第5章IIR數字濾波器的設計5.1數字濾波器的基本概念5.2模擬濾波器的設計5.3用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器5.4用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器5.5數字高通、帶通和帶阻濾波器的設計

5.1基本概念

1.數字濾波器的分類數字濾波器從實現的網絡結構或者從單位脈沖響應分類，可以分成無限脈沖響應(IIR)濾波器和有限脈沖響應(FIR)濾波器。它們的系統函數分別為：圖5.1理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性2數字濾波器的技術要求圖5.2低通濾波器的技術要求

5.2模擬濾波器的設計

模擬濾波器的理論和設計方法已發展得相當成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Cauer)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些濾波器都有嚴格的設計公式、現成的曲線和圖表供設計人員使用。1.模擬低通濾波器的設計指標及逼近方法模擬低通濾波器的設計指標有Ap,Ωp,As和Ωs。其中Ωp和Ωs分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，Ap是通帶Ω(=0~Ωp)中的最大衰減系數，As是阻帶Ω≥Ωs的最小衰減系數，一般用dB數表示。對于單調下降的幅度特性，可表示成：

濾波器的技術指標給定后，需要設計一個傳輸函數Ha(s)，希望其幅度平方函數滿足給定的指標，一般濾波器的單位沖激響應為實數，因此2.巴特沃斯低通濾波器的設計方法巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數|Ha(jΩ)|2用下式表示：

圖5.3巴特沃斯幅度特性和N的關系圖5.4三階巴特沃斯濾波器極點分布

此式表明幅度平方函數有2N個極點，極點sk用下式表示：將幅度平方函數|Ha(jΩ)|2寫s的函數：

為形成穩定的濾波器，2N個極點中只取s平面左半平面的N個極點構成Ha(s)，而右半平面的N個極點構成Ha(-s)的極點。Ha(s)的表示式為

低通巴特沃斯濾波器的設計步驟：

(1)根據技術指標Ωp,Ap,Ωs和As，求出濾波器的階數N。

(2)求出歸一化極點sk，得到歸一化傳輸函數H?a(s?)。

(3)將s?替換為s/Ωc代入H?a(s?)，得到實際的濾波器傳輸函數Ha(s)。

例5.2.1已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減αp=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=30dB，設計巴特沃斯低通濾波器。解(1)確定階數N。(2)求Ωc=1的歸一化極點將sk代入歸一化傳輸函數即得H?a(s)(3)將H?a(s)

去歸一化，求3dB截止頻率Ωc。s—>s/Ωc，代入H?a(s)，得到：

式中：

b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.23613.模擬濾波器的頻率變換——模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設計（1）低通到低通的頻率變換截止頻率Ωc的低通G(p)到截止頻率Ω?c的低通H(s)的頻率變換公式（2）低通到高通的頻率變換低通到高通的頻率變換公式(5.3.2)(5.3.1)如果已知低通G(jλ)，求高通H(jη):圖5.3.1低通與高通濾波器的幅度特性模擬高通濾波器的設計步驟：(1)確定高通濾波器的技術指標：通帶下限頻率Ω′p，阻帶上限頻率Ω′s，通帶最大衰減αp，阻帶最小衰減αs。(2)確定相應低通濾波器的設計指標：按(5.3.1)將高通濾波器的邊界頻率轉換成低通濾波器的，各項設計指標為：①低通濾波器通帶截止頻率Ωp=1/Ω′p；②低通濾波器阻帶截止頻率Ωs=1/Ω′s；③通帶最大衰減仍為αp，阻帶最小衰減仍為αs。(3)設計歸一化低通濾波器G(p)。(4)求模擬高通的H(s)將G(p)按照(5.3.2)轉換成歸一化高通H(q)，為去歸一化，將q=s/Ωc代入H(q)中，得(5.3.3)注：已知模擬低通濾波器Ｇ(s)截止頻率Ωc，則有截止頻率Ω?c的高通濾波器轉換公式：例5.3.1設計高通濾波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性單調下降，fp處最大衰減為3dB，阻帶最小衰減αs=15dB。

解①高通技術要求：

fp=200Hz,αp=3dB;fs=100Hz,αs=15dB

歸一化頻率②低通技術要求：③設計歸一化低通G(p)。采用巴特沃斯濾波器，故④求模擬高通H(s)：圖5.3.2帶通與低通濾波器的幅度特性

表5.3.1η與λ的對應關系（3）低通到帶通的頻率變換(5.3.4)由η與λ的對應關系，得到：由上表λp對應ηu，代入上式中，有上式稱為低通到帶通的頻率變換公式。利用該式將帶通的邊界頻率轉換成低通的邊界頻率。右邊推導為已知低通G(jλ)，求帶通H(jη)的轉換公式。(5.3.5)(5.3.6)模擬帶通濾波器的設計步驟：(1)確定模擬帶通濾波器的技術指標，即：帶通上限頻率Ωu，帶通下限頻率Ωl，下阻帶上限頻率Ωs1,上阻帶下限頻率Ωs2

，通帶中心頻率Ω20=ΩlΩu，通帶寬度B=Ωu–Ωl，以及與以上邊界頻率對應的歸一化邊界頻率。(2)確定歸一化低通技術要求，即：λs與-λs的絕對值可能不相等，一般取絕對值小的λs，這樣保證在較大的λs處更能滿足要求；通帶最大衰減仍為αp，阻帶最小衰減亦為αs。(3)設計歸一化低通G(p)。(4)由(5.3.6)式直接將G(p)轉換成帶通H(s)。注：已知模擬低通濾波器Ｇ(s)截止頻率Ωc，則有低通到帶通濾波器的轉換公式：

例5.3.2設計模擬帶通濾波器，通帶帶寬B=2π×200rad/s，中心頻率Ω0=2π×1000rad/s，通帶內最大衰減αp=3dB，阻帶Ωs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s，阻帶最小衰減αs=15dB。解(1)模擬帶通的技術要求：

Ω0=2π×1000rad/s,αp=3dBΩs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s,αs=15dBB=2π×200rad/s;

根據(5.3.4)計算得：η0=5,ηs1=4.15,ηs2=6(2)模擬歸一化低通技術要求：

取λs=1.833,αp=3dB,αs=15dB。(3)設計模擬歸一化低通濾波器G(p)：采用巴特沃斯型，有

取N=3，得(4)求模擬帶通H(s)：（4）低通到帶阻的頻率變換圖5.3.3低通與帶阻濾波器的幅頻特性

表5.3.2η與λ的對應關系Ωl和Ωu分別是下通帶截止頻率和上通帶截止頻率，Ωs1和Ωs2分別為阻帶的下限頻率和上限頻率，Ω0為阻帶中心頻率，Ω20=ΩuΩl，阻帶帶寬B=Ωu-Ωl。相應的歸一化邊界頻率為ηu=Ωu/Bηl=Ωl/Bηs1=Ωs1/Bηs2=Ωs2/Bη20=ηuηl

(5.3.7)根據η與λ的對應關系，可得到：由上表λp對應ηu，代入上式中，有上式稱為低通到帶阻的頻率變換公式。利用該式將帶阻的邊界頻率轉換成低通的邊界頻率。右邊推導為已知低通G(jλ)，求帶阻H(jη)的轉換公式。(5.3.8)(5.3.9)模擬帶阻濾波器的設計步驟：(1)確定模擬帶阻濾波器的技術要求，即：下通帶截止頻率Ωl,上通帶截止頻率Ωu，阻帶下限頻率Ωs1，阻帶上限頻率Ωs2，阻帶中心頻率Ω02=ΩuΩl，阻帶寬度B=Ωu-Ωl，以及以上對應的歸一化邊界頻率。(2)確定歸一化低通技術要求，即：λs與-λs的絕對值可能不相等，一般取絕對值小的λs，這樣保證在較大的λs處更能滿足要求；通帶最大衰減仍為αp，阻帶最小衰減亦為αs。(3)設計歸一化低通G(p)。(4)由(5.3.9)式直接將G(p)轉換成帶通H(s)。注：已知模擬低通濾波器Ｇ(s)截止頻率Ωc，則有低通到帶阻濾波器的轉換公式：

例5.3.3設計模擬帶阻濾波器，其技術要求為：Ωl=2π×905rad/s,Ωs1=2π×980rad/s,Ωs2=2π×1020rad/s,Ωu=2π×1105rad/s,αp=3dB,αs=25dB。試設計巴特沃斯帶阻濾波器。解：(1)模擬帶阻濾波器的技術要求：

Ωl=2π×905,Ωu=2π×1105;Ωs1=2π×980,Ωs2=2π×1020;Ω20=ΩlΩu=4π+2×1000025,B=Ωu-Ωl=2π×200;

根據(5.3.7)計算得：ηl=Ωl/B=4.525,ηu=Ωu/B=5.525;ηs1=Ωs1/B=4.9,ηs2=5.1;η20=ηlηu=25(2)歸一化低通的技術要求：(3)設計歸一化低通濾波器G(p):(4)帶阻濾波器的H(s)為5.3用脈沖響應不變法設計IIR

數字低通濾波器

為了保證轉換后的H(z)穩定且滿足技術要求，對轉換關系提出兩點要求：

(1)因果穩定的模擬濾波器轉換成數字濾波器，仍是因果穩定的。

(2)數字濾波器的頻率響應模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應的頻率之間成線性關系。

設模擬濾波器的傳輸函數為Ha(s),相應的單位沖激響應是ha(t)

設模擬濾波器Ha(s)只有單階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次，將Ha(s)用部分分式表示：(5.3.1)

式中si為Ha(s)的單階極點。將Ha(s)進行逆拉氏變換得到ha(t)：(5.3.2)

式中u(t)是單位階躍函數。對ha(t)等間隔采樣，間隔為T，得到：(5.3.3)對上式進行Z變換，得到數字濾波器的系統函數H(z)：(5.3.4)設ha(t)的采樣信號用

表示，

對進行拉氏變換，得到:

式中ha(nT)是ha(t)在采樣點t=nT時的幅度值，與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到:(5.3.5)

上式表示采樣信號的拉氏變換與相應的序列的Z變換之間的映射關系，可用下式表示：(5.3.6)已知模擬信號ha(t)的傅里葉變換Ha(jΩ)和其采樣信號的傅里葉變換之間的關系滿足：將s=σ+jΩ=0+jΩ=jΩ代入上式，得由(5.3.5)式和(5.3.8)式得到:(5.3.7)(5.3.8)(5.3.9)

上式表明：將模擬信號ha(t)的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期Ωs=2π/T延拓后，再按照(5.3.6)式映射關系，映射到z平面上，就得到H(z)。(5.3.6)式可稱為標準映射關系。下面進一步分析這種映射關系。設按照(5.3.6)式:

最后得到：

于是有：σ=0,r=1σ<0,r<1σ>0,r>1為整數注意z=esT為周期函數，可寫成：(5.3.10)圖5.3.1z=esT,s平面與z平面之間的映射關系

假設沒有頻率混疊現象，即滿足按照(5.3.9)式，將關系式s=jΩ、ω=ΩT代入得到：圖5.3.2脈沖響應不變法的頻率混疊現象

一般Ha(s)的極點si是一個復數，且以共軛成對的形式出現，(5.3.1)中將一對復共軛極點放在一起，即可構成一個二階基本節。極點(5.3.11)形式A對應的數字濾波器二階基本節：(5.3.12)模擬濾波器的二階基本節形式A：極點(5.3.13)形式B對應的數字濾波器二階基本節：(5.3.14)模擬濾波器的二階基本節形式B：

例6.3.1已知模擬濾波器的傳輸函數Ha(s)為用脈沖響應不變法將Ha(s)轉換成數字濾波器的系統函數H(z)。解：首先將Ha(s)寫成部分分式：極點為：則H(z)的極點為：按照(5.3.4)式，并經過整理，得到：T=1sT=0.1s

也可以直接按照(5.3.13),(5.3.14)式進行轉換。首先將Ha(s)寫成(5.3.13)式的形式，如極點s1,2=σ1±jΩ1,則再按照(5.3.14)式，H(z)為圖5.3.3例5.3.1的幅度特性

5.4用雙線性變換法設計IIR數字

低通濾波器

正切變換實現頻率壓縮：(5.4.1)(5.4.2)再通過轉換到z平面上，得到：(5.4.3)(5.4.4)

上式中T仍是采樣間隔，實現了s平面上整個虛軸完全壓縮到s1平面上虛軸的±π/T之間的轉換。這樣便有此為雙線性變換。圖5.4.1雙線性變換法的映射關系

令s=jΩ,z=ejω，并代入(5.4.3)式中，有(5.4.5)圖5.4.2雙線性變換法的頻率變換關系圖5.4.3雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射

表5.4.1系數關系表

例5.4.1試分別用脈沖響應不變法和雙線性不變法將圖5.4.4所示的RC低通濾波器轉換成數字濾波器。解：首先按照圖5.4.4寫出該濾波器的傳輸函數Ha(s)為

（1）利用脈沖響應不變法轉換，數字濾波器的系統函數H1(z)為

圖5.4.4RC低通濾波器電路

（2）利用雙線性變換法轉換，數字濾波器的系統函數H2(z)為H1(z)和H2(z)的網絡結構分別如圖5.4.5(a),(b)所示。圖5.4.5H1(z)和H2(z)的網絡結構H1(z)H2(z)圖5.4.6數字濾波器H1(z)和H2(z)的幅頻特性利用模擬濾波器設計IIR數字低通濾波器的步驟：

(1)確定數字低通濾波器的技術指標：通帶截止頻率ωp、通帶衰減αp、阻帶截止頻率ωs、阻帶衰減αs。

(2)將數字低通濾波器技術指標轉換成模擬低通濾波器技術指標。

如果采用雙線性變換法，邊界頻率的轉換關系為(3)按照模擬低通濾波器的技術指標設計模擬低通濾波器。

(4)將模擬濾波器Ha(s)從s平面轉換到z平面，得到數字低通濾波器系統函數H(z)。例5.4.2設計低通數字濾波器，要求在通帶內頻率低于0.2πrad時，容許幅度誤差在1dB以內；在頻率0.3π到π之間的阻帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖響應不變法和雙線性變換法設計濾波器。

解：(1)用脈沖響應不變法設計數字低通濾波器。①數字低通技術指標：ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模擬低通技術指標：

T=1s,Ωp=0.2πrad/s,αp=1dB;Ωs=0.3πrad/s,αs=15dB③設計巴特沃斯低通濾波器：先計算階數N及3dB截止頻率Ωc。

取N=6。為求3dB截止頻率Ωc,將Ωp和αp代入(5.2.17)式得Ωc=0.7032rad/s，顯然此值滿足通帶技術要求，同時給阻帶衰減留一定余量，這對防止頻率混疊有一定好處。根據階數N=6，查表5.2.1，得到歸一化傳輸函數為：

為去歸一化，將p=s/Ωc代入上式即得到實際的傳輸函數Ha(s),④用脈沖響應不變法將Ha(s)轉換成H(z)。首先將Ha(s)進行部分分式，并根據(5.3.11)、(5.3.12)或(5.3.13)、(5.3.14)式得到：圖5.4.7用脈沖響應不變法設計的數字低通濾波器的幅度特性(2)用雙線性變換法設計數字低通濾波器。①數字低通技術指標仍為：

ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模擬低通的技術指標為③設計巴特沃斯低通濾波器。階數N計算如下：

取N=6。為求Ωc,將Ωs和αs代入(5.2.18)式中，得到Ωc=0.7662rad/s。這樣阻帶技術指標滿足要求，且Ωc已經超過通帶指標。根據N=6，查表5.2.1得到的歸一化傳輸函數Ha(p)，與脈沖響應不變法得到的相同。為去歸一化，將p=s/Ωc代入Ha(p)，得實際的Ha(s)：④用雙線性變換法將Ha(s)轉換成數字濾波器H(z)：圖5.4.8用雙線性變換法設計的數字低通濾波器的幅度特性

5.5數字高通、帶通和帶阻濾波器的設計

具體設計步驟如下：

(1)確定所需類型數字