第十三章

協方差分析協方差分析的意義對試驗進行統計控制對協方差組分進行估計為了提高試驗的精確性和準確性，對處理以外的一切條件都需要采取有效措施嚴加控制，使它們在各處理間盡量一致，這叫試驗控制。但在有些情況下，即使作出很大努力也難以使試驗控制達到預期目的。統計控制是試驗控制的一種輔助手段。經過這種修正，試驗誤差將減小，對試驗處理效應估計更為準確。若y的變異主要由x的不同造成(處理沒有顯著效應)，則各修正后的間將沒有顯著差異(但原y間的差異可能是顯著的)。若y的變異除掉x不同的影響外，尚存在不同處理的顯著效應，則可期望各間將有顯著差異(但原y間差異可能是不顯著的)。此外，修正后的和原y的大小次序也常不一致。所以，處理平均數的回歸修正和修正平均數的顯著性檢驗，能夠提高試驗的準確性和精確性，從而更真實地反映試驗實際。這種將回歸分析與方差分析結合在一起，對試驗數據進行分析的方法，叫做協方差分析(analysisofcovariance)。例13-1為研究某降血糖藥物的有效性及其合用鹽酸二甲雙胍片的有效性，選擇收治90名2型糖尿病患者，并采用隨機對照試驗，分為三個治療組，第一組為該降糖藥組，第二組為鹽酸二甲雙胍片組，第三組為該降糖藥+鹽酸二甲雙胍片組，每組30名患者，治療3個月，主要有效性指標為糖化血紅蛋白。測得每個患者入組前（X）和3個月后（Y）的糖化血紅蛋白含量（％）,試分析三種治療降糖化血紅蛋白的效果是否不同。表13-3三組患者治療前后的糖化血紅蛋白含量（％）

第一組

第二組

第三組

X1Y1

X2Y2

X3Y3110.89.4

10.49.2

9.87.6211.69.7

9.79.0

11.27.9310.68.7

9.98.9

10.79.049.07.2

9.88.6

9.67.8511.210.0

11.19.9

10.18.569.98.5

8.27.1

9.87.5710.68.3

8.87.8

10.18.3810.48.1

10.07.9

10.38.2.....................259.47.6

10.39.6

10.07.4269.28.0

9.88.1

10.38.22710.58.8

10.59.9

9.97.62811.29.5

10.79.3

9.47.8299.68.2

10.48.7

8.36.6308.07.2

9.48.7

9.27.2若不考慮初始糖化血紅蛋白X對Y的影響H0：μ1=μ2=μ3H1：μ1、μ2、μ3不等或不全相等α=0.05結論：三種治療組降糖化血紅蛋白的效果不同。如何在扣除或均衡這些不可控制因素的影響后比較多組均數間的差別，應用協方差分析。當有一個協變量時，稱一元協方差分析；當有兩個或兩個以上協變量時，稱多元協方差分析。協方差分析是將線性回歸與方差分析相結合的一種分析方法。把對反應變量Y有影響的因素X看作協變量，

建立Y對X的線性回歸，利用回歸關系把X值化為相等，再進行各組Y的修正均數間比較。修正均數是假設各協變量取值固定在其總均數時的反應變量Y的均數。其實質是從Y的總離均差平方和中扣除協變量X對Y的回歸平方和，對殘差平方和作進一步分解后再進行方差分析。殘差平方和的分解組1組2Y二、應用條件1.各組協變量X與因變量Y的關系是線性的，

即各樣本回歸系數b本身有統計學意義。2.各樣本回歸系數b間的差別無統計學意義，即各回歸直線平行。3.各組殘差呈正態分布。4.各協變量均數間的差別不能太大，否則有的修正均數在回歸直線的外推延長線上。

要求：在進行協方差分析前，應先進行方差齊性檢驗和回歸系數的檢驗。注意問題：如果不滿足以上條件，建議進行變量變換，符合上述條件后，再進行協方差分析。協方差分析的基本步驟1.確定協變量（即未加以控制或難以控制的因素）2.檢驗條件是否滿足3.建立因變量Y隨協變量X變化的線性回歸關系4.利用回歸關系把協變量X化為相等后再進行各組Y的修正均數間比較的假設檢驗完全隨機設計資料的

協方差分析表13-1kn對觀測值x、y的單向分組資料的一般形式方法步驟數據準備數據分布檢驗方差齊性檢驗電腦運算具體步驟1、計算各組、

，平方和、，積和均數及其合計項2、利用合計項各數據計算校正數C1、C2、C3，以及總變異的離均差平方和，積和及自由度3、計算各處理組間的離均差平方和，積和及自由度4、列出協方差分析計算表填入上述結果，再由總變異的及減去處理組相應各值，得到組內離均差平方和及自由度5、計算回歸估計誤差平方和及自由度，其中總的及組內平方和分別按下式計算總的減去組內的平方和即為“修正均數”的平方和6、以修正均數及組內的估計誤差平方和分別除以相應的自由度得到修正均數及組內估計誤差均方，求F值7、查F界值表得P值，做出統計推斷8、多重比較的q檢驗例13-1藥物治療是人為可控制的定性因素，稱定性變量初始糖化血紅蛋白是難以控制的定量因素，稱協變量X3月后的糖化血紅蛋白是實驗觀察指標，稱應變量Y1．H0：各總體糖化血紅蛋白的修正均數相等

H1：各總體糖化血紅蛋白的修正均數不全相等

α=0.052．列表并計算初步結果協方差分析步驟變異來源ν離均差平方和及積和估計誤差

總變異

組間變異

組內變異

修正均數

協方差分析計算表模式νMSF3．計算相應的校正數、總的、組間及組內的離均差平方和、積和及自由度

（1）校正數（2）總的離均差平方和、積和及自由度

（3）組間離均差平方和、積和及自由度

4．計算總的、組內及修正均數的估計誤差平方和、自由度

5．列協方差分析表，查F界值表，P＜0.01，拒絕H0，接受H1，可以認為在扣除初始糖化血紅蛋白因素的影響后，三組患者的總體降糖均數有差別。6．計算公共回歸系數bc及各組修正均數

7．修正均數間差別進行兩兩比較–

q檢驗

SPSS軟件計算1.建立數據文件2.繪制散點圖與建立直線回歸方程3.回歸直線平行性假定的檢驗初始X與各組無交互作用可認為各組回歸直線平行，即初始X對糖化血紅蛋白的影響在各組間是相同的。4.修正均數的計算與假設檢驗數據輸入原則：一個變量占一列一個觀測對象占一行SPSS軟件計算1.建立數據文件2.繪制散點圖與建立直線回歸方程3.回歸直線平行性假定的檢驗初始X與各組無交互作用可認為各組回歸直線平行，即初始X對糖化血紅蛋白的影響在各組間是相同的。4.修正均數的計算與假設檢驗SPSS軟件計算1.建立數據文件2.繪制散點圖與建立直線回歸方程3.回歸直線平行性假定的檢驗

初始X與各組無交互作用可認為各組回歸直線平行，即初始X對糖化血紅蛋白的影響在各組間是相同的。4.修正均數的計算與假設檢驗考察三組的初始糖化血紅蛋白是否相同？SPSS軟件計算1.建立數據文件2.繪制散點圖與建立直線回歸方程3.回歸直線平行性假定的檢驗初始X與各組無交互作用可認為各組回歸直線平行，即初始X對糖化血紅蛋白的影響在各組間是相同的。4.修正均數的計算與假設檢驗前面已得出三組斜率相同的結論，故交互項不需要再引入到模型。協變量假定均數隨機區組設計的協方差分析例13-2為研究A、B、C三種飼料對增加大白鼠體重的影響，有人按隨機區組設計將初始體重相近的36只大白鼠分成12個區組，再將每個區組的3只大白鼠隨機分入A、B、C三種飼料組，但在實驗設計時未對大白鼠的進食量加以限制。三組大白鼠的進食量(X)與所增體重(Y)如下，問扣除進食量因素的影響后，三種飼料對增加大白鼠體重有無差別？隨機區組設計資料方差分析的變異分解總變異＝處理間變異+區組間變異+誤差隨機區組設計資料協方差分析的變異分解與此相同處理因素（飼料）協變量（進食量）區組（大白鼠）反應變量Y(增重)均數扣除協變量影響：用線性回歸殘差平方和表示扣除區組的影響：總變異－區組變異＝處理變異＋誤差1.H0:各總體增重的修正均數相等

H1:各總體增重的修正均數不全相等

=0.052.計算總的、飼料組間、大白鼠間、誤差項、飼料+誤差項的lXX、lYY、lXY與自由度總變異－白鼠間

3.結論:

F=2.19<F0.05(2,21)=3.47

P>0.05

按=0.05水準不拒絕H0，還不能認為扣除進食量因素的影響后，三種飼料對增加大白鼠體重有差別。4.計算公共回歸系數與修正均數未修正前均數：SPSS軟件計算1.建立數據文件2.繪制散點圖與建立直線回歸方程3.回歸直線平行性假定的檢驗進食量與飼料組無交互作用可認為各組回歸直線平行，即進食量對增重的影響在各組間是相同的。4.修正均數的計算與假設檢驗SPSS軟件計算1.建立數據文件2.繪制散點圖與建立直線回歸方程3.回歸直線平行性假定的檢驗進食量與飼料組無交互作用可認為各組回歸直線平行，即進食量對增重的影響在各組間是相同的。4.修正均數的計算與假設檢驗SPSS軟件計算1.建立數據文件2.繪制散點圖與建立直線回歸方程3.回歸直線平行性假定的檢驗

進食量與飼料組無