2023年黑龍江省大慶市普通高校對口單招高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.A.A.

B.

C.-3cotx+C

D.3cotx+C

2.下列等式中正確的是()。A.

B.

C.

D.

3.A.A.

B.

C.

D.

4.A.0B.1C.2D.-1

5.

6.設函數z=y3x，則等于()．A.A.y3xlny

B.3y3xlny

C.3xy3x

D.3xy3x-1

7.設函數f(x)在[a，b]上連續，則曲線y=f(x)與直線x=a，x=b，y=0所圍成的平面圖形的面積等于（）。A.

B.

C.

D.

8.設z=ysinx，則等于()．A.A.-cosxB.-ycosxC.cosxD.ycosx

9.

10.A.A.1

B.1/m2

C.m

D.m2

11.

等于()A.A.

B.

C.

D.0

12.

13.

14.微分方程y'+y=0的通解為()。A.y=ex

B.y=e-x

C.y=Cex

D.y=Ce-x

15.函數y=ex+e-x的單調增加區間是

A.(-∞,+∞)B.(-∞,0]C.(-1,1)D.[0,+∞)

16.A.0B.1C.2D.不存在

17.過曲線y=xlnx上M0點的切線平行于直線y=2x，則切點M0的坐標是()．A.A.(1，0)B.(e，0)C.(e，1)D.(e，e)

18.力偶對剛體產生哪種運動效應()。

A.既能使剛體轉動，又能使剛體移動B.與力產生的運動效應有時候相同，有時不同C.只能使剛體轉動D.只能使剛體移動

19.A.A.

B.

C.

D.

20.方程x2+2y2-z2=0表示的二次曲面是()

A.橢球面B.錐面C.旋轉拋物面D.柱面

二、填空題(20題)21.

22.

23.設y=1nx，則y'=__________．

24.

25.求微分方程y"-y'-2y=0的通解。

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

二階常系數線性微分方程y-4y＋4y=0的通解為__________．

40.

三、計算題(20題)41.

42.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

43.證明：

44.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

45.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

46.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

47.

48.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

49.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

50.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

51.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

52.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

53.

54.

55.

56.求微分方程的通解．

57.

58.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

59.

60.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

四、解答題(10題)61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.求微分方程y"-y'-2y=3ex的通解．

68.

69.

70.將f(x)=1/3-x展開為(x+2)的冪級數，并指出其收斂區間。

五、高等數學(0題)71.f(x)在x=0的某鄰域內一階導數連續且則()。A.x=0不是f(x)的極值點B.x=0是f(x)的極大值點C.x=0是f(x)的極小值點D.x=0是f(x)的拐點

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.C

2.B

3.D本題考查的知識點為偏導數的計算．

可知應選D．

4.C

5.D解析：

6.D本題考查的知識點為偏導數的計算．

z=y3x

是關于y的冪函數，因此

故應選D．

7.C

8.C本題考查的知識點為高階偏導數．

由于z=ysinx，因此

可知應選C．

9.D

10.D本題考查的知識點為重要極限公式或等價無窮小代換．

解法1由可知

解法2當x→0時，sinx～x，sinmx～mx，因此

11.D本題考查的知識點為定積分的性質．

由于當f(x)可積時，定積分的值為一個確定常數，因此總有

故應選D．

12.D

13.D

14.D可以將方程認作可分離變量方程；也可以將方程認作一階線性微分方程；還可以仿二階線性常系數齊次微分方程，并作為特例求解。解法1將方程認作可分離變量方程。分離變量

兩端分別積分

或y=Ce-x解法2將方程認作一階線性微分方程．由通解公式可得解法3認作二階常系數線性齊次微分方程特例求解：特征方程為r+1=0，特征根為r=-1，方程通解為y=Ce-x。

15.D考查了函數的單調區間的知識點.

y=ex+e-x,則y'=ex-e-x,當x＞0時,y'＞0,所以y在區間[0,+∞)上單調遞增。

16.D本題考查的知識點為極限與左極限、右極限的關系．

由于f(x)為分段函數，點x＝1為f(x)的分段點，且在x＝1的兩側，f(x)的表達式不相同，因此應考慮左極限與右極限．

17.D本題考查的知識點為導數的幾何意義．

由導數的幾何意義可知，若y=f(x)在點x0處可導，則曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處必定存在切線，且切線的斜率為f'(x0)．

由于y=xlnx，可知

y'=1+lnx，

切線與已知直線y=2x平行，直線的斜率k1=2，可知切線的斜率k=k1=2，從而有

1+lnx0=2，

可解得x0=e，從而知

y0=x0lnx0=elne=e．

故切點M0的坐標為(e，e)，可知應選D．

18.A

19.D本題考查的知識點為偏導數的計算．

20.B對照二次曲面的標準方程，可知所給曲面為錐面，故選B。

21.xex(Asin2x+Bcos2x)由特征方程為r2-2r+5=0，得特征根為1±2i，而非齊次項為exsin2x，因此其特解應設為y*=Axexsin2x+Bxexcos2x=xex(Asin2x+Bcos2x).

22.1/6

23.

24.11解析：

25.

26.f(x)本題考查了導數的原函數的知識點。

27.3(x－1)－(y＋2)＋z＝0(或3x-y＋z＝5)．

本題考查的知識點為平面與直線的方程．

由題設條件可知應該利用點法式方程來確定所求平面方程．

所給直線z的方向向量s＝(3，－1，1)．若所求平面π垂直于直線1，則平面π的法向量n∥s，不妨取n＝s＝(3，－1，1)．則由平面的點法式方程可知

3(x－1)－[y－(－2)]＋(z－0)＝0，

即3(x－1)－(y＋2)＋z＝0

為所求平面方程．

或寫為3x-y＋z－5＝0．

上述兩個結果都正確，前者3(x－1)－(y＋2)＋z＝0稱為平面的點法式方程，而后者3x-y＋z－5＝0

稱為平面的－般式方程．

28.e

29.

30.-ln｜3-x｜+C

31.2

32.f(0)．

本題考查的知識點為導數的定義．

由于f(0)＝0,f(0)存在，因此

本題如果改為計算題，其得分率也會下降，因為有些考生常常出現利用洛必達法則求極限而導致運算錯誤：

因為題設中只給出f(0)存在，并沒有給出f(x)(x≠0)存在，也沒有給出f(x)連續的條件，因此上述運算的兩步都錯誤．

33.

34.1

35.

36.

37.

本題考查的知識點為極限的運算．

若利用極限公式

如果利用無窮大量與無窮小量關系，直接推導，可得

38.本題考查的知識點為定積分的基本公式。

39.

40.5．

本題考查的知識點為二元函數的偏導數．

解法1

解法2

41.

42.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

43.

44.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

45.函數的定義域為

注意

46.

列表：

說明

47.

48.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

49.由二重積分物理意義知

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

則

58.

59.由一階線性微分方程通解公式有

60.由等價無窮小量的定義可知

61.

62.

63.

64.

65.

66.本題考查的知識點為兩個：定積分表示－個確定的數值；計算定積分．

這是解題的關鍵!為了能求出A，可考慮將左端也轉化為A的表達式，為此將上式兩端在[0，1]上取定積分，可得

得出A的方程，可解出A，從而求得f(x)．

本題是考生感到困難的題目，普遍感到無從下手，這是因為不會利用“定積分表示－個數值”的性質．

這種解題思路可以推廣到極限、二重積分等問題中．

67.相應的齊次微分方程為y"-y'-2y=0．其特征方程為r2-r-2=0．其特征根為r1=-1，r2=2．齊次方程的通解為Y=C1e-x+C2e2x．由于f(x)=3ex，1不是其特征根，設非齊次方程的特解為y*=Aex．代入原方程可