會計學1常微分方程在數學建模中應用第一節常微分方程的基本概念與分離變量法

第二節一階線性微分方程與可降階的高階微分方程

第三節二階常系數線性微分方程

第1頁/共52頁第一節常微分方程的基本概念與分離變量法

一、微分方程的基本概念1.微分方程含有未知函數的導數或微分的方程稱為微分方程。注：在微分方程中，如果未知函數是一元函數，則方程稱為常微分方程，簡稱微分方程。2.微分方程的階微分方程中所出現的未知函數導數的最高階數稱為微分方程的階.第2頁/共52頁一般地，n階微分方程的一般形式為：

3.微分方程的解、通解（1）若某函數代入微分方程后，能使該方程兩端恒等，則這個函數為該微分方程的解。如y=x2+2是方程（1）的解,

顯然y=x2+C

也是方程（1）的解.

（2）如果微分方程的解中所含獨立常數的個數等于微分方程的階數，這樣的解稱為微分方程的通解.

如y=x2+C

是方程（1）的通解.

4．微分方程的初始條件和特解（1）確定通解中任意常數值的附加條件叫做初始條件；

第3頁/共52頁一般地一階微分方程的初始條件為：

二階微分方程的初始條件為：

（2）由初始條件確定了通解中任意常數后所得到的解，稱為微分方程的特解。如y=x2+2是方程（1）的特解.第4頁/共52頁中含有一個任意常數C，而所給方程又是一階微分方程，

是所給方程的通解.

中含有兩個任意常數，而所給方程又是二階的，

第5頁/共52頁二、分離變量法

1．定義形如的方程稱為可分離變量的方程.

特點--等式右端可以分解成兩個函數之積，其中一個只是x

的函數，另一個只是y的函數2．解法設第6頁/共52頁當g(y)≠0時，兩端積分得通解

注(1)當g(y)=0時，設其根為y=α，則y=α也是原方程的解；

解分離變量，得

ydy=-xdx,

第7頁/共52頁

說明：在解微分方程時，如果得到一個含對數的等式，為了利用對數的性質將結果進一步化簡，可將任意常數寫成klnC的形式，k的值可根據實際情況來確定，如例2中取k=1/2.第8頁/共52頁例5設降落傘從跳傘臺下落，所受空氣阻力與速度成正比，降落傘離開塔頂(t=0)時的速度為零。求降落傘下落速度與時間的函數關系.解設降落傘下落速度為v(t)時傘所受空氣阻力為-k

（負號表示阻力與運動方向相反（k為常數）傘在下降過程中還受重力P=mg作用，

由牛頓第二定律得

于是所給問題歸結為求解初值問題

第9頁/共52頁第10頁/共52頁

由此可見，隨著t的增大，速度趨于常數mg/k，但不會超過mg/k，這說明跳傘后，開始階段是加速運動，以后逐漸趨于勻速運動.

第11頁/共52頁第二節一階線性微分方程與可降階的高階微分方程

一、一階線性微分方程

1．定義：形如

的方程，稱為一階線性微分方程，其中P(x)、Q(x)是已知的連續函數,Q(x)稱為自由項．特點：方程中的未知函數y及導數

都是一次的．

2．分類若Q(x)=0,即

稱為一階線性齊次微分方程．若Q(x)≠0,則方程(1)稱為一階線性非齊次微分方程．第12頁/共52頁3．一階線性齊次方程的解法

類型：可分離變量的微分方程．其中C為任意常數.

4．一階線性非齊次方程的解法用常數變易法．

第13頁/共52頁

在方程（1）所對應的齊次方程的通解的基礎上進行變易,假設方程（1）有如下形式的解：

其中C（x）為待定函數．

第14頁/共52頁于是方程(1)的通解為：（4）式稱為一階線性非齊次方程（1）的通解公式．上述求解方法稱為常數變易法．

用常數變易法求一階線性非齊次方程的通解的一般步驟為：(1)先求出非齊次線性方程所對應的齊次方程的通解；(2)根據所求出的齊次方程的通解設出非齊次線性方程的解將所求出的齊次方程的通解中的任意常數C改為待定函數C(x)即可；(3)將所設解帶入非齊次線性方程，解出C(x)，并寫出非齊次線性方程的通解．

第15頁/共52頁①

①式對應的齊次方程為

②

將方程②分離變量得

兩邊積分得即

所以齊次方程②的通解為：

③

將上述通解中的任意常數C換成待定函數C(x)，將其待入方程①得

第16頁/共52頁將C(x)代入式③得原方程的通解：

第17頁/共52頁例3在串聯電路中，設有電阻R，電感L和交流電動勢E=E0sinωt，在時刻t=0時接通電路，求電流i與時間t的關系（E0,ω為常數）．解設任一時刻t的電流為i．我們知道，電流在電阻R上產生一個電壓降uR=Ri，由回路電壓定律知道，閉合電路中電動勢等于電壓降之和，即在電感L上產生的電壓降是

①第18頁/共52頁式①為一階非齊次線性方程的標準形式，其中

利用一階非齊次線性方程之求解公式得通解：

第19頁/共52頁二、可降階的高階微分方程

特點：方程y(n)=f(x)的右端僅含有自變量．解法：將兩端分別積分一次，得到一個n-1階微分方程;再積分一次，得到n-2階微分方程，連續積分n次，便可得到該方程的通解．

解將所給方程連續積分三次，得

第20頁/共52頁特點：方程右端不含未知函數y解法：令y’=t，則y″=t’，于是原方程可化為以t為未知函數的一階微分方程t’=f(x,t)．

第21頁/共52頁解令y’=t，則y″=t’，

代入原方程得

分離變量得

兩邊積分得即再積分得第22頁/共52頁例6如圖，位于坐標原點的我艦向位于x軸上A(1,0)點處的敵艦發射制導魚雷，魚雷始終對準敵艦．設敵艦以常速v0沿平行于y

軸的直線行駛，又設魚雷的速率為2v0，求魚雷的航行曲線方程．

解設魚雷的航行曲線方程為y=y(x)，在時刻，魚雷的坐標為P(x,y)，敵艦的坐標為Q(1,v0t)．因為魚雷始終對準敵艦，所以

第23頁/共52頁令y’=p，方程可化為

這是不顯含y的可降階微分方程,根據題意，初始條件為

分離變量可解得從上面兩式消去v0t得：

兩邊關于x求導得:

即即第24頁/共52頁所以而所以積分得以y(0)=0代入，得

所以魚雷的航行曲線方程為：

特點：方程右端不含變量x

第25頁/共52頁從而將原方程化為一階微分方程：

代入原方程得

當y≠0，P≠0時，分離變量得：

兩端積分得：

當P＝0時，則y=C（C為任意常數），

第26頁/共52頁顯然，它已含在解

所以原方程的通解為：

第27頁/共52頁

第三節二階常系數線性微分方程定義形如

的方程，稱為二階常系數線性微分方程．其中p,q為常數

.注①當f(x)≠0時，方程(1)稱為二階常系數非齊次線性微分方程；②當f(x)=0時，即

方程(2)稱為二階常系數齊次線性微分方程．

一、二階常系數線性微分方程解的性質

1．齊次線性方程解的結構

定義：設y1=y1(x)與y2=y2(x)是定義在區間(a,b)內的函數，如果存在兩個不全為零的常數k1

,k2，使得對于(a,b)內的任一x恒有第28頁/共52頁k1y1+k2y2=0成立，則稱y1與y2在(a,b)內線性相關，否則稱為線性無關．由定義知：

y1與y2線性相關的充分必要條件是不恒為常數，則y1與y2線性無關．

定理1（齊次線性方程解的疊加原理）

第29頁/共52頁

若y1與y2是齊次線性方程(2)的兩個解，則y=C1y1+C2y2也是(2)的解，且當與線性無關時，y=C1y1+C2y2就是式(2)的通解．證將y=C1y1+C2y2直接代入方程(2)的左端，得

所以y=C1y1+C2y2是方程(2)的解,又y1與y2線性無關，

C1和C2是兩個獨立的任意常數,即y=C1y1+C2y2中所含獨立的任意常數的個數與方程(2)的階數相同,所以它又是方程(2)的通解.

2．非齊次線性方程解的結構定理2（非齊次線性方程解的結構）第30頁/共52頁

若yp為非齊次線性方程(1)的某個特解，yc為方程(1)所對應的齊次線性方程(2)的通解，則y=yp+yc為非齊次線性方程(1)之通解．證將y=yp+yc代入方程(1)的左端有

所以yp+yc確為方程(1)的解．又yc中含有兩個獨立的任意常數，所以y=yp+yc中也含有兩獨立的任意常數，故y=yp+yc為方程(1)的通解．第31頁/共52頁定理3若y1為方程

y2為方程

則y=y1+y2為方程的解.證：將y=y1+y2代入方程(3)左端得

二、二階常系數齊次線性微分方程的求解方法其中p,q為常數.第32頁/共52頁令方程(2)的解為（r為待定常數）

代入方程(2)得

(4)

由此可見，只要r滿足方程(4)，函數

就是方程(2)的解．

定義稱方程(4)為微分方程(2)的特征方程，方程(4)的兩個根

r1,r2稱為特征根．

由于特征方程(4)的兩個根

只能有三種

不同情形，相應地，齊次方程(2)的通解也有三種不同的形式．

①當Δ=p2-4q>0時，特征方程(4)有兩個不相等的實根r1≠r2．

第33頁/共52頁由上面的討論知道

是方程(1)的兩個解．

又y1與y2線性無關，因此方程(2)的通解為

:②當Δ=p2-4q=0時，特征方程(4)有兩個相等實根r=r1=r2．

我們只能得到方程(1)的一個解

對y2求導得

代入方程(2)，得第34頁/共52頁又r是特征方程的二重根，

因為u(x)不是常數，不妨取u(x)=x，

這樣得到方程（2）的另一個解

從而方程（2）的通解為

③如果Δ=p2-4q<0，即特征方程(4)有一對共軛復根

第35頁/共52頁為了求出方程(2)的兩個實數形式的解，利用歐拉公式

將y1與y2分別改寫為

由定理1知，

仍是方程(2)的解，這時

不是常數，

第36頁/共52頁即綜上，求二階常系數齊次線性微分方程通解的步驟如下：

第一步寫出方程的特征方程第二步求出特征方程的兩個根r1及r2;第三步根據特征根的不同情況，寫出微分方程的通解．具體如下：

第37頁/共52頁通解形式特征方程的根解特征方程為

特征根

第38頁/共52頁因此，方程的通解為

解特征方程為

特征根

因此，方程的通解為

解特征方程為特征根為于是方程的通解為

第39頁/共52頁

解特征方程為特征根

因此方程的通解為故所求特解為

三、二階常系數非齊次線性微分方程的求解方法

第40頁/共52頁

其中p,q為常數，f(x)≠0它對應的齊次方程為：

其中

λ為常數，Pm(x)為x的m次多項式，即

設想方程(5)有形如

其中Q(x)是一個待定多項式．

第41頁/共52頁

代入方程(5)，整理后得到：

(6)

①當λ2+pλ+q≠0時，設

(7)

其中b0,b1,…,bm

為m+1個待定系數

將式(7)代入式(6)，比較等式兩邊同次冪的系數，得到以b0,b1,…,bm為未知數的m+1個線性方程的聯立方程組，從而求出b0,b1,…,bm，即確定Q(x)，于是可得方程(5)的一個特解為②當λ2+pλ+q=0且2λ+p≠0時，(即λ為特征方程的單根)

第42頁/共52頁

那么式(6)成為

由此可見，Q’與Pm(x)同次冪，故應設其中Qm(x)為m次待定多項式．

將Qm(x)代入式(6)確定Qm(x)的m+1個系數，從而得到方程(5)的一個特解：