2010年入學統一考試數學二試 2011年入學統一考試數學二試 2012年入學統一考試數學二試 2013年入學統一考試數學二試 2014年入學統一考試數學二試 2015年入學統一考試數學二試 2016年入學統一考試數學二試 2010年入學統一考試數學二試題答 2011年入學統一考試數學二試題答 2012年入學統一考試數學二試題答 2013年入學統一考試數學二試題答 2014年入學統一考試數學二試題答 2015年入學統一考試數學二試題答 2016年入學統一考試數學二試題答 2010年入學統一考試數學二試x2x2x2x21fx

(A) (C)

微分方程ypx

y1

1,1 2,1

1,1 2,2 曲線yx2與曲線ya 相切，則a 設

是正整數，則反常積分

dx的收斂 1mln21 n1mln21 n(C)與

(D)與

zz(xy,Fy,z)0FF0x xz

x

z

x

z n

j1nin

j

x dy 01x dy

x dy 01 dy11

0dx01

0dx01x1 1I:1,2,1

II12,

s線性表示，下列命題正確的是 若向量組I線性無關，則rs (B)若向量組I線性相關，則rs(C)若向量組II線性無關，則rs (D)若向量組II線性相關，則rs設A為4階實對稱矩陣，且A2AO，若A的秩為3，則A相似 11

0 0 二、填空題：9-14424分，請將答案寫在答題紙指定位置上3階常系數線性微分方程y2yy2y0的通解為y y

x2

函數yln12x在x0處的n階導數yn0= 已知一個長方形的長l2cmsw以3cms的速率增加.

= 三、解答題：15－2394分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證(10分x2xf(x)

(x2

t)et2dt的單調區間與極值(10分0000

的大小，說明理1n記un0lntln1t1n

dtn1,

，求極限limu (17)(11分)yf

x2t由參數方程y

(t1所確定，其中

(t)2(1)

d2y

2

4(1t)，求函 (10分一個高為l的柱體形貯油罐，底面是長軸為2a，短 為2b 圖)，2算油的質量kg/m3(11分f(x,

設函

0a,的值，使等式在變換x

下化簡為 0(10分

r2D

1r2cosdrdDr,|0rsec0 4 (10分f

在閉區間0,1上連續，在開區間0,1內可導，且f(0)=0,f(1)=13證明：存在01 1

f(f()=2， 2 (11分 aA01，b1

1 Axb2求aAxb的通解(11分16 416設A a，正交矩陣Q使得QTAQ為對角矩陣，若Q的第1列

0 2011年入學統一考試數學二試一、選擇題：1~8432分，下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合x0fx

與cxk是等價無窮小，則 k=1,c k=1,c= k=3,c k=3,c=x2fx2fx3已知f

x=0處可導，且f0=0，則

2f

f

f

0函數f(x)ln(x1)(x2)(x3)的駐點個數為 (A) (B) (C) y2yexex(

a(exex

ax(exex

x(aexbex

x2(aexbexf(xg(x)f(0)

f'(0

Zf(x)g(y)在點(0,0)處取得極小值的一個充分條件是

f''(0)

f''(0)

f''(0)0,g''(0)

f''(0)0,g''(0) 000I4lnsinxdxJ4lncotxdxK4lncosxdxI,J,K000

IJ

IK

JI

KJA3A21BB23 0陣，記P 0，

0 1,則A= 1

PP 2 PP 2

設A(,,,)是4階矩陣，A*為A的伴隨矩陣，若(1,0,1,0)T是方程組Ax=0的一個基礎解系，則A*x

2,3,4二、填空題：9~14424分，請將答案寫在指定位置上12x )x 微分方程y'yexcosx滿足條件y(0)0的解為y 曲線yxtantdt(0x)的弧長s ex,x f(x

0,x

0,則xf(x)dx 設平面區域D由直線 圓x2y22y及y軸所組成，則二重積xyd D二次型f(xxxx23x2x22xx2xx2x

f1, 1 1 2 三、解答題：15~2394分.請將解答寫在指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明(10F(x)

limF

試求a的取值范圍(11分

x1t3tyy(x)由參數方程y

3yy(x)yy(x1t3t (9分設函數Zf(xy,yg(x))fgx)x12Zg2Z(10分

y

具有二階導數，且曲線l:yy(x)

相切于原點，記為曲線l(x,yddy

的表達式(10分

1n

ln(11)

成立設a11 1lnn(n1, )，證明數列a收斂 (11分yx2y22yy1)2x2y21y1)2y2xy21 y2xy21 xy(11分f(x,y)f(x,1)0f(xy)dxdya，其DD(xy|0x1,0y1，計算二重積分ID

xyf''(x,y)dxdy

x(11分設向量組10,1)T,0,1,1)T,1,3,5)T，不能由向量組1,1,1)T

334a)T線性表示3a將1,2,3用1,2,3線性表示(11分

1 11 A為三階實對稱矩陣，A的秩為2，即RA2，且A 0 11 2012年入學統一考試數學二試一、選擇題:18小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題x2（1）y

x2

（A） （B） （C） （D）（2）設函數f(x)(ex1)(e2x (enxn),其中n為正整數,則f(0) （A）(1)n1(n

（D）(1)n設an0(n1, )，Sna1a2a3 an，則數列Sn有界是數列an收斂的 設IK

kex2sinxdx(k1,2,3)則有 0I1

I3

I2

I2f(xy)

都有f(xy)0f(xy)0 f(x2,y2)成立的一個充分條件是 （A）x1，y1 （B）x1 ，y1（C）x1，y1 （D）x1 ，y1 (x5y1)dxdyD（A） （D）

， ，y1圍成 2設

0 20, 2

0

,

1

,

,其中c1c2c3

c

c

c

c1

2

3

4 （A）1,2

1,2

（C）1,3

（D）2,3 0設A為3階矩陣，P為3階可逆矩陣，且p1AP 0.若P=（,, 2

(,,)，則Q1AQ

0 0 1

0 0 0 2

2 0 0 0 2

0 （D） 20 01 二、填空題 14小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在指定位置上yyxx2y1ey

d2d2n nn1 22zf

f

xz 微分方程ydx(x3y2)dy0滿足條件 1的解為yyx2xx0

2A3A3A*AAB則BA* fx1xsin

alimfx求a的值x0fxaxkk的值x2求函數f(x,y) 的極值ABxDDx軸旋轉一周所得旋轉體的體積計算二重積分xydDr1cos(0與極軸圍成Df(xf(xf(x2f(x)0f(xf(xf(xyf(x2xf(t2dt的拐點01

1

cosx

,(1x2證明：方程xnxn1 x1（n為大于1的整數）在區間

記（Ⅰ）x，證明limx A 1 A當實數aAx有無窮多解，并求其通解00A

，二次型f(xxxxTATA)x的秩為00 求實數axQyf化為標準形2013年入學統一考試數學二試一、選擇題:1～8432分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合1、設cosx1xsin(x)，(x)，當x0時， （2x高階的無窮x低階的無窮x同階但不等價的無窮x是等價無窮2y

由方程cos(xylnyx1確定，則limnf21（ C.- D.-3f(x)

x x

，F(x)

f(t)dt，則（xFxF

FF

x處連續不可導x處可導 1x(x1)4f(x

f(x)dx收斂，則（ x

xln1

2

05zyf(xyfxzz（x2yf

y2fx

2fx6

D(xy)x2y21位于第kIkyx)dxdy(k1234)，則（I1

I2

I3

I47A、B、CnAB=CB（ 1 08、矩陣 a與 0相似的充分必要條件是（ 1 0 aa

aa

二、填空題：9～14小題,424分.請將答案寫在9lim(2

ln(1x)

1)x x10f(xx

1etdt，則y

xf1yy0 11L的極坐標方程方程為rcos3(L 12、曲線yln1

上對應于t1點處的法線方程 13

e3xxe2x，

exxe2x，

xe2x是某二階常系數 3 2 0， 1的解為y3 214、設A(aij)是3階非零矩陣，A為A的行列式，Aij為aij的代數式，aijAij0(i,j1,2,3)，則A x0時，1cosxcos2xcos3xaxnna1Dyx3xa(a0)x軸所圍成的平面圖形，Vx，VyDxy旋轉一周所得旋轉體的體積，若Vy

，求a的值17（10）設平面區域Dx

，y

，x

Df

在[1,1f(11（Ⅰ）存在0,1f(1（Ⅱ）存在(1,1)，使得f() x3xyy31(x0y0上的點到坐標原點的最長距離和最短距離.20（11）設函數f(xlnxxf

設數列xn滿足lnxn

，證明limxnnLy1x21lnx(1xe LDLx1xexD22（11）1A1

，B11

abCACCAB，并求所有矩陣

設二次型f(xxx2(a

a

ax)2(b

b

bx，記

，b 1 2 3 1 2 3

2

2a bf2TT

3

3 若 正交且均為單位向量，證明f在正交變換下的標準形為2y2 2014年入學統一考試數學二試一、選擇題:1～8432分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合11x0時，若ln12x)(1cosx)x高階的無窮小，則的取值范圍是（（A）(2,

(2

(0,22、下列曲線中有漸近線的是（yxsinyxsinx

yx2sin（D）yx2sinx3f

2g(x)f(0)(1xf(1)x，則在區間[0,1]上（（A）f(x)0f(x)g(x)（B）f(x)0f(x)g(x)f(x0時f(xg(x)f(x0時f(xg(x)4、曲線yt24t

上對應于t1的點處的曲率半徑是（

55f(x)arctanxf(x)

(，則x0

（1

3

2

36、設函數u(xyDD2xy02u2u

0，則（u(x,yDu(x,yDu(x,yDu(x,y)Du(x,yDu(x,y)D0 7、行列 （ （A）(ad （B）(ad（C）a2d2 （D）b2c2a2d8、設1,2,3為3維向量，則對任意1,2,3線性無關的（

，向量組1k3,2l3線性無關是向量二、填空題：9～14小題,424分.請將答案寫在9、1 dx x22x10、設f(x)是周期為4的可導奇函數，且f(x)2(x1),x[0,2]，則f(7) 11zz(x,y是由方程e2yzxy2z7確定的函數，則4

11(,)22.12L的極坐標方程是rL在點(r,.2 131x軸的區間[0,1(xx22x1心坐標x 14f(xxxx2x22axx4x

的負慣性指數為1a的取值范圍 1 2 x1x[t2(et1)lim

x2ln(11xx x2x x2y2x

x2y2y1yy(2)0

D(xy1

2

4x0y0，計算D

f

2zf(excosy

2

2z(4z

xcosy)e2xf(00f(00，求f

f

，g

在區間[ab]f

單調增加，0g( x（I）0ag(t)dtxax[ab]；xbb（II）aag(t)dtf(x)dxbf f(x)

1

x[0,1]f1(x)f(x)，f2(x)

，fn(x)

Sny

x1x軸所圍平面圖形的面積，求極限limnSnnf(x,y)f

fyyy1)22ylnyf(x,y)0y11

設A 1,E為3階單位矩陣120 120ABEB11

1 n階矩陣11

與

2相似 11

n2015年入學統一考試數學二試一、選擇題:1～8432分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合2、函數f(x)=lim(1

)??在內（A）（B）（C）(D)2016年入學統一考試數學二試一、選擇題:1～8432分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合2010年入學統一考試數學二試題答BACDBDADCe2xCcosxCsin y2nn23f 的單調遞減區間為(, [0,1)；f

的單調遞增區間為[1

.f

01(1e1)2（17）t3t2t3(t1)（18）2 3 4 （19）(ab為(22),(2 （20）13

1，a2；

xk

k（23）a1；2011年入學統一考試數學二試題答CBCCABDD2exsinln 2172（15）1a ( 1（16）y 的極小值 ,)凹區間為(,)拐 ( 1 3d2

2x（18）y(x)arcsin 2x4（20）(I)94

278I

a5

1 A 0 0 2012年入學統一考試數學二試題答CDBDDDCB140xy2（或y x（--（15（I）alimfxlim1x1limxsinx

01

x0sin

sin（II）limfxalim1x11limxsinxxsinxx0

x0sin

x0

xsin

sin limxsin x0

xsin

limfxa

x0 fx,y

x2

x22

x

x22

1x2

x2fx,yxe

y 2fx,y

x22

x2

1x2x 2fx,y

x2

1x2y 2fx,y

x22

y2 1 把P1,01 f1,0e2 把P2 f1,0e解析：y1，設切點坐標x, xxylnxoxo又切線過點(0,1

e2y

x切線與x軸交點為Be2,00 A2eye2y1dye0 2 2

V 3

xdx 3

xrcosyrsin，D的極坐標表示是00r1cos， D 411t1t4dt4 （19（I）所以fxfx

代入fxf(x2ex，得到fx（II）yex2xet20y2xex2xet2dt10 y2ex2xet2dt4x2ex2xet2dt2x y(x)0x0 x0y2ex2xet2dt4x2ex2xet2dt2x x0y2ex2xet2dt4x2ex2xet2dt2x 因此(0,y(0))00)fxx

x x

(1x1)1 fxln1xx 1 1

1x

1 2(1x2) f(x) cosx1 cosx11

(1x2

(1x21，又cosx12f(x)0f(xf(0)0x(1,0f(x)0f(xx(0,1f(x)0f(x單點遞增；x(1,1時f(x)f(0)0，1 x

1

cosx

(1x1)2x（21（Ⅰ）fxxnxxf(x)nxn1(n1)xn2 2x10f

在[,2

1又f(1)n10，f(1)11

1

10f(xf

121所 在(,1)上存在零點且唯一，即x2

x1在(,1內只有一個根2（Ⅱ）根 日中值定理，存在點1 f有

f12 21

xn所以0xn2 1 1因為limfxnf2limf2n由定理知lim

n

n （22（I） A1

aa(1)41

01 （Ⅱ）Ax1a0 1

0 1 1 01a0 a 0 1 001 0 1 0 0 a00 0 0 01 00 1aa2 01

a Ax有無窮多解，則有1a40且aa20a 1 此時，方程組Ax的增廣矩陣變為 0 0 11可知導出組的基礎解系為11

， 方程的特解為 00 11故其通解為k （23（1）由二次型的秩為2，知rATA)2，故rA)rATA) 1 1

1 1 1 a a a1 a

1

0rA)2a 2 （2）令BATA 2

EB

(0

(2)0

(2)(6)B10223對于0，解(EBX0得對應的特征向量為1,1 對于22，解(2E

得對應的特征向量為12對于6，解(E2

得對應的特征向量為 1 1 1將,

單位化可得11,

11,

11

3

2

6 1312 113126 61312 1312正交矩陣

1，則QTAQ 6 62 36 36 因此，作正交變換xQy，二次型的標準形為f(x)xT(ATA)xyTAy 2013年入學統一考試數學二試題答CACDABBB1e11yxln24ye3xex-lim1cosxcos2xcos

lim3cos6xcos4xlim

4an(nn20，即n2時，上式極限存在.n2時，由題意得lim1cosxcos2xan2,a

根據題意，Vx7a7Va2xx3dx6x

767 a677 7

0 7因Vy10Vx7

a3

a3ay

x

y1

x

xy8

y6，

y x 26 x2dxdy2dx3xx2dy6 x 26

2 (8x31x4

（18（Ⅰ）

在[1,1f(0)F(x

，則F

[0,1]上連續，在(0,1)上可導，且

F(0)f(000.由羅爾定理，存在0,1F()0f()1（Ⅱ）f(xf(x1exf(xf(x))exexf(x))[exf(x)ex]g(x)exf(xexf

f

是偶函數，由（）的結論可知，f()

，g()

.由羅爾定理可知，存在(1,1)g()0即f() x2（19）M(x,x2構 日函

Fx2y2(x3xyy3F2x(3x2y) x由F2y(3y2x0得 yFx3xyy31122點(1,1)到原點的距離為d 1222 2（20（Ⅰ）f(xlnx1x0

f(x)1

xxf(x)0x

當0x1f(x)0x1f(x)0x1f(xf(11n（Ⅱ）由（Ⅰ）知lnx11，又由已知lnxn

111xnxn故數列xn單調遞增

x又由lnxnx

，故lnxn1

，所以數列xn有上界n所以limxn在lnxn在lnxn

lnA1AlnA1A所以lnA11A1即lim

n（21（Ⅰ）S

1(y)2dx

1(1x1)2dx

1(1x1)2dx

12 x 12e e

e

1

x

)dx

x2

lnx)

1x21ln1dx 1

1

1lne12x 0 e121e1e

1x21lndx

(1

1ln

1 1e4

1(e21e21)

42e23)(e37) 由題意可知矩陣C為2階矩陣，故可設C x2.由ACCAB可 x 4

x2ax3 a

1 1

axaax 2

0

b b

xxx

4

4

00a00010110a1 0 0010110a000a010b000b000b 方程組有解，故a10b0，即a1b a1b0

x31,

，代入相 方程組，得x21令x30, 方程組，得x20故11,10)T100,1)Tx

xk

k

(k

1,k,k,

)T（k

所以Ck1k2

1 2 1 k1. k2（23（Ⅰf(x,x,x)2(axaxax)2(bxbxbx 1 2 3 1 2 3 2(x,x,x)a(a,a,a)x(x,x,x)b(b,b,b)x 32 32 32 32a x b x3 3 3 3xxx)(2TTxxTAxA2T

2x3所以二次型f2TT（Ⅱ）由于 正交，故TT因,均為單位向量，故 1，即T1.同理TA2TTA(2TT)2TT由于0A122A2TT)0A2又因為rAr(2TTr(2Tr(T)r(Tr(T)1123，所以A030. A2，1，0.因此，f2y2y2 2014年入學統一考試數學二試題答BCCCDABA3811(dxdy)y2x

lim

(t2(et1)

lim

(t2(et1) x2(ex1)

limx2(ex11

x2ln(11

x2

et1 et 令

1 x t2 x 1x2y2y'1y1y'y2(y21)dy(1x2積分得y21)dy(1x21y3yx1x3 又y(2)0c31y3yx1x3 1令y' 0,得xy2x(1)時y0,函數單調遞減由函數方程解得：y(1)0,y(1)1Dyxx x2x x2y2xy x2y2x

x x x2y21

y

x2y22212D

x xx2y22212dsin(r)rdr1rdcos(2222 421rcos(r)|2

cos(r)d 11

4令uexcosz

f(u)ecosy,x

f(u)e2xcos2yf(u)

cosz

f(u)

(sin

2z

f(u)

y

(u)

cos2

2

(4z

cosf(u)e2xcos2yf(u)e2xsin2y[4f(u)即f(u4f(u對應的微分方程的特征方程為：r24 微分方程的通解為：f(u)Ce2uC 設f(u)aub，則f(u)a, (u)0a1b0f*(u)1 f(uCe2xCe2x1 所以f(u2Ce2u2Ce2u1,f(u4Ce2u4C f(0)0f(0)0

1,

f(u)

1e2x1e2x1 （19（I）gx在區間[ab上連續，且0g(x)1 x0ag(t)dtxx （II）F(xxf(u)g(u)duaag(t)dtf F'(x)

f(