微分方程。例2

解設回路電流i1和i2為中間變量。根據基爾霍夫電壓定律對前一回路，有

（2-9）對后一回路，有

（2-10）且

（2-11）由上三式消去中間變量i1和i2，整理即得ui和uo之間動態關系的微分方程

由上例明顯看出，系統中后一部分對前一部分的負載效應(或前一部分對后一部分的電源效應)。這反映在流過前一回路電容C1的電流上，沒有后一回路時為i1，而當串聯上后一回路則為i1–i2。從能量的角度看，負載效應就是后一回路帶走了前一回路的一部分能量。從信息傳遞的角度看，負載效應就是系統的兩個部分之間所存在的信息的內部直接反饋作用。如果在上述兩個RC電路之間引入一個輸入阻抗很高的隔離放大器，則可忽略它們之間的負載效應。這種方法在組合電路中經常采用，這也正是電氣系統的一個優點。

2．1．2機械系統

機械系統指的是存在機械運動的裝置，它們遵循物理學的力學定律。機械運動包括直線運動（相應的位移稱為線位移）和轉動（相應的位移稱為角位移）兩種。例3

一個由彈簧-質量-阻尼器組成的機械平移系統如圖2-3所示。m為物體質量，k為彈簧系數，f為粘性阻尼系數，外力F(t)為輸入量，位移y(t)為輸出量。列寫系統的運動方程。解取向下為力和位移的正方向。當F(t)=0時物體的平衡位置為位移y的零點。該物體m受到四個力的作用：外力F(t)，彈簧的彈力Fk，粘性摩擦力FB及重力mg。Fk、FB向上為正。由牛頓第二定律知(2-16)且

（2-17）（2-18）（2-19）式中yo為F=0、物體處于靜平衡位置時彈簧的伸長量，將式（2-17、18、19）代入式（2-16）得到該系統的運動方程式

2．2傳遞函數

一個控制系統性能的好壞，取決于系統的內在因素，即系統的結構參數，而與外部施加的信號無關。因而，對于一個控制系統品質好壞的評價可以通過對系統結構參數的分析來達到，而不需要直接對系統輸出響應進行分析。

傳遞函數是在拉氏變換基礎之上引入的描述線性定常系統或元件輸入、輸出關系的函數。它是和微分方程一一對應的一種數學模型，它能方便地分析系統或元件結構參數對系統響應的影響。

當初始條件為零時，線性定常系統或元件輸出信號c（t）的拉氏變換式與輸入信號r（t）的拉氏變換式之比，稱為該系統或元件的傳遞函數，記為G（s），即：控制系統微分方程式的一般形式為：

設初始條件為零，并對上式進行Laplace變換，經整理得：

M（s）──傳遞函數的分子多項式；N（s）──傳遞函數的分母之多項式。

2．2．2傳遞函數的性質

1.傳遞函數它只適用于線性定常系統，且只能反映零初始條件下的全部運動規律。2.傳遞函數是s的復變函數，其M（s）、N（s）的各項系數均由系統或元件的結構參數決定，并與微分方程式中的各項系數一一對應。3.傳遞函數表征系統或元件本身的特性，而與輸入信號無關，但它不能反映系統或元件的物理結構。也就是說，對于許多物理性質截然不同的系統或元件，它們可以有相同形式的傳遞函數。4.由于能源的限制和實際系統或元件總是具有慣性的緣故，其輸出量不可能無限制上升，因而有：n≥m。5.傳遞函數表征輸入輸出信號間的信號傳遞關系，因此對于同一系統，選取不同的輸入、輸出變量，傳遞函數將不同。6.傳遞函數還可以用下式表達：上式中Kr──常數；

z1﹒z2﹒﹒﹒zm──分子多項式M=0的根，稱為零點；

p1﹒p2﹒﹒﹒pn──分母多項式N=0的根，稱為極點。N（s）=0是控制系統的特征方程式，它與微分方程式的特征方程式一一對應。zi、pi可為實數、虛數、或復數。若為虛數、或復數，必為共軛虛數、或共軛復數。注意，只有當上式中的分子及分母多項式間沒有公因子時，傳遞函數的零、極點才會和系統的零、極點完全相同；分母多項式的階次才代表系統的階次。2.求取RLC無源網絡或有源網絡的傳遞函數，采用阻抗法求取更為方便。下表列出了電路中電阻、電容和電感的阻抗傳遞函數。

元件名稱電路形式元件微分方程阻抗傳遞函數電阻R

電感L電容C

傳遞函數的求取

1.直接計算法對于元件或簡單系統，首先建立描述元件或系統的微分方程式，然后在零初始條件下，對方程式進行拉氏變換，即可按傳遞函數的定義求得元件或系統的傳遞函數。線性系統的兩個重要性質1.齊次性如果線性系統對輸入信號x（t）的響應為y（t），則輸入信號為ax（t）時，其響應為ay（t）。2.疊加性如果線性系統對x1（t）和x2（t）的響應分別為y1（t）和y2（t），則系統輸入信號為x1（t）+x2（t）時，系統的響應應為y1（t）+y2（t）。

由線性系統的齊次性和疊加性可知：作用于線性定常系統的多個輸入信號（它們可以作用于不同的輸入端）的總的響應等于各個輸入信號單獨作用時產生的響應的代數和。線性系統的這兩個重要性質使得線性定常系統的分析大為簡化。3.利用動態框圖求取傳遞函數對于復雜系統，應先求出元件的傳遞函數，再利用動態框圖和框圖運算法則，可方便地求解系統的傳遞函數。該方法將在后面討論。4.利用梅遜公式求取傳遞函數。例5求例1的RLC串聯電路的傳遞函數.

解法1求例1在推導電網絡的傳遞函數時，對于無源元件電感L、電容C和電阻R，分別用它們的復阻抗求解往往是比較簡便的。令Z1=R+Ls，為電阻和電感的復數阻抗之和；為電容的復數阻抗。則

解法2例1的RLC串聯電路的微分方程為

當初始條件為零時，對上式進行拉氏變換后可得傳遞函數為2．2．3典型環節的傳遞函數

傳遞函數的時間常數表示法

上式中τ

i──分子各因子的時間常數；Tj──分母各因子的時間常數；K──時間常數形式傳遞函數的增益；通常稱為傳遞系數。關于傳遞函數的幾點說明只適應線性定常系統；由系統（元件）的參數、結構決定，是系統的動態數學模型；n>m,n為系統的階數單輸入——單輸出傳遞函數寫法：有理分式:零極點形式:時間常數形式：

典型環節都可以用功能框（FunctionBlock）表示。功能框是用帶框的圖形符號（包含輸入、輸出信號間的功能關系）來表示功能相關的元件的組合體。控制系統可視為由若干典型環節按一定方式組合而成。即一個系統或元件可能是一個典型環節，但也可能包含數個典型環節。控制系統中常用的典型環節有，比例環節、慣性環節，微分環節，積分環節和振蕩環節等。以下介紹這些環節的傳遞函數及其推導。

1．比例環節比例環節又稱為放大環節，其輸出量與輸入量之間的關系成正比關系，既它的輸出量能夠無失真、無滯后地，按一定的比例復現輸入量。其傳遞函數為2．微分環節理想微分環節的特點是，其輸出量與輸入量的一階微分成正比，即

式中τ—時間常數。其傳遞函數為當τ?1時，才能近似地得到

比例環節的特征參數只有一個，即放大系數K。工程上如無彈性變形的杠桿傳動、電子放大器檢測儀表、比例式執行機構等都是比例環節的一些實際例子。3．積分環節積分環節的輸出量是輸入量對時間的積分，即

式中K為比例系數，K與時間量綱有關。當輸入量和輸出量為相同的理量時，K的量綱為s-1，故可將積分環節的系數（積分時間常數）寫成積分環節的傳遞函數為

4．一階微分環節

該環節的輸出等于輸入與其一階導數的加權和，其傳遞函數為比例微分環節為比例環節和理想微分環節的疊加。比例-微分環節與慣性環節的傳遞函數互為倒數。5．慣性環節慣性環節又稱非周期環節，其輸出量和輸入量之間的關系可用以下的微分方程描述對應的傳遞函數為式中T——時間常數；

K——比例系數。T:時間常數它是一條指數曲線，當時間t=3T~4T時，輸出量才接近其穩態值。6．振蕩環節振蕩環節的微分方程是

其傳遞函數為

式中T——時間常數；ωn——無阻尼振蕩頻率；ξ——阻尼比，<1。

7．二階微分環節二階微分環節的微分方程為二階微分環節的傳遞函數與振蕩環節的傳遞函數互為倒數。

（0<ξ<1）

8．延遲環節

延遲環節是輸入信號加入后，其輸出端要隔一段時間才能復現輸入信號的環節。它的時間特性表示為其拉氏變換為

傳遞函數為由于延遲環節是系統產生振蕩的原因，所以系統中如有延遲環節，對系統的穩定是不利的。x(t)ty(t)tt即輸出完全復現輸入，只是延遲了t時間。t為延遲環節的特征參數，稱為"延遲時間"或"滯后時間"。

2．3控制系統結構圖及其等效變換傳遞函數方塊圖是系統基于傳遞函數的一種圖形表示的數學模型。其中的每一個方塊代表系統的一個組成環節。

方塊圖,又稱為結構圖或框圖。控制系統中常用方塊圖來形象地描述各元件（環節）之間和各作用量之間的相互關系，它具有簡明、直觀和運算方便的特點。

出現在方塊圖中的環節是以無負載效應為前提的。方塊圖表示系統的優點：可以清楚地表明系統內部信號流動的情況和各環節各變量之間的關系；可以揭示各環節對系統性能的影響；可以根據信號的流向，將各環節的方塊圖連接起來，得到整個系統的方塊圖，從而較易寫出整個系統的傳遞函數。

2．3．1結構圖的組成結構圖由方塊、相加點、分支點、信號流線等圖形符號組成。方塊圖利用這些符號表示各個環節的傳遞函數，以及各環節輸出量、輸入量的相互關系。結構圖是傳遞函數的圖解化。

把一個環節的傳遞函數寫在一個方塊里面所組成的圖形就叫函數方塊。在方塊的外面畫上帶箭頭的線段稱為信號流線。函數方塊和它的信號流線就代表系統中的一個環節。把一個系統的各個環節全用函數方塊表示，并且根據各環節信號的相互關系，用信號流線和相加點把各個函數方塊連接起來，這樣形成的一個完整圖形就是系統的動態結構方塊圖。下圖是一個負反饋系統的結構圖。

2．3．2繪制結構圖的步驟

2．根據運動方程，寫出傳遞函數。對電路模型，省略第1步，直接根據系統電路寫出傳遞函數。3．根據傳遞函數，畫出各環節的結構圖。4．根據信號流向，將各方塊聯結起來．便得出系統的結構圖。1．首先寫出每個環節的運動方程。特別要注意的是：在列寫運動方程時，一定要考慮到相互聯接部分間的負載效應，當一個方塊的輸出與下一個方塊的輸入相聯接，并基本上不受下一方塊影響時，就認為是沒有負載效應的。只有在沒有負載效應時，前一方塊中的傳遞函數才可以按獨立方塊進行計算，當有負載效應時，該方塊中的傳遞函數不同于獨立方塊時的傳遞函數，必須在計入負載影響的情況下重新計算。例11繪出下圖所示兩級RC網絡的結構圖。解（1）列寫運動方程（2）將上面各式取拉氏變換。取零初始條件，并整理成因果關系式

（3）作出相應的方塊圖，如下圖所示。（4）將各元件方塊圖按信號流向聯結起來，便得到兩級RC網絡的方塊圖，如圖(b)所示。注意：圖(b)并不等于兩個RC網絡的方塊圖的串聯，因為兩級RC電路之間有負載效應。

2.3.3結構圖的簡化規則

對方塊圖進行變換所要遵循的基本原則是等效原則，即對方塊圖的任一部分進行變換時，變換前后該部分的輸入量、輸出量及其相互之間的數學關系應保持不變。結構圖變換規則：

1．串聯環節的簡化：若干環節串聯起來的總傳遞函數等于各環節傳遞函數的乘積（各環節間應無負載效應）。以下圖所示的串聯環節為例，可知：

2．并聯環節的簡化：若干環節并聯起來的總傳遞函數等于各環節傳遞函數的代數和。以下圖所示的并聯為例，可知3．反饋回路的簡化下圖（a）表示的具有反饋聯接的最基本的閉環系統，設GB(s)為該閉環系統的傳遞函數，則其等效方塊圖如下圖(b)所示。式中GK(s)——閉環系統的開環傳遞函數，

開環傳遞函數無量綱。注意，開環傳遞函數是閉環系統分析中的一個重要概念。開環傳遞函數并不是指開環系統的傳遞函數，它主要用來研究控制系統的固有性能，其系數與系統的特征參數相對應。

4．相加點的移動法則：相加點移動后應保持原輸出信號不變。（1）相加點后移相加點由傳遞函數為G的方塊圖之前移至該方塊之后，如下圖所示，需要在X2信號流向線上加一個傳遞函數為G的方塊。（2）相加點前移讀者自己試分析。（3）相加點互移兩相鄰相加點之間的換位移動，無需作其它變換。相加點前移Y+-Y5．分支點的移動法則：分支點移動后應保持分支點引出線上的信號不變。（1）分支點前移分支點由傳遞函數為G的方塊之后移至該方塊之前，如下圖所示，需要在分支點引出線上加一個傳遞函數為G的方塊。

（2）分支點后移：讀者自己試分析。（3）分支點由相加點之后移至相加點之前如下圖所示，需要在分支點引出線上加一個情況完全相同的相加點。總結：上面這些規則都是根據下列兩條原則得到的，即（1）變換前與變換后前向通道中傳遞函數的乘積必須保持不變；（2）變換前與變換后回路中傳遞函數的乘積必須保持不變。6.利用框圖代數求取傳遞函數在利用框圖代數求取傳遞函數中，較為困難的是求取交叉反饋的多環控制系統（MultipleLoopFeedbackControlSystem）的傳遞函數。簡化的關鍵是利用引出點（分支點）和比較點（相加點）的移動規則解除環間的交叉，簡化成大環套小環的互不交叉的多回路框圖形式。而對多回路框圖，可以由里向外進行變換，直至變換成一個等效的功能框。（4）分支點由相加點之前移至相加點之后：讀者自己試分析。例12

簡化下圖，求出系統的傳遞函數。

第一步：將信號線I2的分支點移到Y處，信號取出線上應增加特性為C2s的環節；將信號I2的相加點移到U處，信號線上應增加特性為R1的環節。變換結果如下圖（a）所示。第二步：