第二章

單自由度體系的振動

Single-Degree-of-FreedomSystems2主要內容§2.1運動方程的建立§2.2無阻尼自由振動§2.3有阻尼自由振動§2.4對簡諧荷載的響應§2.5對周期荷載的響應§2.6對沖擊荷載的響應§2.7對一般動力荷載的響應§2.8阻尼理論與阻尼比的量測3第二章單自由度體系的振動單自由度體系動力分析的重要性：②具有實際應用價值，或進行初步的估算。很多實際動力問題可按單自由度體系計算。③多自由度體系動力分析的基礎。①單自由度體系包括振動分析中涉及到的所有物理量和基本概念。§2.1運動方程的建立1、水平振動

作用在質量塊上有三個真實力、一個虛擬的力：荷載、彈簧彈性力和阻尼力;慣性力根據力的平衡條件得:左邊的三個力都是位移y(t)或y(t)對時間t導數的函數，正向與位移y(t)的負方向相對應，與外荷載p(t)的方向相反。坐標y的坐標原點取在彈簧自然放松的位置。5§2.1運動方程的建立單自由度體系的運動方程彈性力等于彈簧剛度k與位移y(t)的乘積：慣性力是質量與加速度的乘積：阻尼為粘滯阻尼，則阻尼力是阻尼系數與速度的乘積:62、豎向振動

質量塊沿垂直方向上下振動，建立振動微分方程，考慮重力的影響。§2.1運動方程的建立7根據平衡條件，體系的振動方程：§2.1運動方程的建立

是由重力W產生的靜力位移，是不隨時間變化的，即：

是動力位移，由靜力平衡位置開始計算。

質量塊m的總位移分解為兩部分：8彈簧力部分可寫成：§2.1運動方程的建立

相對于靜力平衡位置所寫出的振動方程不受重力影響，即重力對動力位移無影響。

振動方程：1、位移以靜力平衡位置作為基準的，而這樣確定的位移即為動力響應。2、在求總撓度和總應力時，要把動力分析的結果與靜力分析結果相加。93、支座運動(激勵）的影響

結構的動位移和動應力既可以由動荷載引起，也可以由結構支座的運動而產生。

§2.1運動方程的建立1）由地震引起建筑物基礎的運動；2）由建筑物的振動而引起安置在建筑物內的設備基底的運動等等。10

1、地震動問題的簡化模型§2.1運動方程的建立

假定：

（1）剛架內水平橫梁是剛性的，且包含了結構所有的運動質量，（2）柱假定無重量且在軸向不能變形，抵抗剛架側向位移的恢復力由兩根柱的側向剛度來提供。地震導致的地面水平運動用相對于固定參考軸的結構基底位移表示。11§2.1運動方程的建立一個自由度即可描述剛架的運動情況。剛架體系的平衡方程可寫為：表示質量相對于參考軸的總位移，即：彈性力和阻尼力與前相同，而慣性力則由下式計算：12

運動方程：或：

§2.1運動方程的建立

：等效荷載，即在地面加速度影響下，結構的響應就和在外荷載作用下的響應一樣，只是外荷載等于質量和地面加速度的乘積。

負號表示等效力的方向和地面加速度方向相反。13§2.2無阻尼自由振動

自由振動(freevibration)

：無外界干擾的體系振動形態稱為自由振動（freevibration）。振動是由初始位移或初始速度或兩者共同影響下所引起的。無阻尼自由振動：如果阻尼系數等于零，則這種自由振動稱為無阻尼自由振動（undampedfreevibration）。假設由于外界干擾，質點離開平衡位置，干擾消失后，質點將圍繞靜力平衡點作自由振動。14..1）自由振動微分方程的建立(依據原理：達朗伯原理)mky(t)y(t)a、剛度法(stiffnessmethod)kmymky從力系平衡建立的自由振動微分方程：....(D’Alember’sprinciple)§2.2無阻尼自由振動1、運動方程建立及其解的形式15§2.2無阻尼自由振動令齊次微分方程，其通解為：系數C1和C2可由初始條件（initialcondition）確定。設在初始時刻t=0時，有初始位移y0和初始速度v0，即：

求得：16比較兩式得：§2.2無阻尼自由振動簡諧振動的標準形式a：振幅，：初相位角。Amplitudeofvibrationinitialphaseangle（a）沒有初始速度，僅由初始位移引起的振動按的規律變化；（b）沒有初始位移，僅由初始速度引起的振動按的規律變化：（c）既有初始位移，又有初始速度引起的振動形態按方程進行。17y(t)ty0－y0y(t)tv0/ω－v0/ωTta－aTα/ω§2.2無阻尼自由振動18§2.2無阻尼自由振動當時間t

增加一個時，上式保持不變，即：

2、結構的自振周期T:自由振動的周期，單位為秒（s）。:頻率，表示單位時間內的振動次數，單位為1/秒（1/s），或稱為赫茲（Hz）。:圓頻率或角頻率，表示在個單位時間內的振動次數,單位為rad/s。

經過一個周期T后，質點又回到了原來的位置，因此周期T稱為自振周期或固有周期（naturalperiold）。19§2.2無阻尼自由振動計算自振周期的幾種形式：（1）由周期和圓頻率的定義可知：（2）將代入上式，得：（3）將代入上式，得：（4）令，得：20

圓頻率也僅與結構參數k和m有關，即僅與結構體系本身的固有性質有關，而與初始干擾無關，故稱為固有頻率或自振頻率（naturalfrequency）。

§2.2無阻尼自由振動圓頻率計算公式的幾種形式：21結構自振動周期重要性質：（1）自振動周期與結構的質量和剛度有關，而且只與這兩者有關，與外界的干擾因素無關。干擾力的大小只能影響振幅A的大小，而對結構自振周期T的大小沒影響。§2.2無阻尼自由振動（2）自振周期與質量平方根成正比，質量越大，則周期越大；自振周期與剛度的平方根成反比，剛度越大，則周期越小。要改變結構的自振周期，只有改變結構的質量或剛度。22（4）自振周期是結構動力性能的一個重要的數量標志。

a、兩個外表相似的結構，如果周期相差很大，則動力性能相差很大；

b、兩個外表看來并不相同的結構，如果其自振周期相近，則在動荷載作用下其動力性能基本一致。地震中常出現這樣的現象。§2.2無阻尼自由振動（3）把集中質點放在結構上產生最大位移的地方，則可以得到最低的自振頻率和最大的振動周期。23例2-1

懸臂梁長度L=1米，其末端裝一重量Q=1221N的電動機，梁為鋼梁，彈性模量E=2.1×1011N/m2，慣性矩I=78×10-8m4，與電動機重量相比梁的重量可以略去。求結構的自振圓頻率及周期。

§2.2無阻尼自由振動解：懸臂梁在豎向力Q作用下，端部的豎向位移為:自振周期：自振頻率：24例2-2

：求剛架的自振頻率，不考慮橫梁的變形。§2.2無阻尼自由振動解：使橫梁發生單位位移所需外力k為:自振頻率：

25例2-3：圖示三根單跨梁，EI=常數，在梁中點有集中質量m，不考慮梁的質量，試比較三者的自振頻率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解：1）求δP=13l/165l/32P=1l/2§2.2無阻尼自由振動26l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm據此可得：結構約束越強,其剛度越大,剛度越大,其自振動頻率也越大。§2.2無阻尼自由振動27l/2l/2ml/2l/2k1ACBQCAQCB§2.2無阻尼自由振動用剛度法：28例2-4:求圖示剛架的自振頻率。不計柱的質量。EIEIEI1=∞mlh13EI/h26EI/h26EI/h2k12EI/h33EI/h3§2.2無阻尼自由振動解：2911l/32l/3m例2-5§2.2無阻尼自由振動解：30l/2lm1§2.2無阻尼自由振動解：例2-631h1θ例2-7解法1：求kθ=1/hMBA=kh=MBCk1hmI=∞EIBAC1解法2：求δ§2.2無阻尼自由振動32例2-8lEImk1k11k11k解：求k§2.2無阻尼自由振動33對于靜定結構一般計算柔度系數方便。如果讓振動體系沿振動方向發生單位位移時，所有剛節點都不能發生轉動（如橫梁剛度為無窮大的剛架)計算剛度系數方便。一端鉸結的桿的側移剛度為：兩端剛結的桿的側移剛度為：§2.2無阻尼自由振動mky1)c不存在0y(t)tmky=0c2)c存在阻尼是客觀存在的振幅隨時間減小，這表明在振動過程中要產生能量的損耗，稱為阻尼。

（1）產生阻尼的原因1)結構與支承之間的外摩擦2)材料之間的內摩擦3)周圍介質的阻力

（2）阻尼力的確定1)與質點速度成正比2)與質點速度平方成正比3)與質點速度無關粘滯阻尼§2.3有阻尼的自由振動

35§2.3有阻尼的自由振動

如果體系內存在阻尼，單自由度體系的自由振動微分方程為:令：則方程可改寫為：ykykmP(t)y.(阻尼比dampingratio

）36特征方程的解為：§2.3有阻尼的自由振動

設方程解的形式為：特征方程：(characteristicequation)37§2.3有阻尼的自由振動的通解為：

所對應的阻尼系數c稱為臨界阻尼系數，記為ccr，其計算公式為：

C1和C2為兩個積分常數，由初始條件確定。有阻尼自由振動的特性與根式（）的符號有關。38§2.3有阻尼的自由振動

阻尼比(dampingratio

）

稱為阻尼比（dampingratio）,反映了阻尼系數與臨界阻尼系數之比。一般材料的阻尼比都很小，例如鋼（0.004~0.03）,木材（0.04），混凝土（0.05-0.08）等。對一般建筑結構，其阻尼比約在0.01-0.1之間。39

體系的阻尼系數小于臨界阻尼系數，稱為低阻尼體系（underdamping）。式可寫為:§2.3有阻尼的自由振動

振動微分方程:其中，稱為阻尼固有頻率。（1）當＜1時

解為：40§2.3有阻尼的自由振動

或：其中：A1及A2或A及由初始條件確定。設當t=0時，初始位移和初始速度分別為：將此初始條件代入方程解，可得：41

表示低阻尼下的自由振動，不是一個嚴格的周期振動，是一個減幅的往復運動，可稱為準周期振動，其往復一次的周期時間為：衰減因子阻尼對周期影響？§2.3有阻尼的自由振動

或：42§2.3有阻尼的自由振動

tyty低阻尼y-t曲線

其衰減簡諧運動如圖所示。在有阻尼自由振動中，由于阻尼不斷消耗能量又沒有外界能量補充，因此結構系統總能量不斷減少，振幅不斷衰減。43§2.3有阻尼的自由振動

（a）、阻尼對固有頻率的影響

有阻尼和無阻尼的固有頻率和間的關系式:在＜1的低阻尼情況下，恒小于

，而且隨的增大而減小。但一般材料的阻尼比都很小，例如鋼（0.004~0.03）,木材（0.04），混凝土（0.05-0.08）等。對一般建筑結構，其阻尼比約在0.01-0.1之間。如果＜0.2則0.96＜＜1，即與的值很接近。所以說阻尼對固有頻率的影響很小.一般可認為:阻尼對固有頻率基本無影響！44

§2.3有阻尼的自由振動

值愈大，振幅衰減速度愈快。經過一個周期T后，相鄰兩個振幅與比值為：（b）、阻尼對振幅的影響振幅為，阻尼比出現在指數項，對振幅有較大影響。45兩邊進行對數變換后可得：§2.3有阻尼的自由振動

如果＜0.2，則，46§2.3有阻尼的自由振動

對數衰減率與阻尼比只差一個常數倍。工程中常用此方法測定阻尼

稱為對數衰減率（logarithmicdecrement），表征系統的阻尼情況，用表示，定義為兩個相鄰的同號位移值之比的自然對數，即:47

§2.3有阻尼的自由振動

對于阻尼較小的體系，取相隔幾周的響應峰值來計算阻尼比，可以獲得更高的精度。當＜0.2時，即時，用和表示兩個相隔n個周期的振幅，可得：48§2.3有阻尼的自由振動

（2）當=1時體系阻尼等于臨界阻尼（criticaldamping）。臨界阻尼是在自由振動響應中不出現振動所需的最小阻尼值。方程的特解為:設初始條件：

t=0時初始位移為，初始速度為，則：49

運動不呈振動形式，按指數規律隨時間t的增大而逐漸衰減以至消失。§2.3有阻尼的自由振動

因此：tyy0θ0這條曲線仍具有衰減性，但不具有波動性。50§2.3有阻尼的自由振動

相應的通解為:（3）當＞1時體系的阻尼大于臨界阻尼時，稱為超阻尼體系（overdamping）。這時方程的特征根為:51

§2.3有阻尼的自由振動

故：設t=0時，初始位移稱為，初始速度為，待定系數為:52§2.3有阻尼的自由振動

運動也不再呈振動形式，而是按指數規律隨時間t的增