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文檔簡介
糾錯編碼課程習題及解答提示奇校驗碼碼字是cm0
,m,",m1 k
,p),其中奇校驗位p滿足方程,m m0 1
"
k
p1mod2證明奇校驗碼的檢錯能力與偶奇校驗碼的檢錯能力相同,但奇校驗碼不是線性分組碼。證明提示:奇數個差錯的發生總導致校驗方程不滿足。全0向量不是奇校驗碼碼字。一個(6,2線性分組碼的一致校驗矩陣為h 1 0 0 0 11 Hhh
0 0 0 1 120 0 1 0 123 h 0 1 1 1 04求hi
使該碼的最小碼距
min
3。求該碼的系統碼生成矩陣Gs及其所有4解題提示:對H作行初等變換得H
h1hh
1 0 0 0 11 0 0 1 0 2 1 hh 3
1 0 1 0 0hhh 0 1 0 0 04 2 3要使最小碼距等于3h,
h,,
hh
h中任意兩項為1,其余為零。當要使最1 1 2 1 3 4 2 3小碼距大于3,有h,1
hh1 2
, h1 3
hh4
h中三項或四項均為1,其余為零。有上述關系可以3求得一組或多組關于hi
,i1,2,3,4的解。H作行初等變換得hhh
100110010100014 2 3 hh
1 0 1 0 0
T H 3 1
Q I hh
kr r 2 1h1一個糾錯碼的全部消息與碼字的對應關系如下:(00)—(00000),(01)—(00111),(10)—(11110),(11)—(11001)證明該碼是線性分組碼;求該碼的碼長,編碼效率和最小碼距;求該碼的生成矩陣和一致校驗矩陣;構造該碼在BSC上的標準陣列;若在轉移概率p103的BSC消息比特差錯概率。解題提示:任意兩個碼字的和是另一個碼字且全零向量為碼字。log M
log4 2碼長為向量長,即n5。碼字數為4,故R q 2 。最小非零碼字的n 5 5重量為minwd3。00114,任意兩非零碼字構成生成矩陣的行向量G11110G0011 11110條件,解得H的一種可能情況等于11000。0110標準陣列見題表3.。c=00000c=000000c=001111c=111102c=110013e0e1e2e3e4e5e6e7=0000000000001111111011001=0000100001001101111111000=0001000010001011110011011=0010000100000111101011101=0100001000011111011010001=1000010000101110111001001=1001010010101010110001011=1010010100100110101001101按題解Ac
cE是包括無錯圖案和全部可糾正差錯圖案的集合,那么碼字差錯概率為P(e)1P(c)P(rceA)1P(c)P(e)W c
1P(c)P(e)
(P(c)均勻分布,信道差錯均勻分布) 11 41p55p1p42p21p34 記消息比特差錯概率為P(eP(e2,則應有
bP(e)PW
(e)1P11P(e)W12p5p22p3
B(c)11P(e)2bP(e)1b碼字差錯概率計算中
1pP(c0
)0.80.8,P(c1
)P(c2
)0.80.2,P(c3
)0.20.2消息比特差錯概率:
P(e)1p55p1p42p21p3eE10.828p1p0.228p1p0.821p20.221p2
P(c0
)P(c1
)P(c11
)P(c3
1 1 1P P
P P P 1104 11021 1 1
01 02
11 12 10 4 41 1104 1102 81041104 810211024 4此題,恰有碼字差錯概率和消息比特差錯概率相等。證明線性分組碼的碼字重量或者為偶數(0)或者恰好一半為偶數(包括0)證明提示:若碼字重量全為奇數,則碼不含全零碼字,故不是線性碼。c與c是偶數重碼字。若M 個偶數重量的碼字集和MccH1c
個奇數重量碼字為集合c,則根據二元線性分組碼的任意碼字重量滿足wH
c'w
cwH
'2wH
c'可得:對固定的奇數重碼字c有1,所以1c,所以1
M
。又對任意奇數重碼字c
j2,3,M,由01 j 101cc
而有,cc
j2,3,,M
,所以
1M
1M
M。1 j 1 j 1 1 0 0 1一個通信系統消息比特速率為10Kbps,信道為衰落信道,在衰落時間(最大為2ms)認為完全發生數據比特傳輸差錯。求衰落導致的突發差錯的突發比特長度。若采用漢明碼和交織編碼方法糾正突發差錯,求漢明碼的碼長和交織深度。若用某個BCH碼交織來糾正突發差錯并限定交織深度不大于256,求合適的碼長和BCH生成多項式。解題提示:(1)突發長度為b101032103
20bits。(2)漢明碼可糾正t=1個差錯,所以交織深度D為b/t20長漢明碼均可。(3)由bDt256t256d2,以及dnk1設計。若循環碼以g(x)1x為生成多項式,則證明g(x可以構成任意長度的循環碼;求該碼的一致校驗多項式hx;解題提示:(1)由xn1(x1)xn1xn2xn3"1),1x總是xn1的因子。一致效驗多項式為h(x)xn1/g(x)1xx2"xn1。對生成矩陣作行初等變換總能獲得偶校驗碼的生成矩陣形式。1 1 0 " " 0 0 0 1 0 " 0 0 0 1 1 " " 0 0 0
0 1
" 0 0 等換 0 0 0 " " 1 1 0 0 0 " 0 0
0 0 " " 0 1 1
(n1)n
0 0
" 0 1
(n1)n已知線性分組碼的生成矩陣為1 0 0 00 1 0 0G0 0 1 00 0 0 10 0 0 0
0 1 10 1 00 0 10 0 01 1 1
100,11證明該碼為循環碼;求該碼的生成式g(x),一致校驗式h(x)和最小碼距d 。解題提示:行等價生成矩陣為1000000
001101110001111000111100011110001110001
58g(x)1xx2x3,校驗多項式為h(x)1xx4x52。ATM協議對幀頭4字節比特)地址和路由信息校驗所用的8比特CRC碼生成多項式為的g(x)x8x2x的碼,討論其構造方法。
,在實際應用中是以此碼構造一個最小碼距為
d4
(40,32)解題提示:利用循環碼縮短方法。對如下圖和圖兩卷積碼分別做:v(x)1消息u(x)消息u(x)v(x)圖E-9A圖E-9Bv(x)2G(x)GRKM。求自由距離df。畫出開放型的狀態轉移圖,柵格圖。求消息u(100110)的卷積碼碼字序列v(v0
,v,v1
,)。在柵格圖上畫出消息u(100110)的編碼路徑。若消息u(100110)的相應碼字序列 v(v0
,v,v1
,)在BSC上傳送,差錯圖案是e(1000
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