..§4.5三角函數模型的應用1．如果某種變化著的現象具有周期性,那么它就可以借助____________來描述．2．三角函數作為描述現實世界中________現象的一種數學模型,可以用來研究很多問題,在刻畫周期變化規律、預測其未來等方面都發揮著十分重要的作用．具體的,我們可以利用搜集到的數據,作出相應的"散點圖",通過觀察散點圖并進行____________而獲得具體的函數模型,最后利用這個函數模型來解決相應的實際問題．3．y＝eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<sinx>>是以______為周期的波浪形曲線．4．太陽高度角θ、樓高h0與此時樓房在地面的投影長h之間有如下關系：________________.自查自糾：1．三角函數2.周期函數擬合3．π4.h0＝htanθ已知某人的血壓滿足函數解析式f<t>＝24sin160πt＋110.其中f<t>為血壓<mmHg>,t為時間<min>,則此人每分鐘心跳的次數為<>A．60B．70C．80D．90解：由題意可得f＝eq\f<1,T>＝eq\f<160π,2π>＝80.所以此人每分鐘心跳的次數為80.故選C.某班設計了一個八邊形的班徽<如圖>,它由腰長為1,頂角為α的四個等腰三角形及其底邊構成的正方形所組成,該八邊形的面積為<>A．2sinα－2cosα＋2B．sinα－eq\r<3>cosα＋3C．3sinα－eq\r<3>cosα＋1D．2sinα－cosα＋1解：四個等腰三角形的面積之和為4×eq\f<1,2>×1×1×sinα＝2sinα.再由余弦定理可得正方形的邊長為eq\r<12＋12－2×1×1×cosα>＝eq\r<2－2cosα>,故正方形的面積為2－2cosα,所以所求八邊形的面積為2sinα－2cosα＋2.故選A.在100m的山頂上,測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°,60°,則塔高為<>A.eq\f<200,3>m B.eq\f<200\r<3>,3>mC.eq\f<100\r<3>,3>m D.eq\f<100,3>m解：如圖,設塔高為hm,則有100tan30°＝<100－h>tan60°,∴h＝eq\f<200,3><m>．故選A.已知某種交流電電流I<A>隨時間t<s>的變化規律可以擬合為函數I＝5eq\r<2>sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<100πt－\f<π,2>>>,t∈[0,＋∞>,則這種交流電在0.5s內往復運動的次數為________次．解：∵f＝eq\f<1,T>＝eq\f<ω,2π>＝eq\f<100π,2π>＝50,∴0.5s內往復運動的次數為0.5×50＝25.故填25.某市的緯度是北緯21°34′,小王想在某住宅小區買房,該小區的樓高7層,每層3m,樓與樓之間相距15m,要使所買樓房在一年四季正午的太陽不被前面的樓房遮擋,最低應該選擇第______層的房<地球上赤道南北各23°26′處的緯線分別叫南北回歸線．冬季我國白天最短的一天冬至日太陽直射在南回歸線上>．解：設最低高度為h0,則由題意知,太陽的高度角為90°－eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<21°34′－〔－23°26′>>＝45°,∴15＝eq\f<21－h0,tan45°>,得h0＝6.∴最低應選在第3層．故填3.類型一建立三角模型如圖,某大風車的半徑為2m,每12s旋轉一周,它的最低點O離地面0.5m．風車圓周上一點A從最低點O開始,運動t<s>后與地面的距離為h<m>．<1>求函數h＝f<t>的關系式；<2>畫出函數h＝f<t>的圖象．解：<1>如圖,以O為原點,過點O的圓O1的切線為x軸,建立直角坐標系,設點A的坐標為<x,y>,則h＝y＋0.5.設∠OO1A＝θ,則cosθ＝eq\f<2－y,2>,y＝－2cosθ＋2.又θ＝eq\f<2π,12>·t＝eq\f<πt,6>,所以y＝－2coseq\f<πt,6>＋2,h＝f<t>＝－2coseq\f<πt,6>＋2.5.<2>列表：t036912h0.52.54.52.50.5描點連線,即得函數h＝－2coseq\f<π,6>t＋2.5的圖象如圖所示：點撥：本題主要考查三角函數的圖象和性質,以及由數到形的轉化思想和作圖技能,建立適當的直角坐標系,將現實問題轉化為數學問題,是解題的關鍵．為了研究鐘表與三角函數的關系,建立如圖所示的坐標系,設秒針尖指向位置P<x,y>．若初始位置為P0eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<\r<3>,2>,\f<1,2>>>,秒針從P0<注：此時t＝0>開始沿順時針方向走動,則點P的縱坐標y與時間t的函數關系為<>A．y＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,30>t＋\f<π,6>>>B．y＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<π,60>t－\f<π,6>>>C．y＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<π,30>t＋\f<π,6>>>D．y＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<π,30>t－\f<π,6>>>解：由題意,函數的周期為T＝60,∴ω＝eq\f<2π,60>＝eq\f<π,30>.設函數解析式為y＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<π,30>t＋φ>>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0＜φ＜\f<π,2>>><秒針是順時針走動>．∵初始位置為P0eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<\r<3>,2>,\f<1,2>>>,∴t＝0時,y＝eq\f<1,2>.∴sinφ＝eq\f<1,2>,φ可取eq\f<π,6>.∴函數解析式為y＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<π,30>t＋\f<π,6>>>.故選C.類型二根據解析式建立圖象模型畫出函數y＝|cosx|的圖象并觀察其周期．解：函數圖象如圖所示．從圖中可以看出,函數y＝|cosx|是以π為周期的波浪形曲線．我們也可以這樣進行驗證：|cos<x＋π>|＝|－cosx|＝|cosx|,所以,函數y＝|cosx|是以π為周期的函數．點撥：利用函數圖象的直觀性,通過觀察圖象而獲得對函數性質的認識,這是研究數學問題的常用方法．<eq\a\vs4\al<經典題>>彈簧掛著的小球作上下振動,時間t<s>與小球相對平衡位置<即靜止時的位置>的高度h<cm>之間的函數關系式是h＝2sin<2t－eq\f<π,4>>,t∈[0,＋∞>．<1>以t為橫坐標,h為縱坐標,畫出函數在長度為一個周期的閉區間上的簡圖；<2>小球開始振動的位置在哪里？<3>小球最高點、最低點的位置及各自距平衡位置的距離分別是多少？<4>小球經過多長時間往復振動一次？<5>小球1s能振動多少次？解：<1>畫出h＝2sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2t－\f<π,4>>>的簡圖<長度為一個周期>．按五個關鍵點列表：teq\f<π,8>eq\f<3π,8>eq\f<5π,8>eq\f<7π,8>eq\f<9π,8>2t－eq\f<π,4>0eq\f<π,2>πeq\f<3π,2>2π2sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2t－\f<π,4>>>020－20描點并將它們用光滑的曲線連接起來,即得h＝2sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2t－\f<π,4>>><t≥0>在一個周期的簡圖,如圖所示．<2>t＝0時,h＝2sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<π,4>>>＝－eq\r<2>,即小球開始振動時的位置為<0,－eq\r<2>><平衡位置的下方eq\r<2>cm處>．<3>t＝eq\f<3π,8>＋kπ<k∈N>時,h＝2；t＝eq\f<7π,8>＋kπ<k∈N>時,h＝－2.即最高點位置eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<3π,8>＋kπ,2>>,最低點位置eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<7π,8>＋kπ,－2>>,k∈N,最高點、最低點到平衡位置的距離均為2cm.<4>小球往復振動一次所需時間即周期,T＝eq\f<2π,2>＝π≈3.14<s>．<5>小球1s振動的次數為頻率,f＝eq\f<1,T>＝eq\f<1,π>≈eq\f<1,3.14>≈0.318<次/s>．類型三三角函數擬合受日月引力影響,海水會發生漲落,在通常情況下,船在漲潮時駛進航道,靠近船塢；卸貨后,在不至擱淺時返回海洋,某港口水的深度y<米>是時間t<0≤t≤24,單位：時>的函數,記作y＝f<t>．下面是該港口在某季節每XX深的數據：t<時>03691215182124y<米>10.013.09.97.010.013.010.17.010.0<1>根據以上數據,求出函數y＝f<t>的近似表達式；<2>一般情況下,船舶航行時,船底離海底的距離為5米或5米以上認為是安全的<船舶?？繒r,船底只需不碰海底即可>,某船吃水深度<船底離水面距離>為6.5米,如果該船在同一天內安全進出港,問它至多能在港內停留多長時間<忽略進出港所需的時間>?解：<1>根據數據畫出散點圖,根據圖象,可考慮用函數y＝Asin<ωt＋φ>＋h刻畫水深與時間之間的對應關系,則周期T＝12,振幅A＝3,h＝10,∴y＝3sineq\f<π,6>t＋10<0≤t≤24>．<2>由題意,該船進出港時,水深應不小于5＋6.5＝11.5<米>,即3sineq\f<π,6>t＋10≥11.5,sineq\f<π,6>t≥eq\f<1,2>,2kπ＋eq\f<π,6>≤eq\f<π,6>t≤2kπ＋eq\f<5,6>π<k∈Z>,0≤t≤24,∴12k＋1≤t≤12k＋5<k∈Z>．在同一天內取k＝0或1,則1≤t≤5或13≤t≤17.所以該船最早能在凌晨1時進港,最晚下午17時出港,在港口最多停留16小時．點撥：<1>這是一道根據生活中的實例編擬的題目,由表中數據抽象出數學問題<求解析式、解不等式>,從而得出船在港內最多停留的時間,這一過程體現了數學建模的思想；<2>許多實際問題可以根據以前的記錄數據尋找模擬函數,再結合幾個關鍵數據求出解析式．某"帆板"集訓隊在一海濱區域進行集訓,該海濱區域的海浪高度y<米>隨著時間t<0≤t≤24,單位：時>而周期性變化,每天各時刻t的浪高數據的平均值如下表：t/時03691215182124y/米1.01.41.00.61.01.40.90.51.0<1>試畫出散點圖；<2>觀察散點圖,從y＝at＋b,y＝Asin<ωt＋φ>＋b,y＝Acos<ωt＋φ>中選擇一個合適的函數模型,并求出該擬合模型的解析式；<3>如果確定在白天7時～19時當浪高不低于0.8米時才進行訓練,試安排恰當的訓練時間．解：<1><2>由<1>知選擇y＝Asin<ωt＋φ>＋b較合適．由圖知,A＝0.4,b＝1,T＝12,所以ω＝eq\f<2π,T>＝eq\f<π,6>,把t＝0,y＝1代入y＝0.4sin<eq\f<π,6>t＋φ>＋1,得φ＝0,所以所求的解析式為：y＝0.4sineq\f<π,6>t＋1<0≤t≤24>．<3>由y＝0.4sineq\f<π,6>t＋1≥0.8,得sineq\f<π,6>t≥－eq\f<1,2>,則－eq\f<π,6>＋2kπ≤eq\f<πt,6>≤eq\f<7π,6>＋2kπ<k∈Z>,即12k－1≤t≤12k＋7,所以0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24.即應安排在11時到19時訓練較恰當．1．三角函數模型的三種模式在現實生活中,許多變化的現象都具有周期性,因此,可以用三角函數模型來描述．如：氣象方面有溫度的變化,天文學方面有白晝時間的變化,物理學方面有各種各樣的振動波,生理方面有人的情緒、智力、體力變化等．研究這些應用問題,主要有以下三種模式：①給定呈周期變化規律的三角函數模型,根據所給模型,結合三角函數的性質,解決一些實際問題；②給定呈周期變化的圖象,利用待定系數法求出函數,再解決其他問題；③搜集一個實際問題的調查數據,根據數據作出散點圖,通過擬合函數圖象,求出可以近似表示變化規律的函數式,進一步用函數性質來解決相應的實際問題．2．三角函數應用問題解題流程三角函數應用題通常涉及生產、生活、軍事、天文、地理和物理等實際問題,利用三角函數的周期性、有界性等,可以解決很多問題,其解題流程大致是：審讀題目,理解題意→設角,建立三角函數模型→分析三角函數的性質→解決實際問題．其中根據實際問題的背景材料,建立三角函數關系,是解決問題的關鍵．3．將圖象和性質賦予實際意義在解決實際問題時,要具體問題具體分析,充分運用數形結合的思想,靈活運用三角函數的圖象和性質．1．如圖,單擺從某點開始來回擺動,離開平衡位置O的距離s<cm>和時間t<s>的函數關系式為s＝6sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2πt＋\f<π,6>>>,那么單擺來回擺動一次所需的時間為<>A．2πs B．πsC．0.5s D．1s解：T＝eq\f<2π,2π>＝1,來回擺動一次所需時間即為一個周期．故選D.2．電流強度I<安>隨時間t<秒>變化的函數I＝Asineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<ωt＋φ>><A>0,ω>0,0<φ<eq\f<π,2>>的圖象如圖所示,則t＝eq\f<1,100>秒時,電流強度I＝<>A．－5安B．5安C．5eq\r<3>安D．10安解：由圖知A＝10,T＝2<eq\f<4,300>－eq\f<1,300>>＝eq\f<1,50>,ω＝eq\f<2π,T>＝eq\f<2π,\f<1,50>>＝100π,∴I＝10sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<100πt＋φ>>.由于圖象過點eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,300>,10>>,代入解析式得10＝10sin<100π·eq\f<1,300>＋φ>,即sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,3>＋φ>>＝1,從而eq\f<π,3>＋φ＝2kπ＋eq\f<π,2>,φ＝2kπ＋eq\f<π,6>,k∈Z.∵0<φ<eq\f<π,2>,∴φ＝eq\f<π,6>.∴I＝10sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<100πt＋\f<π,6>>>.當t＝eq\f<1,100>時,I＝10sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<100π·\f<1,100>＋\f<π,6>>>＝－5.故選A.3．動點A<x,y>在圓x2＋y2＝1上繞坐標原點沿逆時針方向勻速旋轉,12秒旋轉一周．已知時間t＝0時,點A的坐標是eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>,\f<\r<3>,2>>>,則動點A的縱坐標y關于t<單位：秒>的函數表達式為<>A．y＝sineq\f<π,6>tB．y＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,6>t＋\f<π,3>>>C．y＝sineq\f<π,3>tD．y＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,3>t＋\f<π,6>>>解：該函數的最小正周期T＝12,ω＝eq\f<2π,T>＝eq\f<π,6>,可設此函數為y＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,6>t＋φ>>,又當t＝0時,點A的坐標為eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>,\f<\r<3>,2>>>,∴所求函數表達式為y＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,6>t＋\f<π,3>>>.故選B.4．如圖為一半徑是3m的水輪,水輪圓心O距離水面2m,已知水輪自點A開始1min旋轉4圈,水輪上的點P到水面距離y<m>與時間x<s>滿足函數關系y＝Asin<ωx＋φ>＋2,則有<>A．ω＝eq\f<2π,15>,A＝3B．ω＝eq\f<15,2π>,A＝3C．ω＝eq\f<2π,15>,A＝5D．ω＝eq\f<15,2π>,A＝5解：∵水輪上最高點距離水面r＋2＝5m,即A＋2＝5,∴A＝3.又∵水輪每秒鐘旋轉eq\f<8π,60>＝eq\f<2π,15>rad,∴角速度ω＝eq\f<2π,15>.故選A.5．如圖,質點P在半徑為2的圓周上逆時針運動,其初始位置為P0<eq\r<2>,－eq\r<2>>,角速度為1,那么點P到x軸距離d關于時間t的函數圖象大致為<>解：據點P0的坐標可得∠xOP0＝－eq\f<π,4>,故∠xOP＝t－eq\f<π,4>.設點P<x,y>,則由三角函數的定義,可得sin∠xOP＝eq\f<y,r>,即sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<t－\f<π,4>>>＝eq\f<y,2>,故y＝2sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<t－\f<π,4>>>,因此點P到x軸的距離d＝eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<y>>＝2eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<sin\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<t－\f<π,4>>>>>,據解析式可得C選項圖象符合條件．故選C.<另用排除法易選C>6．已知函數y＝f<x>的圖象如圖所示,則函數y＝feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>－x>>sinx在[0,π]上的大致圖象是<>解：當0＜x＜eq\f<π,2>時,0＜eq\f<π,2>－x＜eq\f<π,2>,顯然y＝feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>－x>>sinx＞0,排除C,D；當eq\f<π,2>＜x＜π時,－eq\f<π,2>＜eq\f<π,2>－x＜0,顯然y＝feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>－x>>sinx＜0,排除B.所以只有A符合題意．故選A.7．某時鐘的秒針端點A到中心O的距離為5cm,秒針均勻地繞點O旋轉,當時間t＝0時,點A與鐘面上標12的點B重合,將A,B兩點間的距離deq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<cm>>表示成teq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<s>>的函數,則d＝_____________,其中t∈eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<0,60>>.解：如圖所示,OA＝OB＝5eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<cm>>,秒針由B均勻地旋轉到A的時間為teq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<s>>,則∠AOB＝eq\f<π,30>t,取AB中點為C,則OC⊥AB,從而∠AOC＝eq\f<1,2>∠AOB＝eq\f<π,60>t.在Rt△AOC中,AC＝OAsin∠AOC＝5sineq\f<π,60>t,∴d＝AB＝10sineq\f<π,60>t,t∈eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<0,60>>.故填10sineq\f<π,60>t.8．如圖,塔AB和樓CD的水平距離為80m,從樓頂C處及樓底D處測得塔頂A的仰角分別為45°和60°,則塔高AB＝________m,樓高CD＝________m．<精確到0.01m><參考數據：eq\r<2>＝1.41421…,eq\r<3>＝1.73205…>解：在Rt△ABD中,BD＝80m,∠BDA＝60°,∴AB＝BD·tan60°＝80eq\r<3>≈138.56<m>．在Rt△AEC中,EC＝BD＝80m,∠ACE＝45°,∴AE＝CE＝80<m>．∴CD＝BE＝AB－AE＝80eq\r<3>－80≈58.56<m>．∴塔AB的高約為138.56m,樓CD的高約為58.56m.故填138.56；58.56.9．如圖所示,在直徑為1的圓O中,作一關于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形,其中y＞x＞0.將十字形的面積表示為θ的函數．解：設S為十字形的面積,則S＝2xy－x2＝2sinθcosθ－cos2θeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,4>＜θ＜\f<π,2>>>.10．已知,如圖表示電流強度I與時間t的關系I＝Asin<ωt＋φ><t≥0,－eq\f<π,2>＜φ＜eq\f<π,2>>的圖象．<1>試根據圖象寫出I＝Asin<ωt＋φ>的解析式；<2>為了使I＝Asin<ωt＋φ>中t在任意一段eq\f<1,100>秒的時間內電流強度I能同時取得最大值eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<A>>與最小值－eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<A>>,那么正整數ω的最小值是多少？解：<1>由圖知,A＝300,T＝eq\f<1,60>－eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<1,300>>>＝eq\f<1,50>,∴ω＝eq\f<2π,T>＝eq\f<2π,\f<1,50>>＝100π.∵－eq\f<ω,300>＋φ＝2kπ,k∈Z,∴φ＝eq\f<ω,300>＋2kπ＝eq\f<π,3>＋2kπ.∵φ∈eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<π,2>,\f<π,2>>>,∴φ＝eq\f<π,3>.∴I＝300sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<100πt＋\f<π,3>>><t≥0>．<2>問題等價于T≤eq\f<1,100>,即eq\f<2π,ω>≤eq\f<1,100>,∴ω≥200π.∴最小的正整數ω為629.11．<eq\a\vs4\al<2014·XX>>某實驗室一天的溫度<單位：℃>隨時間t<單位：h>的變化近似滿足函數關系：f<t>＝10－eq\r<3>coseq\f<π,12>t－sineq\f<π,12>t,t∈[0,24>．<1>求實驗室這一天的最大溫差；<2>若要求實驗室溫度不高于11℃,則在哪段時間實驗室需要降溫？解：<1>f<t>＝10