第2課時(shí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用激趣誘思知識點(diǎn)撥等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是一個(gè)關(guān)于n的函數(shù),那么這個(gè)函數(shù)和二次函數(shù)有什么關(guān)系呢?等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式又具有什么獨(dú)特的性質(zhì)呢?這一節(jié)課我們就來研究一下這些問題.激趣誘思知識點(diǎn)撥一、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特征

激趣誘思知識點(diǎn)撥名師點(diǎn)析(1)若a1<0,d>0,則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為負(fù)數(shù)項(xiàng)(或0),所以將這些項(xiàng)相加即得Sn的最小值.(2)若a1>0,d<0,則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為正數(shù)項(xiàng)(或0),所以將這些項(xiàng)相加即得Sn的最大值.(3)特別地,若an>0,d>0,則S1是{Sn}的最小項(xiàng);若an<0,d<0,則S1是{Sn}的最大項(xiàng).激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)已知在公差d<0的等差數(shù)列{an}中,S8=S18,則此數(shù)列的前多少項(xiàng)和最大?因?yàn)镾8=S18,d<0,所以拋物線f(x)的對稱軸是直線x=13,且拋物線開口向下,故當(dāng)n=13時(shí),f(n)有最大值,即數(shù)列{an}的前13項(xiàng)和最大.激趣誘思知識點(diǎn)撥二、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,Sn為其前n項(xiàng)和,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍構(gòu)成等差數(shù)列,且公差為m2d.激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)(1)已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng),其奇數(shù)項(xiàng)之和為15,偶數(shù)項(xiàng)之和為30,則其公差為(

)A.5

B.4

C.3

D.2(2)在等差數(shù)列{an}中,其前n項(xiàng)和為Sn,S2=4,S4=9,則S6=

.

解析:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由題意,得S偶-S奇=30-15=5d,解得d=3.(2)∵S2,S4-S2,S6-S4成等差數(shù)列,∴4+(S6-9)=2×5,解得S6=15.答案:(1)C

(2)15探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及其應(yīng)用例1(1)等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,則數(shù)列{an}的前3m項(xiàng)的和S3m為

.

分析:運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)解決問題.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解析:(1)方法一

在等差數(shù)列中,∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列,∴30,70,S3m-100成等差數(shù)列.∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)簡化計(jì)算(1)在解決等差數(shù)列問題時(shí),先利用已知條件求出a1,d,再求所求,是基本解法(有時(shí)運(yùn)算量大些).(2)如果利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)或利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì),可簡化運(yùn)算,為最優(yōu)解法.(3)設(shè)而不求,整體代換也是很好的解題方法.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1(1)已知等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354,前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和之比為32∶27,則公差d=

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(2)一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為100,前100項(xiàng)和為10,則前110項(xiàng)之和為

.

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案:(1)5

(2)-110探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題例2在等差數(shù)列{an}中,Sn為前n項(xiàng)和,且a1=25,S17=S9,請問數(shù)列{an}前多少項(xiàng)和最大?分析:解答本題可用多種方法,根據(jù)S17=S9找出a1與d的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為Sn的二次函數(shù)求最值,也可以先用通項(xiàng)公式找到通項(xiàng)的變號點(diǎn),再求解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測=-(n-13)2+169.故該數(shù)列的前13項(xiàng)之和最大,最大值是169.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解法三:∵S17=S9,∴a10+a11+…+a17=0.∴a10+a17=a11+a16=…=a13+a14=0.∵a1=25>0,∴當(dāng)n≤13時(shí),an>0;當(dāng)n≥14時(shí),an<0.∴S13最大.故當(dāng)n=13時(shí),Sn有最大值.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟一般地,在等差數(shù)列{an}中,若a1>0,d<0,則其前n項(xiàng)和Sn有最大值;若a1<0,d>0,則其前n項(xiàng)和Sn有最小值,具體求解方法如下:(2)利用等差數(shù)列的性質(zhì),找出數(shù)列{an}中正、負(fù)項(xiàng)的分界項(xiàng).當(dāng)a1>0,d<0時(shí),前n項(xiàng)和Sn有最大值,可由an≥0且an+1≤0,求得n的值;當(dāng)a1<0,d>0時(shí),前n項(xiàng)和Sn有最小值,可由an≤0且an+1≥0,求得n的值.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2已知{an}為等差數(shù)列,a3=7,a1+a7=10,Sn為其前n項(xiàng)和,則使Sn取得最大值的n等于

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答案:6探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和問題

分析:先求出通項(xiàng)an,再確定數(shù)列中項(xiàng)的正負(fù),最后利用Sn求解.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-3n+104.∵n=1也適合上式,∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-3n+104(n∈N*).即當(dāng)n≤34時(shí),an>0;當(dāng)n≥35時(shí),an<0.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(2)當(dāng)n≥35時(shí),Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟已知等差數(shù)列{an},求{|an|}的前n項(xiàng)和的步驟1.確定通項(xiàng)公式an;2.根據(jù)通項(xiàng)公式確定數(shù)列{an}中項(xiàng)的符號,即判斷數(shù)列{an}是先負(fù)后正,還是先正后負(fù);3.去掉數(shù)列{|an|}中各項(xiàng)的絕對值,轉(zhuǎn)化為{an}的前n項(xiàng)和求解,轉(zhuǎn)化過程中有時(shí)需添加一部分項(xiàng),以直接利用數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式;4.將{|an|}的前n項(xiàng)和寫成分段函數(shù)的形式.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究在本例中,若將條件改為“等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n-23”,求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的靈活應(yīng)用典例項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列,奇數(shù)項(xiàng)之和為44,偶數(shù)項(xiàng)之和為33,求這個(gè)數(shù)列的中間項(xiàng)及項(xiàng)數(shù).分析:由于本題涉及等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和及偶數(shù)項(xiàng)和,因此可以利用與奇、偶數(shù)項(xiàng)和有關(guān)的性質(zhì)解題.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解法一:設(shè)此等差數(shù)列為{an},公差為d,Sn為其前n項(xiàng)和,S奇、S偶分別表示奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和.由題意知項(xiàng)數(shù)為奇數(shù),可設(shè)為(2n+1)項(xiàng),則奇數(shù)項(xiàng)為(n+1)項(xiàng),偶數(shù)項(xiàng)為n項(xiàng),an+1為中間項(xiàng).由性質(zhì)知S奇-S偶=an+1,∴an+1=11.又S2n+1=S奇+S偶=44+33=77,∴(2n+1)(a1+nd)=77.又a1+nd=an+1=11,∴2n+1=7.故這個(gè)數(shù)列的中間項(xiàng)為11,項(xiàng)數(shù)為7.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測∴項(xiàng)數(shù)為2n+1=7.又由S奇-S偶=a中,得a中=44-33=11.故中間項(xiàng)為11,項(xiàng)數(shù)為7.方法點(diǎn)睛本題兩種解法均使用性質(zhì)“等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)為2n+1時(shí),S奇-S偶=a中”,從而求得中間項(xiàng).求項(xiàng)數(shù)時(shí),解法一用探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.在項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列中,所有奇數(shù)項(xiàng)的和為165,所有偶數(shù)項(xiàng)的和為150,則n的值為(

)A.9 B.10 C.11 D.12解析:∵等差數(shù)列有2n+1項(xiàng),S奇-S偶=a中,∴a中=15.又S2n+1=(2n+1)a中,∴165+150=(2n+1)×15,∴n=10.答案:B2.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn=20,S2n=80,則S3n=(

)A.130 B.180 C.210 D.260解析:因?yàn)镾n,S2n-Sn,S3n-S2n仍然構(gòu)成等差數(shù)列,所以20,60,S3n-80成等差數(shù)列,所以2×60=20+S3n-80,解得S3n=180.答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測4.在數(shù)列{an}中,a1=32,an+1=an-4,則當(dāng)n=

時(shí),前n項(xiàng)和Sn取得最大值,最大值是

.

解析:由an+1=an-4,得{an}為等差數(shù)列,且公差d=an+1-an=-4,故an=-4n+36.令an=-4n+36≥0,得n≤9,故當(dāng)n=8或n=9時(shí),Sn最大,且S8=S9=144.答案:8或9

144探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測5.在等差數(shù)列{an}中,Sn為其前n項(xiàng)和.若S2=16,S4=24,求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn.解:設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,所以等差數(shù)列{an