第五課分式，比率的性質學習目標：理解分式的基本性質，會用分式的基本性質進行簡單恒等變形；理解比率的性質，會應用比率的性質化簡。一、基本看法1.分式的基本性質分式的分子與分母都同時乘以或除以同一個不為零的整式，分式的值不變,這個性質叫做分式的基本性質。．．．．．．．用式子表示是A=A；A=A（其中M是不為零的整式）。BBBB2．（1）當分子、分母都含有負號時，分子、分母應同乘以-1,使分式的值不變，且分子分母都不含負號。當分子或分母含有負號時，利用分式的基本性質及有關法規，把分子或分母的符號變為___________的符號。3．合比性質的表達文字：在一個比率里，第一個比的前后項的和與它后項的比，等于第二個比的前后項的和與它的后項的比，這稱為比率中的合比定理，這種性質稱為合比性質。字母：已知，且有，若是，則有。推導過程：．分比性質的表達文字：在一個比率等式中，第一個比率的前后項之差與第一個比率的后項的比，等于第二個比率的前后項之差與第二個比率的后項的比。字母：已知，且有，若是，則有。推導過程合分比性質的表述文字：在一個比率等式中，第一個比率的前后項之和與第一個比率的前后項之差的比，等于第二個比率的前后項之和與第二個比率的前后項之差的比。字母：已知，且有，若是，則有。推導過程令則等比性質的表達文字：在一個比率等式中，兩前項之和與兩后項之和的比率與原比率相等字母：已知，且有，若是，則有。推導過程證法一令，則證法二由合比性質即推論已知，且有，若是，則有更比性質的表達文字：把一個比率的一個比的前項與另一個比的后項互調后,所得結果仍是比率.字母：若是a/b=c/d那么a/c=b/d（b、d≠0）推導過程a/b=c/d等號兩邊同乘bd得ad=cb同除dc得a/c=b/d外項的積等于內項的積文字：兩個外項的積等于兩個內項的積，這叫做比率的基本性質。字母：若是（，，，都不等于零），那么＝

．推導過程用去乘的兩邊，得·bd＝·，所以＝．二、典型例題例1．若a、x、

y都是不為

0的數，將

1的分子與分母都乘以

y，獲取

y

，x

xy則分式

1x

與

yxy

相等嗎？(

相等

)將分式

2xax

的分子與分母都除以

x，獲取

2，分式a

2xax

與

2相等嗎？(a

相等

)例2：1、若a1,則ab____,ab_____,a2b____b2bbb剖析：ab3,ab1,a2b5b2b2b22、如圖，已知AE2，EC3且ADAEDBEC則AB______DB剖析：ABADDBAEEC235DBDBEC333、已知x2,則xx_____;xy____y3y2xy剖析：x22;xy235yx3252xy22314、若ace2,則ace____;a2c3e____bdfbdfb2d3f（其中bdf0,b2d3f0)剖析：ace2b2c2f2;a2c3e2bdfbdfb2d3f、若ace2且ace，則bdf____dfb3（其中bdf0)剖析：ace2,且ace4，則ace4bdf6bdf3bdf6例3．、已知x:y:z1:2:3,則x2yz1zx______x2yzx4x3x4剖析：zx3xx12、已知xyz,且2xyz4,則xyz______235剖析：xyzk,責2xyz4k3k5k4,235k2則xyz2k3k5k203、若2x3y4z,則x:y:z______;xz____xy剖析：3y4z12k,則x:y:z6:4:3;2xxz6k3k9xy6k4k2三、當堂檢測1、下面各組中的分式相等嗎？為什么？（1）mn與2m2n（2）aab與b1a2aacc（3）a與a（4）a與abbbb2、下面的式子正確嗎？為什么？（1）x=2x（2）6m12n=m2nx12x18m12n2m3n3、若3x2y,則x_____y4、若mxny,則x_____y5、若abc0,設abacbck,則k_______cba四、課堂小結與反思五、課后練習1、若23，則x______x42、若3,x2,4,x1成比率，則x______3、若am2,那么am____;am____bn3bnbn（其中bn0,bn0)4、已知△ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足abcbca則△ABC的形狀是_______5、若2x5y,則以下比率式成立的是（）A)xyB)xyC)x2D)x52552y53y6、若abck,則k_______cacabb第六課因式分解學習目標：學會十字相乘法，公式法，分組分解等各種方法進行因式分解，熟記平方差，圓滿平方等常用的一些因式分解公式。一、基本看法定義：把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解（也叫作分解因式）.因式分解與整式乘法為相反變形，同時也是解一元二次方程中公式法的重要步驟.二、因式分解三原則1．分解要圓滿（可否有公因式，可否可用公式）2．最后結果只有小括號3．最后結果中多項式首項系數為正（比方：3x2xx(3x1)）三、基本方法（一）提公因式法mambmcm(abc)若是一個多項式的各項有公因式，能夠把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提取公因式法.找公因式的一般步驟：1）若各項系數是整系數，取系數的最大合約數；2）取相同的字母，字母的指數取次數最低的；3）取相同的多項式，多項式的指數取次數最低的；4）所有這些因式的乘積即為公因式.（5）若是多項式的第一項為哪一項負的，一般要提出“-”號，使括號內的第一項的系數成為正數，提出“-”號時，多項式的各項都要變號.口訣：找準公因式，一次要提盡；全家都搬走，留1把家守；提負要變號，變形看奇偶.（二）公式法由于分解因式與整式乘法有著互逆的關系，若是把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項式分解因式.1、平方差公式：a2b2(ab)(ab)2、圓滿平方公式：a22abb2(ab)23、立方和公式：3b3(ab)(2ab2b)aa4、立方差公式：3b3(ab)(2ab2b)aa5、a2b2c22ab2bc2ca(abc)26、圓滿立方公式：a33a2b3ab2b3(ab)37、a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abbcca)（三）分組分解法能分組分解的多項式一般有四項或大于四項，一般的分組分解有兩種形式：二二分法、三一分法.（四）十字相乘法口訣：首尾分解，交錯相乘，求和湊中二次項系數為1的二次三項式直接利用公式——x2(pq)xpq(xp)(xq)進行分解特點：（1）二次項系數是1；2）常數項是兩個數的乘積；3）一次項系數是常數項的兩因數的和2.二次項系數不為1的二次三項式——ax2bxc條件：（1）aa1a2a1c1（2）cc1c2a2c2（3）ba1c2a2c1ba1c2a2c1分解結果：ax2bxc=(a1xc1)(a2xc2)二次項系數為1的齊次多項式例、分解因式：a28ab128b2剖析：將b看作常數，把原多項式看作關于a的二次三項式，利用十字相乘法進行分解。18b-16b8b+(-16b)=-8b解：a28ab128b2=a2[8b(16b)]a8b(16b)4.二次項系數不為1的齊次多項式例、2x27xy6y2例、x2y23xy21-2y把xy看作一個整體1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=(x2y)(2x3y)解：原式=(xy1)(xy2)（五）換元法有時在分解因式時，能夠選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，整體代入，今后進行因式分解，最后再變換回來，這種方法叫做換元法.注意：換元后勿忘還元.（六）拆項、添項法這種方法指把多項式的某一項翻開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合于提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解.要注意，必定在與原多項式相等的原則下進行變形.（七）配方法關于某些不能夠夠利用公式法的多項式，能夠將其配成一個圓滿平方式，今后再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法.屬于拆項、添項法的一種特別情況。也要注意必定在與原多項式相等的原則下進行變形.（八）主元法先選定一個字母為主元，今后把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解.（九）特別值法將2或10代入x，求出數P，將數P分解質因數，將質因數適合的組合，并將組合后的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式.（十）待定系數法第一判斷出分解因式的形式，今后設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解.（十一）長除法不足的項要用0補，除的時候，必定要讓第一項抵消二、典型例題（一）提公因式法例1．分解因式x32x2x解：x32x22xx(x2x1)（二）公式法例2、分解因式a24ab4b2解：a24ab4b2(a2b)2例3、已知a,b,c是ABC的三邊，且a2b2c2abbcca，則ABC的形狀是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形解：a2b2c2abbcca2a22b22c22ab2bc2ca2220abc(ab)(bc)(ca)（三）分組分解法例4、分解因式amanbmbn.解：原式=(aman)(bmbn)=a(mn)b(mn)每組之間還有公因式！(mn)(ab)例5、分解因式2ax10ay5bybx解法一：第一、二項為一組；解法二：第一、四項為一組；第三、四項為一組。第二、三項為一組。解：原式=(2ax10ay)(5bybx)原式=(2axbx)(10ay5by)=2a(x5y)b(x5y)=x(2ab)5y(2ab)=(x5y)(2ab)=(2ab)(x5y)（四）十字相乘法例6、分解因式：x25x6剖析：將6分成兩個數相乘，且這兩個數的和要等于5.由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，從中能夠發現只有2×3的分解適合，即2+3=5.x26=x212解：5x(23)x2313=(x2)(x3)1×2+1×3=5用此方法進行分解的要點：將常數項分解成兩個因數的積，且這兩個因數的代數和要等于一次項的系數.例7、2x27xy6y2例8、x2y23xy21-2y把xy看作一個整體1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=(x2y)(2x3y)解：原式=(xy1)(xy2)（五）換元法例9、分解因式(x2x1)(x2x2)12解：令yx2x則原式(y1)(y2)12y23y10(y5)(y2)(x2x5)(x2x2)(x2x5)(x2)(x1)（六）拆項、添項法例10、分解因式解：原式

bc(bc)ca(cbc(caab)bc(ca)bc(abc(ca)ca(c(bcca)(ca)c(ca)(ba)

a)ab(aca(ca)b)ca(cbc(a(bcab)(ab(ca)(a

b)ab(ab)a)ab(ab)ab(ab)b)b)(cb)(ca)(ba)（七）配方法例11、分解因式x24x3解：原式x24x443(x2)21(x21)(x21)(x3)(x1)（八）主元法例12、分解因式a2(bc)b2(ca)c2(ab)解：原式a2(bc)a(b2c2)(b2cc2b)(bc)[a2a(bc)bc](bc)(ab)(ac)（九）特別值法例13、分解因式x39x223x15解：令x2，則x39x223x158364615105將105分解成3個質因數的積，即105357注意到多項式中最高項的系數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值則x39x223x15(x1)(x3)(x5)（十）待定系數法例14、分解因式x4x35x26x4解：由剖析知，這個多項式沒有一次因式，所以只能分解為兩個二次因式于是設x4x35x26x4(x2axb)(x2cxd)x4(ac)x3(acbd)x2(adbc)xbd所以ac1acbd5adbc6bd4解得a1，b1，c2，d4所以x4x35x2226x4(xx1)(x2x4)（十一）長除法例15、分解因式3x35x22解：提示：x1能夠使該式0，有因式(x1)，以以以下列圖，所以原式(x1)(3x22x2)三、當堂檢測1．分解因式：a28ab128b22.分解因式：3x211x103.分解因式（1）2005x2(200521)x2005（2）(x1)(x2)(x3)(x6)x24.（）當m為什么值時，多項式x2y2mx5y6能分解因式，并分解此多項式.1（2）若是x3ax2bx8有兩個因式為x1和x2，求ab的值.四、課堂小結與反思五、課后練習1．分解因式：x2y2axay分解因式：a22abb2c2分解因式：x27x64.分解因式x2xy6y2x13y65、分解因式x25xy6y28x18y126、分解因式abb2ab2第七課解方程（組）的方法學習目標：學會解一元一次方程，一元二次方程，簡單的分式方程，及學會解二元一次方程組。一、基本看法解一元一次方程的步驟：去分母；去括號；移項；合并同類項：把方程化成ax=b(a≠0)的形式；獲取方程的解x=b/a.、解一元二次方程的基本思想方法是經過“降次”將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解法：（1）、直接開平方法；（2）、配方法；（3）、公式法；（4）、因式分解法。解分式方程的基本思想就是想法將分式方程“轉變”為整式方程。（1）解分式方程的基本方法——去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程兩邊同時乘以各分式的最簡公分母，使分式方程轉變為整式方程，但要注意，可能會產生增根，所以，必定驗根。（2）解分式方程的其他方法拆項法2.通分法3.交錯相乘法二元一次方程組的解法（1）代入消元法（2）加減消元法“消元”是解二元一次方程的基本思路。所謂“消元”就是減少未知數的個數，使多元方程最后轉變為一元方程再解出未知數。這種將方程組中的未知數個數由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。二、典型例題例1．一個三位數的百位數字是十位數字的2倍，個位數字比十位數字少1，若把這個三位數的百位數字跟個位數字對調，獲取的新三位數比原三位數小396，求原三位數】剖析：先找要點句---“若把三位數的百位數字跟個位數字對調今后獲取的新三位數比原三位數小396”，做這道題還要會用x表示三位數。若設原三位數的個位數字是x，由題意十位數字為x+1，百位數字是2（x+1）原來三位數大小可表示為2（x+1）×100+（x+1）×10+x對調后新的三位數個位數字是2（x+1），則十位數字為x+1，百位數字是x新三位數大小可表示為100x+（x+1）×10+2（x+1）解：設原來三位數的個位數字是x由題意獲取方程（x+1）×100+（x+1）×10+x=100x+（x+1）×10+2（x+1）+3962（x+1）×100+（x+1）×10+x=100x+（x+1）×10+2（x+1）+396（約去代數式)2（x+1）×100+x=100x+2（x+1）+396(去括號）200x+200+x=100x+2x+2+396（移項，合并同類項）99x=198（系數化為1）x=2原來的數字個位2，十位x+1=3，百位2（x+1）=6。該三位數為632答：原來的三位數是632例2：（1）.解方程：2x2＋3＝5x．解：移項，得：2x2-5x＋3＝0，2）解方程：2x2+7x-4＝0a＝2，b＝7，c＝-4．b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝813）解方程：x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0)x2-3ax+2a2-ab-b2＝0a＝1，b＝-3a，c＝2a2-ab-b2b2-4ac＝(-3a)2-4×1×(2a2+ab-b2)9a2-8a2-4ab+4b2a2-4ab+4b2(a-2b)2當(a-2b≥0)時，得(4)2x25x20解：能夠分解為（x-2)(2x-1)=0解得x1x21=2=212例3：（1）x1x21解：方程兩邊都乘x1x1，約去分母，得：x12,x1。檢驗：當x1時，x1x10。所以：x1是增根，即：原方程無解。x7x3x4x6(2)解方程：x9x5x6x8。x92x52x62x82解：x9x5x6x8，121212129x6x8，即xx51111移項，整理，得x9x8x6x5，x8x9x5x6x9x8x6x5，11x9x8x6x5，去分母，得x6x5x9x8，解得：x7。經檢驗，x7原方程的根。x3x4x1x2(3)解方程：x4x5x2x3。方程兩邊分別通分，得x＋3x5x42＝x1x3x22x5x＋4x2x3，11即x5x4x3x2，∴x5x4x2x3，x7解得2。x7經檢驗，2是原方程的根。x

7∴原方程的根是2。23x32x(4)解方程：3x12x2。7解：原方程化為23x2x232x3x1，整理得13xx7，∴13。7經檢驗x13是原方程的根。x7∴原方程的根是13。xy8