第3章函數與無限集

函數又稱映射，它是一種規范的、特殊的關系。

3.1函數的基本概念

定義3.1：函數：設有集合X與Y，而f是從X到Y的關系，如對每個xX都存在唯一的yY，使得（x，y）f，則稱是從X到Y的函數，或叫從X到Y的映射。它可記為f：XY，或寫成：XY，或記為y＝f（x）。

在f：XY中xX所對應Y內的元素y稱x的像，而x叫y的像源。

定理3.1：函數f：XY是滿足下面條件的關系：（1）存在性條件—每個xX存在yY有（x,y）f

（2）唯一性條件—每個xX也僅有yY，使得（x,y）f

f1第3章函數與無限集

定義3.2：函數的定義域與值域：函數f：XY

中其定義域D（f）可用Df表示，一般，Df＝X而值域R（f）可用Cf表示，一般，Cf

Y。定義3.3：函數f：XY中如X=Y則稱f為X上的函數。

例：N={0，1，2，3，…}是自然數集，則f：NN是f（n）＝n+1，它是函數。稱后繼函數，或稱皮亞諾函數。它刻劃了自然數的順序關系。例：R是實數集，則f：RRf（x）＝x2，是函數。

2第3章函數與無限集

3.2函數的表示有四種方法:特性刻劃法，枚舉法，矩陣表示法及圖示法。

1.枚舉法用序偶的集合表示函數。例：設有X={x1，x2，x3，x4，x5}，Y={y1，y2，y3，y4，y5}可以建立函數f：XY如下：

f＝{(x1,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x4,y1),(x5,y5)}3第3章函數與無限集

2.特性刻劃法：可用表示性質的方法以刻劃元素。在函數中可用f＝{(x,y)│P(x,y)}表示。如f：RR中，f（x）＝x+1,f（x）＝x2等均為用特性刻劃法表示函數。

3.矩陣表示法與關系表方法類似，也可以用矩陣方法表示函數。例：上例中的函數可用矩陣形式表示。10000

01000

0010000010000014第3章函數與無限集

4.圖示法函數中的圖示法與關系圖形式類似。例：上例中的函數可用下面的圖3.1表示之。

y1y2y3y4y5

x1

x2x3x4x5XYf圖3.1函數的圖示法5第3章函數與無限集

3.3函數的分類

函數中四種類型：滿射、內射、單射及雙射。

定義3.4滿射：對函數f：XY如果有Cf

＝Y則稱f為從X到Y的滿射（或稱從X到Y上的函數）；否則，則稱為從X到Y的內射（或稱為從X到Y內的函數）。

定義3.5單射：對函數f：XY如果有對每個i，j，若ij則必有f（xi）f（xj），則稱f為從X到Y的單射（或稱為從X到Y的一對一函數）；否則，則稱為多對一函數。

定義3.6雙射：對函數f：XY，如果它是從X到Y的一一對應的。則稱f為從X到Y的雙射（或稱為一一對應函數）；如有X=Y，則稱f是X上的變換。6第3章函數與無限集

y1y2y3y4

x1x2x3x4x5XYf（a）

y1y2y3y4y5

x1x2x3x4

XYg（b）

y1y2y3y4

x1x2x3x4

XYh(c)圖3.3函數的滿射、單射與雙射圖7第3章函數與無限集

3.4函數運算

函數共有兩種運算：復合運算、逆運算。

1.函數的復合運算定義3.7函數的復合運算：設有函數f：XY，g：YZ，則f與g的復合運算gof可定義如下：

gof={(x，z)|xX，zZ且至少存在一個yY，有

y=f（x），z＝g（y）}

這個復合運算的結果h也是一個函數,h：XZ，它可記為h＝gof，它稱為f與g的復合函數，也可記為：

g（f（x））8第3章函數與無限集

函數復合運算也有四種表示方法。例：設有函數f：XY，g：YZ分別為：

X＝{x1,x2x3},Y＝{y1,y2},Z＝{z1,z2}：

f＝{(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y2)}g＝{(y1,z1)，(y2,z2)}

此時有：h=gof＝{(x1,z1)，(x2,z2)，(x3,z2)}可用矩陣表示100101(×)1001

=100101

9第3章函數與無限集z1

z2

x1x2

x3

XY圖3.5函數復合運算示例圖hy1

y2

Zfg也可用圖示法表示。10第3章函數與無限集例：設有集合X={1，2，3}上的函數為：

f：XXf＝{(1,3)，(2,1)，(3,2)}g：XXg＝{(1,2)，(2,1)，(3,3)}

試求fog,gof,

fof及gog

解：下面給出四個復合函數如下：（1）fog＝{(1,1)，(2,3)，(3,2)}

（2）gof＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}

（3）fof＝{(1,2)，(2,3)，(3,1)}

（4）gog＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)}11第3章函數與無限集

2.函數的逆運算每個函數不一定都有逆函數。它必須滿足兩個附加條件，所以一個函數是否有逆函數，要看函數之逆是否也滿足兩個附加條件。

定義3.8函數逆運算：設函數f：XY是雙射的（或稱一一對應的），則由f所構成的逆運算稱為函數f的逆運算，可記為f–1，而其運算結果h也是一個函數，即h：YX，它可記為h=f–1。它稱為f的逆函數或反函數。函數的逆運算也有四種表示方式。12第3章函數與無限集

例：設有函數f：XY其中X={a，b，c}，Y={1，2，3}，判斷f是否有逆函數并給出三種表示形式。（1）f={（a，3），（b，3），（c，1）}

（2）f={（a，3），（b，1），（c，2）}

解：（1）中f的圖示及矩陣表示可分別見圖3.6（a），（b）如下：001001100(b)圖3.6f圖示及矩陣表示之一(a)

abc

123

XYf13第3章函數與無限集

此函數不存在逆函數。（2）中f的圖示及矩陣表示可見圖3.7（a），（b）如下：001100010(b)圖3.7f圖示及矩陣表示之二(a)abc

123

XYf14第3章函數與無限集可以看出此函數為一一對應，因此存在逆函數f–1：YX，它的三種表示形式分別為：（1）f–1={（3，a），（1，b），（2，c）}

（2）圖示法可見圖3.8（a）（3）矩陣表示法可見圖3.8（b）010001100(b)圖3.8f–1圖示及矩陣表示(a)123

abc

XYf–115第3章函數與無限集

3.6多元函數

定義3.12多元函數：設有集合X1，X2，…，Xn及Y，則f：X1×X2×…×XnY表示從n階笛卡爾乘積X1，X2，…，Xn到Y的n元函數，或稱多元函數。它亦可表示為f（x1，x2，…，xn）=y。其中xiXi（i=1，2，…，n）

特別是當X=X1=X2=…Xn）=Y時，n元函數f：XnX可稱作n元運算，當n=1時稱為一元運算，當n1時稱為多元運算。

例：設X=R，f：R×RRf＝{((x,y),x+y)|x

R,y

R}

該函數f是一個二元運算。16第3章函數與無限集

3.7有限集與無限集定義3.13：有限集與無限集：集合S如某元素個數有限則稱為有限集，如其元素個數無限則稱為無限集。例：下面的集合均為無限集：（1）自然數集N為無限集（2）時間T為無限集（3）三維空間點集是無限集定義3.14：集合的勢：集合S的元素個數稱S的基數或稱勢，可記為：S。17第3章函數與無限集在有限集中集合的基數是一個自然數：例：S={1，2，3，4}，則S=4

例：S={a，b，c，…，z}，則S=26

在無限集中集合的基數則有專門的符號表示，如自然數集N的基數為0（念Aleph零）。其它與N一一對應的無限集如整數