光電信息物理基礎第一頁，共六十二頁，2022年，8月28日信息傳輸（通訊與通信）：類似人的神經系統，負責；信息傳送，屬于通訊領域。通訊：有線（電纜），無線（電磁波），有線光通訊，無線光通訊信息處理（計算機技術）類似人的大腦系統，負責對信息的綜合處理，由計算機處理。2）如何產生信息、如何傳輸信息、如何采集信息、如何處理信息均要深刻理解其物理原理和本質，其主要涉及的內容？2.為什么學習信息物理基礎？3.怎么學習信息物理基礎？科學與技術理論與實踐第二頁，共六十二頁，2022年，8月28日第1章數學基礎

§1.1矢量代數和矢量函數1.矢量

需用量值表示其大小，又需要指明方向的量，叫矢量，例如力、速度、加速度、動量、角動量等都是矢量。

需用數值和單位(合稱量值)表示其大小的量，叫標量，如長度、時間、質量、溫度、能量等都是標量

用帶箭頭的字母(例如、等)或黑斜體字母(如A、D等)表示矢量。矢量的大小又稱矢量的模，并用，表示。第三頁，共六十二頁，2022年，8月28日2.矢量加減運算

加法服從交換律服從結合律

第四頁，共六十二頁，2022年，8月28日3單位矢量和分矢量:大小為1的矢量

坐標軸方向的單位矢量

單位矢量表示為。

常矢和變矢大小和方向都保持不變的矢量稱

任一矢量可以分解為幾個矢量，它們的和就是這個矢量。特別是可以分解為沿坐標軸的互相垂直的分量

第五頁，共六十二頁，2022年，8月28日其中是矢量和矢量的夾角。若將矢量和矢量用直角坐標系方法表示，則有

標量積滿足交換律和結合律4兩矢量的標量積第六頁，共六十二頁，2022年，8月28日它的大小等于

不服從交換律，但滿足結合律直角坐標系方法表示，則有

其方向垂直于兩矢量所決定的平面，并且滿足右手螺旋定則

5兩矢量的矢量積第七頁，共六十二頁，2022年，8月28日有三種形式

所謂三重標量積

它表示要先求矢量積，然后求標量積，其結果為一個標量，即為平行六面體的體積

6三矢量相乘第八頁，共六十二頁，2022年，8月28日§1.2場、梯度、散度和旋度

1.場的摡念 如果在全部空間或部分空間里的每一個點,都對應著某個物理量的一個確定的值,就說在這個空間里確定了該物理量的一個場。場分類(1)標量場(2)矢量場(1)穩定場(2)不穩定場溫度場電勢場電場磁場第九頁，共六十二頁，2022年，8月28日只有確定數值的標量可以是空間坐標（如直角坐標系中的x、y、z）和時間t的函數，我們稱為標量函數。有確定方向的物理量的矢量，一般都是一個或幾個（標量）變量的函數，稱為矢量函數一個矢量函數對應三個標量函數

標量函數與矢量函數

第十頁，共六十二頁，2022年，8月28日的物理狀態與時間無關

矢量和矢量場的不變特性

矢量函數對時間和空間坐標變量的微分，仍然是個矢量

靜態場動態場靜態場動態場或時變場第十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日為了形象地描述矢量場在空間的分布狀態，引入矢量線概念。矢量線上的每一點的切線方向都代表該點的矢量場方向。矢量場中的每一點均有唯一的一條矢量線通過。所以矢量線充滿了整個矢量所在空間。

任一點的切向長度元與該點矢量場的方向平行

電力線、磁力線就是電場和磁場中的矢量線

矢量線第十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日直角坐標系中：

=0這就是矢量線的微分方程，求得它的通解可繪出矢量線。

第十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日標量場中，分布于各點的物理量是其空間坐標的單值函數，即：2.標量場的方向導數和梯度定義:設為標量場u中的一點,從點出發引一條射線L,在點的鄰近取一點,記若當時,的極限存在,則稱此極限為函數在處沿方向L的方向導數標量場方向導數第十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日其中:有兩種函數u沿直線的方向導數函數u沿曲線的方向導數方向導數實質:函數U(m)在給定點處沿某個方向的變化率，可見標量場在此點沿不同的方向具有不同的方向導數。方向導數計算為該點的偏導數為L方向的方向余弦第十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日定義:若在標量場u中一點M處，存在一個矢量,且滿足如下兩個條件：方向:為u在M點變化率最大方向；模:為u在M點最大變化率的數值,則稱為標量場u在M點處的梯度.梯度在直角坐標系中表達式引進矢量微分算子則梯度為：標量場梯度gradU（矢量）第十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日梯度運算基本公式C為常量第十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日1）面積矢量定義定義：面積矢量是大小等于該面元的面積，方向和該面元的外法線方向一致。面積矢量直角坐標系下的表達式：面積矢量直角坐標系下的表達式證明過程：3矢量場的通量和散度第十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日矢量A沿任一有向曲面S的面積分,叫做矢量場穿過曲面S的通量通量在直角坐標系中表示法：2）通量定義、表達式、證明過程矢量A在閉合曲面S的通量通量在直角坐標系中表示法的證明過程：第十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日3）封閉曲面通量的物理意義封閉曲面內有源封閉曲面內有負源封閉曲面內無源封閉曲面通量的缺點：是一個整體的描述，不能描述內部源的分布情況，如何描述內部的分布？第二十頁，共六十二頁，2022年，8月28日高斯公式：高斯公式作用：封閉曲面積分轉換為體積分散度直角坐標系表示法:表示法證明：定義：設有矢量場A,于場中任一點m的某個鄰域內作一包含點m在內的任一閉曲面△s,設其包圍的空間區域為△Ω,以△v表示其體積，以△Ψ表示從其內部穿出S的通量,若當△Ω以任意方式縮向m點時,比式的極限存在,則稱此極限為矢量場在m點處的散度,記為:4）散度定義(divA)（標量）、表達式、證明過程第二十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日7）散度實質：表示矢量場中某一點的通量對體積的變化率，即通量體密度，表示該點作為場源的強度5）散度矢量微分算子表示法:第二十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日8）散度運算基本公式第二十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日高斯散度定理任一矢量場的散度的體積分等于該矢量場穿過該限定體積的閉合面的總通量。第二十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日1）環量定義4矢量場的環量、環量面密度和旋度定義：設有矢量場A,則沿場中任一有向封閉曲線L的曲線積分,叫做此矢量A沿L曲線的環量。L表達方法：2）環量直角坐標系中表示方法第二十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日3）環量直角坐標系表示方法證明：為L的切向矢量n的方向余弦4）環量的物理意義是一個整體的描述，不能描述內部源的分布情況，如何描述內部的分布？第二十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日5）環量面密度定義定義:取矢量場中一點xo,在該點取定方向n，并過該點作一微小曲面，其方向為n，取△L的方向為△

S按右手螺旋定則，其矢量場環量與面積△

S

的比值。6）直角坐標系環量面密度計算公式X0n△

S

的方向余旋第二十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日8）環量面密度行列式表示7）直角坐標系環量面密度計算公式的證明過程斯特克斯公式中值定理第二十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日若矢量場A中一點M處存在一個矢量,且該矢量滿足：1.方向：為此點環量面密度最大方向;2.大小:等于此點最大環量面密度值,則該矢量稱為矢量場M點的旋度。10)旋度(rotA)11）旋度直角坐標系表示法9）環量面密度的物理意義：雖能夠描述各場點的源強度，但必須指定一個方向，方向導數一樣，如何辦？第二十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日12)旋度矢量微分算子表示法:旋度在任一方向上投影等于該方向的環量面密度13)旋度和環量面密度：14)旋度運算基本公式第三十頁，共六十二頁，2022年，8月28日斯托克斯定理數學描述矢量場旋度的面積分，等于該矢量沿包圍此曲面的閉合路徑的線積分。它同散度定理一樣，是場論中的重要定理

第三十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日5亥姆霍茲定理

（1）兩個零恒等式亥姆霍茲定理就是對矢量場性質的總結說明

恒等式I的逆定理也成立，即：如果一個矢量的旋度為零，則該矢量可以表示為一個標量場的梯度。物理意義：任何標量場的梯度的旋度恒等于零

第三十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日將逆定理應用于電磁場理論中，可以引入輔助位函數

式中負號表明矢量沿減小的方向

可引入標量電位函數

例子：靜電場無旋場定義

矢量場所在的全部空間中，場的旋度處處為零。

無旋場不可能存在旋渦源

第三十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日無旋場特點：同時也是位場、保守場

圖1.2.2位場的線積分

P1P2C1C2證明：由斯托克斯定理第三十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日恒等式Ⅱ與無散場恒等式Ⅱ的逆定理是：如果一個矢量場的散度為零，則它可表示為另一個矢量的旋度。物理意義：任何矢量場旋度的散度恒等于零。

例如恒定磁場，因，可引入矢量磁位，令

該定理應用于電磁場研究中，可引入輔助矢量位（即矢勢），有利于場矢量的求解。

第三十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日無散場穿過任何閉合曲面的通量都等于零，即：

如果矢量場所在的全部空間中，場的散度處處為零，即，則這種場中不可能存在通量源，因而稱之為無散場，或無源場

無散場定義：無散場特點：第三十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日例

已知

(1)如果是無旋的，試確定常數；

(2)將代入，判斷F能否表示為一個矢量的旋度解(1)因為

第三十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日c1=0，c2=3，c3=2。

(2)只有當，才可使因此計算可見不能表示為一個矢量的旋度，本題中屬有源無旋場。第三十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日亥姆霍茲定理可以證明，在有限的區域V內，任一矢量場由它的散度、旋度和邊界條件（即限定區域V的閉合曲面S上的矢量場的分布）唯一的確定，這就是亥姆霍茲定理。亥姆霍茲定理的理解亥姆霍茲定理的數學理解亥姆霍茲定理的物理理解無旋場的散度不恒等于零

第三十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日總結：2矢量場描述1）矢量線1）矢量線2）環量：描述橫場場源3）環量面密度4）旋度rotA：描述橫場場源強度

橫場（靜磁場強度為例）

橫場處處散度為零，無散場縱場處處旋度為零，無旋場1標量場描述（溫度場為例）1）等值面（等值線）2）方向導數3）梯度縱場（靜電場強度為例）2）通量：描述縱場場源3）通量體密度散度divA：描述縱場場源強度

第四十頁，共六十二頁，2022年，8月28日§1.3哈密頓算子▽1哈密頓算子▽

3哈密頓算子常見公式2拉普拉斯算子▽2

在運算中具有矢性和微分雙重特性2周第四十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日第四十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日第四十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日算符性質證明例子1：證：微分性質：矢量性質：第四十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日算符性質證明例子2：

：證：微分性質：矢量性質：第四十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日XZYrr‘R第四十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日第四十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日高斯公式斯特克斯公式格林公式第四十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日例題：計算下列各式的值，其中為常矢量,求：解：(1)(2)第四十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日求，其中為常矢量。

而

解：

第五十頁，共六十二頁，2022年，8月28日

§1.4正交曲線坐標系

1曲線坐標：空間每個點的位置也可由在此相交的三個曲面的標識值唯一