會計學1DSP數字濾波器基本結構三、IIRDF基本結構IIRDF類型有：直接型、級聯型、并聯型。直接型結構：直接I型、直接II型（正準型、典范型）。1、直接型

1）直接I型

IIRDF的差分方程就代表了一種最直接的計算公式，用流圖表現出來的實現結構即為直接I型結構（即由差分方程直接實現。）第1頁/共84頁

(a)直接I型流圖x(n)b0b1b2Z-1Z-1y(n)a1a2Z-1Z-1bMZ-1aN-1aNZ-1Z-1方程看出：y(n)由兩部分組成：第一部分是一個對輸入x(n)的M節延時鏈結構。即每個延時抽頭后加權相加，即是一個橫向網絡。第二部分是一個N節延時鏈結構網絡。不過它是對y(n)延時，因而是個反饋網絡。第2頁/共84頁(b)結構的特點此結構的特點為：(1)兩個網絡級聯：第一個橫向結構M節延時網絡實現零點，第二個有反饋的N節延時網絡實現極點。簡單直觀。(2)共需(N+M)級延時單元。(3)系數ai,bi不是直接決定單個零極點，因而不能很好地進行濾波器性能控制。(4)極點對系數的變化過于靈敏，從而使系統頻率響應對系統變化過于靈敏，也就是對有限精度（有限字長）運算過于靈敏，容易出現不穩定或產生較大誤差。x(n)b0b1b2Z-1Z-1y(n)a1a2Z-1Z-1bMZ-1aN-1aNZ-1Z-1第3頁/共84頁2)、直接II型（正準型/典范型）

（a)直接II型原理

從上面直接型結構的兩部分看成兩個獨立的網絡（即兩個子系統）。原理：一個線性時不變系統，若交換其級聯子系統的次序，系統函數不變。把此原理應用于直接I型結構。即：（1）交換兩個級聯網絡的次序（2）合并兩個具有相同輸入的延時支路。得到另一種結構即直接II型。x(n)b0b1b2Z-1Z-1y(n)a1a2Z-1Z-1bMZ-1aN-1aNZ-1Z-1第一部分第二部分對調第4頁/共84頁(b)直接II型的結構流圖過程1--對調x(n)b0b1b2Z-1Z-1y(n)a1a2Z-1Z-1bMZ-1aN-1aNZ-1Z-1第一部分第二部分對調x(n)y(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2Z-1Z-1bMZ-1Z-1對調第5頁/共84頁(c)直接II型的結構流圖過程2--合并x(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2Z-1Z-1bMZ-1合并x(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2bMy(n)y(n)由于對調后前后兩路都有一條內容完全相同的延時鏈，可以合并為一條即可。這就是直接II型的結構流圖。第6頁/共84頁(d)直接II型特點直接II型結構特點：(1)兩個網絡級聯。第一個有反饋的N節延時網絡實現極點；第二個橫向結構M節延時網絡實現零點。(2)實現N階濾波器（一般N>=M)只需N級延時單元，所需延時單元最少。故稱典范型。(3)同直接I型一樣，具有直接型實現的一般缺點。x(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2bMy(n)第7頁/共84頁例子已知IIRDF系統函數，畫出直接I型、直接II型的結構流圖。解：為了得到直接I、II型結構，必須將H(z)代為Z-1的有理式；x(n)8-411Z-1Z-1y(n)5/4-3/4Z-1Z-1Z-11/8Z-1-25/4Z-1Z-1Z-1-3/41/8-411-28y(n)x(n)注意反饋部分系數符號第8頁/共84頁作業第9頁/共84頁直接I型直接II型第10頁/共84頁2、級聯型結構

(1)系統函數因式分解一個N階系統函數可用它的零、極點來表示即系統函數的分子、分母進行因式分解：第11頁/共84頁(2)系統函數系數分析第12頁/共84頁(3)基本二階節的級聯結構第13頁/共84頁(4)濾波器的基本二階節所以，濾波器就可以用若干個二階網絡級聯起來構成。這每一個二階網絡也稱濾波器的基本二階節（即濾波器的二階節）。一個基本二階節的系統函數的形式為：一般用直接II型（正準型、典范型表示）x(n)β1ka2kZ-1Z-1a1kβ2ky(n)第14頁/共84頁(5)用二階節級聯表示的濾波器系統整個濾波器則是多個二階節級聯x(n)β11a21Z-1Z-1a11β21β12a22Z-1Z-1a12β22β1Ma2MZ-1Z-1a1Mβ2My(n)…...從級聯結構中看出：a)它的每一個基本節只關系到濾波器的某一對極點和一對零點。b)調整β1i,β2i,只單獨調整濾波器第i對零點，而不影響其它零點。調整a1i,a2i,……只單獨調整濾波器第i對極點，而不影響其它極點。第15頁/共84頁級聯結構特點：(a)每個二階節系數單獨控制一對零點或一對極點，有利于控制頻率響應。(b)同一個系統函數H(Z)，分子分母中二階因子配合成基本二階節的方式，以及各二階節的排列次序不同，就得到不同的二階節。實際工作時，由于二進制數的字長有一定限度，因此不同的排列，運算誤差就會各不相同。如何才能得到最好的排列，以便運算誤差最小，這是最優化問題。(c)級聯的各基本節間要有電平的放大或縮小，以使級間輸出變量不要太大或太小。級間輸出變量大大，易使數字濾波器在運算過程中產生溢出。級間輸出變量大小，則輸出端的信號噪聲比會太小。x(n)β11a21Z-1Z-1a11β21β12a22Z-1Z-1a12β22β1Ma2MZ-1Z-1a1Mβ2My(n)…...第16頁/共84頁例子:設IIR數字濾波器系統函數為：1Z-1111Z-1Z-111y(n)x(n)第17頁/共84頁3、并聯型

(1)系統函數的部分分式展開將系統函數展成部分分式的形式：用并聯的方式實現DF。“相加”在電路中實現用并聯。如果遇到某一系數為復數，那么一定有另一個為共軛復數，將它們合并為二階實數的部分分式。第18頁/共84頁(2)并聯型基本二階節結構并聯型的基本二階節的形式：其中：要求分子比分母小一階x(n)γ0kβ2kZ-1Z-1β1kγ1ky(n)注意！(1)為什么二階節是最基本的？因為二階節是實系數，而一階節一般為復系數。(2)統一用二階節表示，保持結構上的一致性，有利于時分多路復用。(3)級聯結構與并聯結構的基本二階節是不同的。第19頁/共84頁(3)基本二階節的并聯結構AN1Z-1a1x(n)aN1β11Z-1Z-1A1γ

11y(n)A0...γ01β21β1N2β2N2γ

0N2γ

1N2其實現結構為：...特點：(1)可以單獨調整極點位置，但不能象級聯那樣直接控制零點(因為只為各二階節網絡的零點，并非整個系統函數的零點)。(2)其誤差最小。因為并聯型各基本節的誤差互不影響，所以比級聯誤差還少。若某一支路a1誤差為1％，但總系統的誤差仍可達到少1％。(因為分成a1,a2…...支路).第20頁/共84頁（5）例子其并聯結構為：x(n)Z-1Z-114y(n)161-61Z-1第21頁/共84頁作業第22頁/共84頁本節總結IIRDR的三種結構及其優缺點一、直接型二、級聯型三、并聯型第23頁/共84頁一、直接I結構的特點此結構的特點為：(1)兩個網絡級聯：第一個橫向結構M節延時網絡實現零點，第二個有反饋的N節延時網絡實現極點。簡單直觀。(2)共需(N+M)級延時單元。(3)系數ai,bi不是直接決定單個零極點，因而不能很好地進行濾波器性能控制。(4)極點對系數的變化過于靈敏，從而使系統頻率響應對系統變化過于靈敏，也就是對有限精度（有限字長）運算過于靈敏，容易出現不穩定或產生較大誤差。x(n)b0b1b2Z-1Z-1y(n)a1a2Z-1Z-1bMZ-1aN-1aNZ-1Z-1第24頁/共84頁級聯結構特點：(a)每個二階節系數單獨控制一對零點或一對極點，有利于控制頻率響應。(b)同一個系統函數H(Z)，分子分母中二階因子配合成基本二階節的方式，以及各二階節的排列次序不同，就得到不同的二階節。實際工作時，由于二進制數的字長有一定限度，因此不同的排列，運算誤差就會各不相同。如何才能得到最好的排列，以便運算誤差最小，這是最優化問題。(c)級聯的各基本節間要有電平的放大或縮小，以使級間輸出變量不要太大或太小。級間輸出變量大大，易使數字濾波器在運算過程中產生溢出。級間輸出變量大小，則輸出端的信號噪聲比會太小。x(n)β11a21Z-1Z-1a11β21β12a22Z-1Z-1a12β22β1Ma2MZ-1Z-1a1Mβ2My(n)…...二、級聯型第25頁/共84頁三、并聯結構AN1Z-1a1x(n)aN1β11Z-1Z-1A1γ

11y(n)A0...γ01β21β1N2β2N2γ

0N2γ

1N2其實現結構為：...特點：(1)可以單獨調整極點位置，但不能象級聯那樣直接控制零點(因為只為各二階節網絡的零點，并非整個系統函數的零點)。(2)其誤差最小。因為并聯型各基本節的誤差互不影響，所以比級聯誤差還少。若某一支路a1誤差為1％，但總系統的誤差仍可達到少1％。(因為分成a1,a2…...支路).第26頁/共84頁一、FIRDF的特點(1)系統的單位沖激響應h(n)在有限個n值處不為零。即h(n)是個有限長序列。(2)系統函數|H(z)|在|z|>0處收斂，極點全部在z=0處(即FIR一定為穩定系統)(3)結構上主要是非遞歸結構，沒有輸出到輸入反饋。但有些結構中（例如頻率抽樣結構）也包含有反饋的遞歸部分。第三節FIRDF的結構

（有限長沖激響應濾波器）第27頁/共84頁二、FIR的系統函數及差分方程長度為N的單位沖激響應h(n)的系統函數為：第28頁/共84頁三、FIR濾波器實現基本結構1.FIR的橫截型結構（直接型）2.FIR的級聯型結構3.FIR的頻率抽樣型結構1、FIR直接型結構（卷積型、橫截型）

(1)流圖h(0)h(1)h(2)h(N-2)h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)倒下x(n)h(0)h(1)h(N-2)h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1y(n)第29頁/共84頁2、級聯型結構

（1）流圖當需要控制濾波器的傳輸零點時，可將H(z)系統函數分解成二階實系數因子的形式：即可以由多個二階節級聯實現，每個二階節用橫截型結構實現。x(n)β11Z-1Z-1β21β12Z-1Z-1β22β1N/2Z-1Z-1β2N/2y(n)…...β01β02β0N/211）由于這種結構的每一節控制一對零點，因而只能在需要控制傳輸零點時用。2）由于這種結構所需的系數比直接型多，所需乘法運算也比直接型多，很少用。第30頁/共84頁作業第31頁/共84頁3、頻率抽樣型結構

(1)頻率抽樣型結構的導入若FIRDF的沖激響應為有限長（N點）序列h(n),則有：h(n)H(z)H(k)H(ejw)DFT取主值序列N等分抽樣單位圓上頻響Z變換內插所以，對h(n)可以利用DFT得到H(k)，再利用內插公式：來表示系統函數。第32頁/共84頁（2）頻率抽樣型濾波器結構得到FIR濾波器提供另一種結構：頻率抽樣型結構。它是由兩部分級聯而成。其中：級聯中的第一部分為梳狀濾波器：第二部分由N個諧振器組成的諧振柜：第33頁/共84頁(3)梳狀濾波器

(a)零、極點特性它是一個由N節延時單元所組成的梳狀濾波器。它在單位圓上有N個等分的零點、無極點。第34頁/共84頁(b)幅頻特性及流圖頻率響應為：w|H(ejw)|0…...…...幅頻曲線：1x(n)y(n)-Z-N梳狀濾波器信號流圖：第35頁/共84頁（4）諧振器諧振器：是一個階網絡。Z-1H(k)Hk(z)諧振器的零極點：此為一階網絡，有一極點：第36頁/共84頁(5)諧振柜諧振柜：它是由N個諧振器并聯而成的。這個諧振柜的極點正好與梳狀濾波器的一個零點（i=k)相抵消，從而使這個頻率（w=2πk/N)上的頻率響應等于H(k).將兩部分級聯起來，得到頻率抽樣結構。第37頁/共84頁（6）頻率抽樣型結構流圖Z-1H(0)Z-1H(1)Z-1H(2)Z-1H(N-1)-Z-Nx(n)y(n)...優點：(1)它的系數H(k)直接就是濾波器在處的頻率響應。因此，控制濾波器的頻率響應是很直接的。結構有兩個主要缺點：(a)所有的相乘系數及H(k)都是復數，應將它們先化成二階的實數，這樣乘起來較復雜，增加乘法次數，存儲量。(b)所有諧振器的極點都是在單位園上,由決定。考慮到系數量化的影響，當系數量化時，極點會移動，有些極點就不能被梳狀濾波器的零點所抵消。（零點由延時單元決定，不受量化的影響）系統就不穩定了。優點：2）只要h(n)相同長度，對于任何頻響形狀，其梳狀濾波器部分和N各一節網絡部分結構完全相同，只有各支路增益H（k)不同第38頁/共84頁（7）修正的頻率抽樣結構

（a）產生的原因為了克服系數量化后可能不穩定的缺點，將頻率抽樣結構做一點修正。即將所有零極點都移到單位園內某一靠近單位圓、半徑為r(r≤1)的園上，同時梳狀濾波器的零點也移到r圓上。（即將頻率采樣由單位圓移到修正半徑r的圓上）第39頁/共84頁(b)修正的頻率抽樣結構的系統函數為了使系數是實數，可將共軛根合并，這些共軛根在半徑為r的圓周上以實軸成對稱分布。第40頁/共84頁(c)修正的頻率抽樣結構的系統極點分布0|z|=rN=8第41頁/共84頁(d)修正頻率結構的復根部分：

第k和第N-k個諧振器合并為一個實系數的二階網絡因為h(n)是實數，它的DFT也是圓周共軛對稱的。因此，可以將第k和第N-k個諧振器合并為一個二階網絡。第42頁/共84頁(e)有限Q的諧振器第k和第N-k個諧振器合并為一個二階網絡的極點在單位圓內，而不是在單位圓上，因而從頻率響應的幾何解釋可知，它相當于一個有限Q的諧振器。其諧振頻率為：第43頁/共84頁(f)修正頻率抽樣結構的諧振器的實根部分除了共軛復根外，還有實根。當N=偶數時，有一對實根，它們分別為兩點。當N=奇數時，只有一個實根z=r(k=0），即只有H0(z).r-r第44頁/共84頁(g)修正頻率抽樣結構流圖（N=偶數）r-rx(n)y(n)...第45頁/共84頁(h)修正頻率抽樣結構流圖（N=奇數）rx(n)y(n)...第46頁/共84頁(i)修正頻率抽樣結構的特點（1）結構有遞歸型部分諧振柜又有非遞歸部分--梳狀濾波器。（2）它的零、極點數目只取決于單位抽樣響應的長度，因而單位沖激響應長度相同，利用同一梳狀濾波器、同一結構而只有加權系數β0k,β1k,H(0),H(N/2)不同的諧振器，就能得到各種不同的濾波器（3）其結構可以高度模塊化，適用于時分復用。第47頁/共84頁(j)頻率抽樣結構的應用范圍(1)如果多數頻率特性的采樣值H(k)為零，例：窄帶低通情況下，這時諧振器中剩下少數幾個所需要的諧振器，因而可以比直接型少用乘法器，但存儲器還是比直接型多用一些。（2）可以共同使用多個并列的濾波器。例：信號頻譜分析中，要求同時將信號的各種頻率分量分別濾出來，這時可采用頻率采樣結構的濾波器，大家共用一個梳狀濾波器及諧振柜，只是將各諧振器的輸出適當加權組合就能組成各所需的濾波器。這樣結構具有很大的經濟性。（3）常用于窄帶濾波，不適于寬帶濾波。第48頁/共84頁4.快速卷積結構

（1）原理設FIRDF的單位沖激響應h(n)的非零值長度為M，輸入x(n)的非零值長度為N。則輸出y(n)=x(n)*h(n),且長度L=N+M-1若將x(n)補零加長至L，補L-N個零點，將h(n)補零加長至L，補L-M個零點。這樣進行L點圓周卷積，可代替x(n)*h(n)線卷積。其中：而由圓卷積可用DFT和IDFT來計算，即可得到FIR的快速卷積結構。第49頁/共84頁（2）快速卷積結構框圖L點DFTL點DFTL點IDFTX(k)H(k)Y(k)x(n)h(n)當N，M中夠大時，比直接計算線性卷積快多了。第50頁/共84頁5、線性相位FIR型結構

（1）定義所謂線性相位：是指濾波器產生的相移與輸入信號頻率成線性關系。第51頁/共84頁（2）線性相位FIRDF具有特性h(n)是因果的，為實數，且滿足對稱性。即滿足約束條件：h(n)=±h(N-1-n)其中:h(n)為偶對稱時，h(n)=h(N-1-n);h(n)為奇對稱時，h(n)=-h(N-1-n);下面我們針對h(n)奇、偶進行討論。第52頁/共84頁（3）h(n)為偶、奇對稱，N=偶數時

(a)FIR的線性相位的特性令n’=N-1-n代入用n=n’應用線性FIR特性：h(n)=h(N-1-n)第53頁/共84頁(b)線性相位FIR的結構流圖Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)x(n-N/2+1)h(0)h(1)h(2)h(3)h(N/2-1)…….h(N-1)其中h(0)=h(N-1),h(2)=h(N-2)………….Z-1Z-1Z-1Z-1第54頁/共84頁（4）h(n)為奇、偶對稱，N=奇數時

(a)FIR的線性相位的特性當N=奇數時，有一中間項h((N-1)/2)無法合并，需提出：第55頁/共84頁(b)線性相位FIR的結構流圖Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)h(0)h(1)h(2)h(3)…….h(N-1)其中h(0)=h(N-1),h(2)=h(N-2)……,h((N-3)/2)=h((N-1)/2共有（N-3）/2項Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1第56頁/共84頁（5）總結：h(n)為偶對稱，N=奇、偶數時FIR的線性相位的特性同理，當h(n)=偶對稱時，即h(n)=h(N-1-n),可求出:N=奇數時，第57頁/共84頁（6）h(n)為奇對稱，N=奇、偶數時FIR的線性相位的特性同理，當h(n)=奇對稱時，即h(n)=-h(N-1-n),可求出:N=奇數時，第58頁/共84頁總結本章主要的內容1.IIR濾波器實現的基本結構2.FIR濾波器實現的基本結構3.一種特殊的濾波器結構實現形式：格型濾波器結構.第59頁/共84頁1.IIRDF基本結構IIRDF類型有：直接型直接型結構：直接I型、直接II型（正準型、典范型）級聯型并聯型第60頁/共84頁直接I型

直接I型流圖IIRDF的差分方程就代表了一種最直接的計算公式，用流圖表現出來的實現結構即為直接I型結構（即由差分方程直接實現。）x(n)b0b1b2Z-1Z-1y(n)a1a2Z-1Z-1bMZ-1aN-1aNZ-1Z-1方程看出：y(n)由兩部分組成：第一部分是一個對輸入x(n)的M節延時鏈結構。即每個延時抽頭后加權相加，即是一個橫向網絡。第二部分是一個N節延時鏈結構網絡。不過它是對y(n)延時，因而是個反饋網絡。第61頁/共84頁直接II型的結構流圖x(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2bMy(n)

由于對調后前后兩路都有一條內容完全相同的延時鏈，可以合并為一條即可。這就是直接II型的結構流圖。第62頁/共84頁級聯型第63頁/共84頁級聯型的基本二階節所以，濾波器就可以用若干個二階網絡級聯起來構成。這每一個二階網絡也稱濾波器的基本二階節（即濾波器的二階節）。一個基本二階節的系統函數的形式為：一般用直接II型（正準型、典范型表示）x(n)β1ia2iZ-1Z-1a1iβ2iy(n)第64頁/共84頁級聯型二階節表示的濾波器系統整個濾波器則是多個二階節級聯x(n)β11a21Z-1Z-1a11β21β12a22Z-1Z-1a12β22β1Ma2MZ-1Z-1a1Mβ2My(n)…...第65頁/共84頁并聯型將系統函數展成部分分式的形式：用并聯的方式實現DF。“相加”在電路中實現用并聯。如果遇到某一系數為復數，那么一定有另一個為共軛復數，將它們合并為二階實數的部分分式。第66頁/共84頁并聯型基本二階節結構并聯型的基本二階節的形式：其中：要求分子比分母小一階x(n)β0a2Z-1Z-1a1β1y(n)第67頁/共84頁二、FIR濾波器長度為N的單位沖激響應h(n)的系統函數為：第68頁/共84頁FIR濾波器實現基本結構（1）FIR的橫截型結構（直接型）（2）FIR的級聯型結構（3）FIR的線性型結構（4）FIR的頻率抽樣型結構（5）FIR的軌跡卷積型結構第69頁/共84頁1.FIR直接型結構

（卷積型、橫截型）h(0)h(1)h(2)h(N-1)h(N)Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)倒下h(0)h(1)h(N-1)h(N)Z-1Z-1Z-1Z-1y(n)x(n)第70頁/共84頁2.級聯型結構當需要控制濾波器的傳輸零點時，可將H(z)系統函數分解成二階實系數因子的形成：即可以由多個二階節級聯實現，每個二階節用橫截型結構實現。x(n)