第三章函數逼近與計算

在科學與工程技術的很多領域，人們常碰到大量帶有誤差的實驗數據，這時采用高次插值會出現震蕩，采用分段插值則會使函數非常復雜，無法準確反映被側函數的整體性態，因此，不適合用插值法。§1引言

如何在給定精度下，求出計算量最小的近似式，這就是函數逼近要解決的問題。

一、問題的提出二、函數逼近問題的一般提法：對于函數類

中給定的函數

，要求在另一類較簡單的且便于計算的函數類

中尋找一個函數

，使

與

之差在某種度量意義下最小，近似代替又稱逼近。注：本章中所研究的函數類

通常為區間

上的連續函數，記做

；而函數類

通常是代數多項式或三角多項式。

的函數逼近稱為最佳一致逼近或均勻逼近。三、常用的度量標準：

(一)最佳一致逼近若以函數f(x)和P(x)的最大誤差作為度量誤差

f(x)－P(x)

“大小”的標準,在這種意義下(二)最佳平方逼近：采用作為度量誤差“大小”標準的函數逼近稱為最佳平方逼近或均方逼近。§2最佳一致逼近一、最佳一致逼近的概念設函數

是區間

對于任意，如果存在多項式

，使不等式則稱多項式

在區間

上一致逼近(或均勻逼近)于函數

定義上的連續函數，給定的成立，。二、最佳一致逼近多項式的存在性定理1（維爾斯特拉斯定理）

若f(x)是區間[a,b]上的連續函數，則對于任意

>0，總存在多項式

P(x)，使對一切a≤x≤b

有定理說明任意連續函數都可以用多項式來近似而且整體誤差可以要多小就多小，只是多項式的次數可能高些；這個定理有許多種證明方法，公認最漂亮的是Bernstein給出的構造性的方法:如果限定多項式的次數，比如在次數不超過n的多項式集合中找一個多項式近似，那么誤差會不會要多小就多小？如果不能,最大的誤差會是多少？這就是本節要介紹的最佳一致逼近問題上的最佳一致逼近在能否在所有次數不超過n的代數多項式中找到一個表示由所有次數不超過n的代數多項式構成的線性空間。空間中的最佳一致逼近問題。

意義下:，使得其中，這就是三、1、算例四、上最佳一致逼近多項式的存在性

最佳一致逼近（Chebyshev）

在

中都存在對

的最佳一致逼近多項式,記為

的n次最佳一致逼近多項式。稱為簡稱最佳逼近多項式。,使得

成立.對任意的

五、相關概念1、偏差定義

上的偏差。則稱為與在注：

，集合，記作

，它有下界0.顯然，若的全體組成一個2、最小偏差則稱

若記集合的下確界為為

在上的最小偏差。定義

3、偏差點定義

設

若在

上有

則稱

是

的偏差點。

若

若

則稱

則稱

為“正”偏差點。

為“負”偏差點。

4、交錯點組若函數

定義

在其定義域的某一區間

個點

上存在使得

則稱點集

為函數

在區間

上的一個交錯點組，稱為交錯點。點六、上的最佳一致逼近的特征引理3.1是區間

上的連續函數，是

的n次最佳一致逼近多項式，存在正負偏差點。

則設必同時定理3

（Chebyshev定理）是區間

上的連續函數，

設則

是

的n次最佳一致逼近多項式的充要條件是:

在區間

上存在一個至少由組。個點組成的交錯點推論1是區間

上的連續函數，是

的n次最佳一致逼近多項式，在

內存在且保號，在區間

個點組成的交錯點組，端點

都在交錯點組中。

上恰好存在一個由設若則且兩推論2推論3中,若存在對函數

的最佳一致逼近元，則惟一.在是區間上的連續函數，的

次最佳一致逼近多項式是

的某個

次插值多

項式。設則七、最佳一次逼近多項式1、推導過程設

，且

在內不變號，要求在上的一次最佳一致逼近多項式由推論1，在上恰好有3個點構成的交錯且區間端點屬于這個交錯點組，組，設另一個交錯點為則解得即即2、幾何意義？3、舉例求在上的最佳一次逼近多項式。解：由可算出故解得由得于是得的最佳一次逼近多項式為故誤差限為(*)在（*）式中若令，則可得一個求根的公式八、Chebyshev多項式及其應用(1)定義稱為n次Chebyshev多項式.[注]Itisveryimportant

令則而故為關于的次代數多項式。(2)性質正交性：由Tn(x)所組成的序列{Tn(x)}是在區間[-1,1]上帶權

的正交多項式序列。且

遞推關系相鄰的三個切比雪夫多項式具有如下遞推關系式：

奇偶性：

切比雪夫多項式

，當

為奇數時為奇函數；為偶數時為偶函數。

在區間[-1,1]上有

個不同的零點

Tn(x)

在[-1,1]上有n+1個不同的極值點使Tn(x)輪流取得最大值1

和最小值-1。

切比雪夫多項式的極值性質Tn(x)

的最高次項系數為2n-1(n=1,2,…)。

在區間[-1,1]上，在所有首項系數為1的n次多項式中,與零的偏差最小，即對于任何，有該性質又被稱為Chebyshev多項式的最小模性質.注：區間上的最小零偏差多項式且其偏差為

(3)應用多項式的降階（最小零偏差問題）在所有次數為的多項式中求多項式

,在給定的有界閉區間上與零的偏差最小。使其最小零偏差多項式問題。這一問題被稱為不失一般性，可設的首項系數為1，有界閉區間為

.所討論的對一般區間，可先將換為，考慮在上的逼近，再將換回，得到。最后尋求最小零偏差多項式的問題求的次最佳一致逼近多項式的問題。事實上等價于即求使其滿足：~Pn1注：在上首項系數為1的最小零偏差多項式為。設為上的次多項式，要求在上的不超過次的最佳一致逼近多項式。？由于首項系數為1的次Chebyshev多項式無窮范數最小，故有于是例1設f(x)=4x4＋2x３－５x２＋8x-5/2，|x|≤1.求f(x)在［-1,1］中的3次最佳一致逼近元p3(x).解由f(x)的表達式可知b４＝４,注：對區間為［a,b］的情形，先作變換

x=(b-a)t/2+(b+a)/2(2)然后對變量為t的多項式用(1)式求得pn(t)，然后再作(2)式的反變換得到［a,b］上的最佳一致逼近多項式.由(1)式得p3*(x)=f(x)-4T4(x)=2x３－x２＋8x-3.首項系數為1的4次

Chebyshev多項式為:T4(x)＝x４－x２＋1/8.

近似最佳一致逼近多項式設且存在階連續導數如何在上確定互異的插值節點使得的次插值多項式的余項最小？由插值余項定理，次插值多項式的余項為其中，其估計式為：因此，要使余項達到最小，只需使盡可能小。是一個首項系數為1的次多項式，故由Chebyshev多項式的性質，只要取~即可。而故只需取為次Chebyshev多項式的零點，即注意到注：以次Chebyshev多項式的零點作為插值節點的次拉格朗日插值多項式雖不能作為的次最佳一致逼近多項式，但由于誤差分布比較均勻，因此可以作為的次近似最佳一致逼近多項式。§3

最佳平方逼近一、內積空間1、定義稱二元函數為內積。設為(實)線性空間,對中每一對元素,在上定義了內積是指都有一實數，記為與之對應，且這個對應滿足:（2）（1）（3）（4）則稱為內積空間，2、內積的性質設是一內積空間，則對任意的，有（1）柯西—許瓦茲不等式：（2）三角不等式：3、兩種重要的內積空間n維歐氏空間，內積就是兩向量的數量積，即連續函數空間，內積可以定義為積分的運算或帶權函數的積分運算，即或4、權函數的定義設

(x)定義在有限或無限區間[a,b]上，如果具有下列性質：(1)對任意x

[a,b]，

(x)≥0；(2)積分存在，(n=0,1,2,…)；(3)對非負的連續函數g(x)

若

則在(a,b)上g(x)0。稱滿足上述條件的

(x)為[a,b]上的權函數。

5、Euclid范數及其性質定義設稱為的Euclid范數。則稱量性質對于任何下列結論成立：1、2、3、（Cauchy-Schwarz不等式）(三角不等式)(平行四邊形定律)二、相關概念1、距離

線性賦范空間中兩元素之間的距離為連續函數空間中，與的距離即為因此，中兩點與之間的距離即為也稱為2-范數意義下的距離2、正交若則稱與正交。連續函數空間中，設則稱f(x)與g(x)在[a,b]上帶權

(x)正交。

進一步，設在[a,b]上給定函數系，若滿足條件則稱函數系是[a,b]上帶權

(x)的正交函數系。若特別地，當Ak1時，則稱該函數系為標準正交函數系。若上述定義中的函數系為多項式函數系，則稱之為[a,b]上帶權

(x)的正交多項式系。并稱是上帶權(x)的

次正交多項式。3、正交化手續一般來說，當權函數及區間給定以后，可以由冪函數系利用正交化方法構造出正交多項式系。4、正交多項式的性質(1)是最高次項系數為1的次多項式.(2)任一次多項式均可表示為的線性組合.(3)當時,且與任一次數小于的多項式正交.(4)遞推性其中這里且都在區間內.(5)設是在上帶權項式序列,的正交多則的個根都是單重實根,三、常用的正交多項式1、第一類切比雪夫多項式(1)定義(2)性質2、Legendre(勒讓德)多項式(1)定義

多項式稱為n次勒讓德多項式。(2)性質

正交性勒讓德多項式序列是[-1,1]上帶權的正交多項式序列。即遞推關系相鄰的三個勒讓德多項式具有如下遞推關系式：

奇偶性：

當n為偶數時，為偶函數；當n為奇數時，

為奇函數。在區間[-1,1]內部存在n個互異的實零點。的最高次項系數為(5)在所有首項系數為1的

次多項式中，多項式在上與零的平方誤差最小。勒讓德證明：設是任意一個最高項系數為1的次多項式，它可表示為于是當且僅當時等號才成立，即當時平方誤差最小。3、其他常用的正交多項式(1)第二類Chebyshev(切比雪夫)多項式定義：

稱為第二類切比雪夫多項式。②相鄰的三項具有遞推關系式：第二類切比雪夫多項式的性質：①是區間[-1,1]上帶權的正交多項式序列。(2)拉蓋爾(Laguerre)多項式定義：

稱多項式為拉蓋爾多項式。①是在區間[0,+∞]上帶權

的正交多項式序列。

②相鄰的三項具有遞推關系式：

拉蓋爾多項式的性質：(3)埃爾米特(Hermite)多項式定義：

稱多項式

為埃爾米特多項式。的正交多項式序列。①是區間(-,+)上帶權②相鄰的三項具有遞推關系式：埃爾米特多項式的性質：四、內積空間上的最佳平方逼近1．函數系的線性關系定義：設函數在區間

上連續，如果關系式當且僅當時才成立，函數在上是線性無關的，否則稱線性相關。則稱

連續函數在上線性無關的充分必要條件是它們的克萊姆(Gram)行列式定理其中，

是任意實數，則并稱是生成集合的一個基底。的全體是

的一個子集，記為設是上線性無關的連續函數,對任意的為的最佳平方逼近元。2、最佳平方逼近元的定義設為線性內積空間，為上個線性無關元，記由張成的的子空間為，即定義在的子空間

中，求的在2-范數意義下的最佳逼近元，即求，使不等式對任意成立.若滿足上式的存在，稱3.最佳平方逼近元的存在性定理1設為線性內積空間，由線性無關組張成的線性空間

為的子空間，存在為的最佳平方逼近元.則對任意的Remark:線性內積空間的子空間

的線性無關組選取不同，在中求得的對的最佳平方逼近元

也不同，求解的難易程度也不同。4.最佳平方逼近元的充要條件定理2內積空間)為的最佳平方逼近元的充要條件是：(線性與一切正交。其中，為

的個線性無關元。REMARK：定理2中所說的與一切

正交，與一切

的內積等于零，是指即證：必要性.用反證法.設為的最佳平方逼近元，不與所有的

正交.但即存在使得則令所以必須與一切

正交.且這說明不是對的最佳平方逼近元，與假設條件矛盾，充分性.仍記

則對任意的，有而

對任意成立,即為的最佳平方逼近元。所以進而有5.最佳平方逼近元的惟一性定理3線性內積空間的子空間

中若存在對的最佳平方逼近元，則惟一.6.最佳平方逼近元的求解現假定線性內積空間上的內積已定義，并且的子空間的一組基底也確定，最佳平方逼近元.那么，對具體的被逼近元如何求使其為的由最佳平方逼近元的充要條件，若假定則可以得出其中為待定系數。恒等變形為用矩陣式表示這個方程組為此方程組稱為法方程組。若所選取的一組基底滿足則稱其為正交基，此時五、連續函數的最佳平方逼近

1.

對于給定的函數要求函數使若這樣的存在，上的最佳平方逼近函數。則稱為在區間特別地，若則稱為在上的次最佳平方逼近多項式。求最佳平方逼近函數的問題可歸結為求它的系數,使多元函數取得極小值。由于是關于的二次函數，故利用多元函數取得極值的必要條件，可得

(k=0,1,2,…,n)得方程組如采用函數內積記號方程組可以簡寫為寫成矩陣形式為法方程組！

由于0,1,…,n線性無關，故Gn

0，于是上述方程組存在唯一解。從而肯定了函數f(x)在中如果存在最佳平方逼近函數，則必是3.舉例求

在中的最佳平方逼近元。這是上的最佳平方逼近問題.解：取記因為且同樣可求得所以，關于的法方程組為解得即為中對的最佳平方逼近元。4.函數按正交多項式展開設為其中上帶權的正交多項式系，給定若為在上的次最佳平方逼近多項式，則由正交多項式的性質，即例：求在上的三次最佳平方逼近多項式。解：先計算即所以得所以有均方誤差為最大誤差為六、曲線擬合的最小二乘法1.問題提出已知測量數據：要求簡單函數使得總體上盡可能小。稱為“殘差”這種構造近似函數的方法稱為曲線擬合；合函數。稱為擬2.曲線擬合的步驟：（3）根據某一逼近準則確定擬合函數的未知參數；（2）觀察散點分布，選擇適當的函數類來構造擬合函數；（1）根據已知條件畫出散點圖；這一方法稱為數據擬合法，得到的函數p(x)稱為擬合曲線。注：使盡可能小的度量準則:常見做法：使最小較復雜使最小線性擬合問題為了使問題的提法更具一般性，通常考慮加權平方和：確定擬合函數對于一組數據(xi,yi)(i=1,2,…,