第七章力法§7-2超靜定次數的確定§7-3力法的基本概念§7-4力法的典型方程§7-6對稱性的利用§7-7超靜定結構的位移計算§7-8最后內力圖的校核§7-9溫度變化時超靜定結構的計算§7-10支座位移時超靜定結構的計算§7-11用彈性中心法計算無鉸拱§7-12兩鉸拱及系桿拱§7-5

力法的計算步驟和示例§7-1概述§7-13超靜定結構的特性超靜定結構：具有多余約束的結構。幾何特征：具有多余約束的幾何不變體系。

靜力特征：反力和內力不能僅由平衡條件全部解出。一、超靜定結構的靜力特征和幾何特征§7-1概述§7-1概述圖a所示梁僅由平衡條件無法確定豎向反力。其幾何構造特征是具有一個多余聯系。多余未知力：多余聯系中產生的力。如圖b中的X1。可將任一豎向支座鏈桿作為多余聯系。

圖a所示桁架僅由平衡條件無法確定桿件內力。其幾何構造特征是具有兩個多余聯系。可將兩根斜桿作為多余聯系如圖b。思考：多余約束是多余的嗎？從幾何角度與結構的受力特性和使用要求兩方面討論。

超靜定結構的優點為:1.內力分布均勻2.抵抗破壞的能力強§7-1概述二、超靜定結構的類型超靜定梁超靜定剛架超靜定拱兩鉸拱

無鉸拱§7-1概述超靜定桁架超靜定組合結構§7-1概述遵循同時考慮“變形、本構、平衡”分析超靜定問題的思想，可有不同的出發點：

以力作為基本未知量，在自動滿足平衡條件的基礎上進行分析，這時主要應解決變形協調問題，這種分析方法稱為力法。三、超靜定結構求解方法概述1.力法----以多余約束力作為基本未知量基本未知量：當它確定后，其它力學量即可完全確定。--關鍵量

§7-1概述

以位移作為基本未知量，在自動滿足變形協調條件的基礎上來分析，當然這時主要需解決平衡問題，這種分析方法稱為位移法。

如果一個問題中既有力的未知量，也有位移的未知量，力的部分考慮位移協調，位移的部分考慮力的平衡，這樣一種分析方案稱為混合法。2.位移法----以結點位移作為基本未知量3.混合法----以結點位移和多余約束力作為基本未知量§7-1概述4.力矩分配法----近似計算方法

位移法的變體，便于手算，不用解方程。5.結構矩陣分析法----有限元法.以上各種方法共同的基本思想:4.

消除差別后，改造后的問題的解即為原問題的解。3.

找出改造后的問題與原問題的差別；2.

將其化成會求解的問題；

1.

找出未知問題不能求解的原因；適用于電算

§7-1概述§7-1概述求解超靜定結構的條件（1）平衡條件：受力狀態滿足平衡方程（2）幾何條件：結構的變形和位移符合支承約束條件和各部件之間的變形連續條件（3）物理條件：變形或位移與力之間的物理關系超靜定次數：多余約束（聯系）或基本未知力的個數。一、概念

二、確定方法

1）由計算自由度確定2）去約束法

將多余約束去掉，使原結構轉化為靜定結構。

？從靜力分析看：超靜定次數=多余未知力的數目從幾何構造看：超靜定次數=多余聯系的數目§7-2超靜定次數的確定（1）去掉或切斷一根鏈桿，相當于去掉一個聯系。§7-2超靜定次數的確定（2）拆開一個單鉸，相當于去掉兩個聯系。（3）切開一個剛結點，或去掉一個固定端，相當于去掉三個聯系。（4）剛結改為單鉸聯結，相當于去掉一個聯系。（5）固定端改為滑動支座，相當于去掉一個聯系。§7-2超靜定次數的確定（6）固定端改為可動鉸支座，

相當于去掉兩個聯系。（7）滑動支座改為可動鉸支座，

相當于去掉一個聯系。§7-2超靜定次數的確定圖a所示結構，在拆開單鉸、切斷鏈桿、切開剛結處后，得到圖b所示靜定結構6次超靜定同一超靜定結構，可以用不同方式去掉多余聯系，如圖c、d所示靜定結構3）框格法一個封閉無鉸框格

個封閉無鉸框格§7-2超靜定次數的確定若有鉸

—

單鉸數，則

§7-2超靜定次數的確定21次超靜定§7-2超靜定次數的確定16次超靜定9次超靜定1.力法基本思路待解的未知問題

原（一次超靜定）結構1)、去掉多余約束代之以多余未知力，將原結構轉化一個在荷載和未知力共同作用下的靜定結構(基本體系)。基本體系力法基本未知量去掉余約束代之以多余未知力，得到基本體系。§7-3力法的基本概念2)、沿多余未知力方向建立位移協調方程，解方程就可以求出多余未知力X1。原結構的B是剛性支座,該點的豎向位移是零。即原結構在的X1位移為：

位移協調條件：基本結構在原有荷載

q

和多余力X1共同作用下，在去掉多余聯系處的位移應與原結構相應的位移相等。變形條件

在變形條件成立條件下,基本體系的內力和位移與原結構等價.§7-3力法的基本概念超靜定結構計算靜定結構計算

基本結構（懸臂梁）

對靜定結構進行內力、位移計算，已經很掌握。

§7-3力法的基本概念

在荷載作用下B點產生向下的位移為⊿1P,未知力的作用將使B點產生的向上的位移為⊿11。

要使體系的受力情況與原結構一樣,則必須B的位移也與原結構一樣，要求：位移協調條件Δ1=Δ11+Δ1P=0

(a)

Δ1P——基本結構由荷載引起的豎向位移

Δ11

——基本結構由未知力引起的豎向位移§7-3力法的基本概念力法基本方程可寫為§7-3力法的基本概念δ11—表示X1=1時，B點沿X1方向的位移，Δ11=δ11X1。

11+1P=0

繪出基本結構在X1=1、荷載q作用下的彎矩圖，如圖a、b。自乘—

位移系數互乘—

廣義荷載位移將δ11、Δ1P入力法典型方程，解得:3)、將求出的多余未知力作用于基本結構，用疊加法即可求出超靜定結構的內力。§7-3力法的基本概念

2.幾個概念

力法的基本未知數:超靜定結構多余約束的未知約束力,即超靜定次數。

力法的基本結構:把原超靜定結構的多余約束去掉,所得到的靜定結構就稱為原結構的基本結構。

力法的基本體系:在基本結構上加上外荷載及多余約束力，就得到了基本體系。

力法的基本方程:根據原結構已知變形條件建立的力法方程。對于線性變形體系，應用疊加原理將變形條件寫成顯含多余未知力的展開式，稱為力法的基本方程。§7-3力法的基本概念

選取基本體系的原則：基本體系必須是幾何不變的。通常取靜定的基本體系。在特殊情況下也可以取超靜定的基本體系。思考：力法的基本體系是否唯一？答：不唯一。解除不同的多余約束可得不同的基本體系。§7-3力法的基本概念力法基本思路小結:

根據結構組成分析，正確判斷多余約束個數——超靜定次數。

解除多余約束，轉化為靜定的基本結構。多余約束代以多余未知力——基本未知力。

分析基本結構在單位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立位移協調條件——力法典型方程。

從典型方程解得基本未知力，由疊加原理獲得結構內力。超靜定結構分析通過轉化為靜定結構獲得了解決。§7-3力法的基本概念將未知問題轉化為已知問題，通過消除已知問題和原問題的差別，使未知問題得以解決。這是科學研究的基本方法之一。§7-3力法的基本概念圖a是三次超靜定結構，去掉固定支座A，得如圖b所示的基本結構。§7-4力法的典型方程位移條件：A處不能有任何位移。1=0，2=0，3=0和F分別作用于基本結構時A點沿X1方向的位移分別為A點沿X2方向的位移分別為A點沿X3方向的位移分別為位移條件可寫為§7-4力法的典型方程

n次超靜定結構，有n個多余未知力，有n個已知位移條件，可建立n個方程。當n個已知位移條件都為0時，方程為力法典型方程主系數，恒大于0。副系數，自由項柔度系數柔度方程圖a所示剛架為兩次超靜定，去掉鉸支座B，得基本體系如圖b§7-5力法的計算步驟和示例基本體系由B點的位移條件，建立力法典型方程為求系數和自由項§7-5力法的計算步驟和示例代入典型方程解得疊加法作彎矩圖

在荷載作用下，超靜定結構的內力只與各桿的剛度相對值有關，與其剛度絕對值無關。同一材料組成的結構，內力與材料性質無關。例:用力法計算圖示剛架，并作M圖。解：１)確定力法基本未知量和基本體系基本體系

力法方程：

d11x1+d12x2+D1P=0

d21x1+d22x2+D2P=0２)作M1、M2、MP圖§7-5力法的計算步驟和示例基本體系MP§7-5力法的計算步驟和示例３）計算系數、自由項

d11=5l/12EId22=3l/4EId12=d21=0

D1P=FPl2/32EID2P=0說明:力法計算剛架時，力法方程中系數和自由項只考慮彎曲變形的影響：

dii=∑∫l(Mi2

/EI)ds

dij=∑∫l(MiMj/EI)ds

DiP=∑∫l(MiMP/EI)ds４）代入力法方程，求多余力x1、x2

（5l/12EI）x1+FPl2/32EI=0x1=-3FPl/40

(3l/4EI)x2=0x2=0５）疊加作M圖

MAC=x1M1+x2M2+MP=(-3FPl/40)/2=-3FPl/80(右側受拉）§7-5力法的計算步驟和示例力法的計算步驟（1）確定超靜定次數，去掉多余聯系，得到靜定的基本結構，以多余未知力代替相應多余聯系。（2）根據多余聯系處的位移條件，建立力法的典型方程。（3）作基本結構各單位內力圖和荷載內力圖，計算系數和自由項。（4）解算典型方程，求出各多余未知力。（5）由平衡條件或疊加法求得最后內力。§7-5力法的計算步驟和示例例7-1試分析圖a所示兩端固定梁。EI=常數。解：取簡支梁為基本結構，基本體系如圖b所示。§7-5力法的計算步驟和示例基本體系典型方程為各彎矩圖如圖c、d、e、f。因故可得

兩端固定的梁在垂直于梁軸線的荷載作用下，不產生水平反力。典型方程變為§7-5力法的計算步驟和示例求各系數和自由項（只考慮彎矩影響）代入典型方程解得最后彎矩圖如下圖§7-5力法的計算步驟和示例例7-2試用力法計算圖a所示超靜定桁架的內力。設各桿EA相同。解：這是一次超靜定結構，切斷上弦桿用X1

代替，基本體系如圖b所示。基本體系位移條件：桿件切口兩側軸向相對位移為0。典型方程為各內力圖如圖c、d。§7-5力法的計算步驟和示例各桿最后內力按疊加法計算如圖。也可將上弦桿去掉用X1代替，基本體系如圖a所示。典型方程為典型方程的物理意義：基本結構在F和X1共同作用下，結點3、4

所產生的水平相對線位移等于原結構的相對線位移。注意：系數δ11中不包含34桿件。§7-5力法的計算步驟和示例例7-3

圖a為一加勁梁，橫梁I=1×10-4m4，鏈桿A=1×10-3m2，

E=常數。試求梁的彎矩圖和各桿的軸力，并討論改變鏈桿截面A時的內力變化。解：這是一次超靜定組合結構，切斷豎向鏈桿用X1代替，基本體系如圖b所示。基本體系位移條件：切口處相對軸向位移為0。典型方程為各內力圖如圖c、d。梁只計彎矩影響。§7-5力法的計算步驟和示例由位移計算公式解得最后內力梁的彎矩、各桿軸力如圖e。與沒有鏈桿時比較最大彎矩值減少了80.7%

§7-5力法的計算步驟和示例由位移計算公式A減小時：δ11增大，X1絕對值減小，梁的正彎矩值增大負彎矩值減小。A→0時：梁的彎矩圖與簡支梁彎矩圖相同。A增大時：梁的正彎矩值減小負彎矩值增大。A→∞時：梁的中點相當于有一剛性支座，梁的彎矩圖與兩跨連續梁的彎矩圖相同。如圖f。§7-5力法的計算步驟和示例例7-4

圖a所示為裝配式鋼筋混凝土單跨單層廠房排架結構的計算簡圖，其中左、右柱為階梯形變截面桿件，橫梁為

EA=∞的二力桿。試用力法求其彎矩圖。豎桿E為常數。解：排架為一次超靜定結構，切斷二力桿用X1代替，基本體系如圖b所示。基本體系典型方程為各內力圖如圖c、d。§7-5力法的計算步驟和示例計算系數和自由項。解得彎矩圖如圖e。疊加法作彎矩圖§7-6對稱性的利用對稱的意義：（1）結構的幾何形狀和支承情況對稱（2）各桿的剛度（EI、EA等）也對稱

圖a為一對稱結構，有一個對稱軸。將對稱軸穿過的截面切開，得到一個對稱的基本結構如圖b。正對稱的力：對稱軸兩側的力大小相等，沿對稱軸對折后作用點和作用線重合且指向相同。反對稱的力：對稱軸兩側的力大小相等，沿對稱軸對折后作用點和作用線重合且指向相反。X1、X2是正對稱的，X3是反對稱的。1、選取對稱的基本結構§7-6對稱性的利用繪出基本結構各單位彎矩圖如圖a、b、c。圖a、b是正對稱的，圖c是反對稱的。可得典型方程簡化為只包含正對稱的X1、X2

只包含反對稱的X3§7-6對稱性的利用當結構作用正對稱荷載時，如圖a。MP圖是正對稱的，如圖b。

只存在正對稱的X1、X2，最后彎矩圖是正對稱的，形狀如圖c。

注意：剪力圖是反對稱的。§7-6對稱性的利用當結構作用反對稱荷載時，如圖a。MP圖是反對稱的，如圖b。

只存在反對稱的X3，最后彎矩圖是反對稱的，形狀如圖c。

注意：剪力圖是正對稱的。§7-6對稱性的利用對稱結構在正對稱荷載作用下：彎矩圖和軸力圖是正對稱的，剪力圖是反對稱的；反力與位移是正對稱的。對稱結構在反對稱荷載作用下：彎矩圖和軸力圖是反對稱的，剪力圖是正對稱的；反力與位移是反對稱的。§7-6對稱性的利用例7-5

試分析圖a所示剛架。設EI=常數。解：荷載是反對稱的，只有反對稱的多余未知力，

取對稱的基本體系如圖b。基本體系作各彎矩圖如圖c、d。§7-6對稱性的利用由圖乘法代入典型方程疊加法作彎矩圖2、未知力分組及荷載分組§7-6對稱性的利用圖a所示對稱剛架作用非對稱荷載。基本體系如圖b。基本體系為利用對稱性，將未知力進行分組。或Y1為一對正對稱的未知力組。Y2為一對反對稱的未知力組。§7-6對稱性的利用將求解未知力X1、X2的問題轉變為求解兩對未知力組Y1、Y2。如圖a。作Y1=1、Y2=1的彎矩圖，如圖b、c。圖b為正對稱的、圖c為反對稱的。典型方程簡化為Y1、Y2為廣義力，典型方程的物理意義也轉變為相應的廣義位移條件。第一式代表A、B兩點同方向的豎向位移之和為0。第二式代表A、B兩點反方向的豎向位移之和為0。§7-6對稱性的利用

對稱結構作用一般非對稱荷載時，可以將荷載分解為正、反對稱兩組，如下圖。正對稱荷載作用只有正對稱的多余未知力，反對稱荷載作用只有反對稱的多余未知力，兩者疊加即為原結構的解。3、取一半結構計算（利用對稱性）§7-6對稱性的利用（1）奇數跨對稱結構

作用正對稱荷載如圖a，C截面只有豎向位移，有彎矩和剪力，截取一半剛架如圖b。

作用反對稱荷載如圖c，C截面不能有豎向位移，只有剪力，截取一半剛架如圖d。§7-6對稱性的利用（2）偶數跨對稱結構

作用正對稱荷載如圖a，C結點不能有任何位移，截取一半剛架如圖b。

作用反對稱荷載如圖c，將中間柱視為兩根剛度為I/2的豎桿組成，在頂點與梁剛結。如圖e。

由于荷載是反對稱的，兩柱中間的橫梁C處只有剪力。如圖f。

剪力FSC對結構的內力和變形無影響。簡化的一半剛架如圖d。§7-6對稱性的利用解：結構是一個三次超靜定結構，有兩個對稱軸。

可取1/4結構分析，計算簡圖如圖b。基本體系如圖c。取極坐標系，單位彎矩和荷載彎矩分別為：例7-6

試計算圖a所示圓環的內力。EI=常數。§7-6對稱性的利用各彎矩圖如圖a、b。

位移計算時略去軸力、剪力及曲率影響，只計彎矩一項。則：可得§7-7超靜定結構的位移計算結構的實際狀態及彎矩圖如圖a。試求CB桿中點K的豎向位移△Ky。虛設力狀態及彎矩圖如圖b。

為作出圖b，需要解算一個2次超靜定結構。比較麻煩！§7-7超靜定結構的位移計算由力法計算超靜定結構可知：

在荷載及多余未知力共同作用下，基本結構的受力和位移與原結構完全一致。求超靜定結構的位移可以用求基本結構的位移代替。虛擬狀態如圖c、d。由圖c由圖d§7-7超靜定結構的位移計算

計算超靜定結構位移步驟（1）計算超靜定結構，求出實際狀態的內力。（2）任選一種基本結構，虛擬力狀態。（3）計算所求位移。§7-8最后內力圖的校核平衡條件校核彎矩圖校核：如圖a，取E點為隔離體，如圖b。應滿足即剪力圖和軸力圖校核：可取結點、桿件或結構的一部分為隔離體，考察是否滿足：和§7-8最后內力圖的校核位移條件校核

圖a為剛架的最后彎矩圖。檢查A處的水平位移是否為0，虛擬力狀態并作彎矩圖如圖b。利用圖a與圖b圖乘，得滿足位移條件§7-8最后內力圖的校核

對于具有封閉無鉸框格的剛架如圖a，取圖b所示的虛擬力狀態，檢查K截面相對轉角是否為0。

上式表明，在任一封閉無鉸的框格上，彎矩圖的面積除以相應剛度的代數和等于0。§7-9溫度變化時超靜定結構的計算

圖a所示靜定梁，當溫度改變時，梁可以自由地變形不受任何阻礙。

圖b所示超靜定梁，當溫度改變時，梁的變形受到兩端支座的限制，因而產生支座反力及內力。圖c所示剛架，溫度改變如圖。取圖d所示基本體系。

基本結構在外因和多余未知力共同作用下，去掉多余聯系處的位移與原結構的位移相符。§7-9溫度變化時超靜定結構的計算

式中系數的計算與以前相同，與外因無關。自由項為基本結構由于溫度變化引起的位移，計算式為典型方程為最后彎矩為對于剛架位移計算公式為對多余未知力Xi方向的位移校核式為§7-9溫度變化時超靜定結構的計算例7-7圖a所示剛架外側溫度升高25℃，內側溫度升高35℃，試繪制其彎矩圖并計算橫梁中點的豎向位移。EI=常數，截面對稱于形心軸，高度h=l/10，材料的線膨脹系數為α。解：這是一次超靜定剛架，基本體系如圖b。典型方程為虛擬力狀態及內力圖如圖c§7-9溫度變化時超靜定結構的計算解典型方程得溫度變化時，超靜定結構的內力與各桿剛度的絕對值有關。求橫梁中點豎向位移虛擬力狀態及內力圖如圖b。最后彎矩為彎矩圖如圖a。§7-10支座位移時超靜定結構的計算

圖a所示靜定梁，當支座B發生豎向位移時不會受到任何阻礙。結構只隨之發生剛體位移，不產生彈性變形和內力。

圖b所示超靜定梁，當支座B發生豎向位移時將受到AC梁的牽制，使各支座產生反力，梁產生內力。§7-10支座位移時超靜定結構的計算

圖a所示剛架，當支座B由于某種原因發生圖示位移。基本體系如圖b。典型方程為

系數的計算同前。自由項代表基本結構由于支座移動引起的位移，計算式為§7-10支座位移時超靜定結構的計算多余未知力分別等于1時的彎矩圖如圖c、d、e。最后彎矩為位移計算為Xi方向位移條件校核式為或為已知值§7-10支座位移時超靜定結構的計算例7-8圖a所示兩端固定的等截面梁A段發生了轉角，試分析其內力。解：取基本體系如圖b。因X3=0，典型方程為多余未知力分別等于1時的彎矩圖如圖c、d。可得§7-10支座位移時超靜定結構的計算最后彎矩為如圖e校核：檢查B支座轉角是否為0。虛擬力狀態及彎矩圖如圖f。位移計算為§7-10支座位移時超靜定結構的計算例7-9圖a所示連續梁EI=常數，B處為彈性支座，彈簧剛度

k=10EI/l3。試作其彎矩圖并求D點的豎向位移。解：（1）取基本體系一如圖b。典型方程為相應彎矩圖如圖c、d。可得最后彎矩為如圖e§7-10支座位移時超靜定結構的計算（2）取基本體系二如圖f。典型方程為相應彎矩圖如圖g、h。可得彎矩圖同e（3）求D點豎向位移，虛擬狀態彎矩圖如圖i。§7-11用彈性中心法計算無鉸拱常用超靜定拱型式超靜定拱：彎矩分布比較均勻，夠造簡單，工程中應用較多。無鉸拱兩鉸拱§7-11用彈性中心法計算無鉸拱計算超靜定拱：需事先確定拱軸線方程和截面變化規律。常用的拱軸線形式：懸鏈線，拋物線，圓弧，多心圓等。超靜拱合理拱軸線：忽略軸向變形影響時，與相應三鉸拱相同。考慮軸向變形時：超靜定拱產生彎矩，但數值不大，可進行修改調整。超靜定拱拱截面：變截面，等截面。無鉸拱截面：拱址處彎矩大，截面常設計成由拱頂向拱址逐漸增大的形式。拱橋設計中的經驗公式（7-8）IC：拱頂截面二次矩，n：拱厚變化系數。IK：拱址處截面二次矩，：拱址處拱軸切線傾角。n愈小，拱厚變化愈激烈。n的范圍：0.25~1。n=1時截面面積A近似為當拱高f<l/8時可近似為常數§7-11用彈性中心法計算無鉸拱§7-11用彈性中心法計算無鉸拱

圖a所示無鉸拱是三次超靜定結構。利用對稱性取基本體系如圖b。如何做？

將圖a所示無鉸拱沿拱頂截面切開，再切口糧邊沿對稱軸方向引出兩個剛度無窮大的剛臂，如圖c。

剛臂本身是不變形的，保證切口兩邊截面無任何相對位移，此結構與原無鉸拱的變形一致，可以代替原無鉸拱。§7-11用彈性中心法計算無鉸拱

取基本體系如圖d，這是兩個帶剛臂的懸臂曲梁。

利用對稱性，適當選擇剛臂的長度，可以使典型方程中全部系數都為0。符號規定坐標原點：剛臂端點O；坐標方向：x軸向右為正，y軸向下為正；彎矩：拱內側受拉為正；剪力：繞隔離體順時針方向為正；軸力：壓力為正。§7-11用彈性中心法計算無鉸拱多余未知力分別為1作用時，如圖a、b、c。§7-11用彈性中心法計算無鉸拱令沿拱軸線作寬度為1/EI的圖形（如圖）。ds/EI代表圖中的微面積，ys即為這個圖形面積的形心坐標。圖形的面積與EI有關—稱為彈性面積圖，其形心稱為彈性形心。彈性中心法：把剛臂端點引到彈性中心上，將X2、X3置于主軸方向上，使全部系數都等于0。可得剛臂長度yS為§7-11用彈性中心法計算無鉸拱典型方程簡化為三個獨立方程

由于拱的曲率對計算結果影響