2023年四川省宜賓市普通高校對口單招高等數學一自考測試卷(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.（）。A.3B.2C.1D.0

3.

4.

設f(x)=1+x，則f(x)等于（）。A.1

B.

C.

D.

5.已知y=ksin2x的一個原函數為y=cos2x，則k等于()。A.2B.1C.-1D.-2

6.A.e2

B.e-2

C.1D.0

7.A.A.2B.1/2C.-2D.-1/2

8.

9.

在x=0處()。A.間斷B.可導C.可微D.連續但不可導

10.

11.

A.2x+1B.2xy+1C.x2+1D.2xy

12.級數(a為大于0的常數)()．A.A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.收斂性與a有關

13.

14.

15.

A.-1/2

B.0

C.1/2

D.1

16.設函數y=ex-2,則dy=()A.e^(x-3)dxB.e^(x-2)dxC.e^(x-1)dxD.e^xdx

17.A.A.導數存在，且有f(a)=一1B.導數一定不存在C.f(a)為極大值D.f(a)為極小值

18.

19.A.A.-(1/2)B.1/2C.-1D.2

20.設y=5x，則y'等于()．

A.A.

B.

C.

D.

二、填空題(20題)21.若當x→0時，2x2與為等價無窮小，則a=______．

22.微分方程y"-y'-2y=0的通解為______．

23.

24.

25.設f(x＋1)=4x2＋3x＋1，g(x)=f(e-x)，則g(x)=__________．

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.設y=cos3x，則y'=__________。

33.

34.

35.

36.

37.

38.微分方程y'+9y=0的通解為______．

39.cosx為f(x)的一個原函數，則f(x)=______．

40.微分方程y"+y'=0的通解為______．

三、計算題(20題)41.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

42.

43.證明：

44.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

45.

46.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

47.

48.

49.

50.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

51.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

52.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

53.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

54.求微分方程的通解．

55.

56.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

57.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

58.

59.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

60.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

四、解答題(10題)61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.設函數f(x)=x3-3x2-9x，求f(x)的極大值。

68.

69.(本題滿分8分)

70.

五、高等數學(0題)71.下列命題不正確的是()。

A.兩個無窮大量之和仍為無窮大量

B.上萬個無窮小量之和仍為無窮小量

C.兩個無窮大量之積仍為無窮大量

D.兩個有界變量之和仍為有界變量

六、解答題(0題)72.計算其中D是由y=x,x=0，y=1圍成的平面區域．

參考答案

1.A

2.A

3.D解析：

4.C本題考查的知識點為不定積分的性質。可知應選C。

5.D本題考查的知識點為可變限積分求導。由原函數的定義可知(cos2x)'=ksin2x，而(cos2x)'=(-sin2x)·2，可知k=-2。

6.A

7.B

8.D

9.D①∵f(0)=0，f-(0)=0，f+(0)=0；∴f(x)在x=0處連續；∵f-"(0)≠f"(0)∴f(x)在x=0處不可導。

10.C解析：

11.B

12.A本題考查的知識點為級數絕對收斂與條件收斂的概念．

注意為p=2的p級數，因此為收斂級數，由比較判別法可知收斂，故絕對收斂，應選A．

13.D解析：

14.D

15.B

16.B

17.A本題考查的知識點為導數的定義．

18.B

19.A

20.C本題考查的知識點為基本初等函數的求導．

y=5x，y'=5xln5，因此應選C．

21.6；本題考查的知識點為無窮小階的比較．

當于當x→0時，2x2與為等價無窮小，因此

可知a=6．

22.y=C1e-x+C2e2x本題考查的知識點為二階線性常系數微分方程的求解．

特征方程為r2-r-2=0，

特征根為r1=-1，r2=2，

微分方程的通解為y=C1e-x+C2ex．

23.

24.1．

本題考查的知識點為函數連續性的概念．

25.

26.

27.

28.

29.11解析：

30.

本題考查的知識點為定積分的換元法．

解法1

解法2

令t＝1＋x2，則dt＝2xdx．

當x＝1時，t＝2；當x＝2時，t＝5．

這里的錯誤在于進行定積分變量替換，積分區間沒做變化．

31.

32.-3sin3x

33.

34.yxy-1

35.0＜k≤1

36.1/2

37.

38.y=Ce-9x本題考查的知識點為求解可分離變量微分方程．

分離變量

兩端分別積分

lny=-9x+C1，y=Ce-9x．

39.-sinx本題考查的知識點為原函數的概念．

由于cosx為f(x)的原函數，可知

f(x)=(cosx)'=-sinx．

40.y=C1+C2e-x，其中C1，C2為任意常數本題考查的知識點為二階線性常系數齊次微分方程的求解．

二階線性常系數齊次微分方程求解的一般步驟為：先寫出特征方程，求出特征根，再寫出方程的通解．

微分方程為y"+y'=0．

特征方程為r3+r=0．

特征根r1=0．r2=-1．

因此所給微分方程的通解為

y=C1+C2e-x，

其牛C1，C2為任意常數．

41.

42.

43.

44.

45.由一階線性微分方程通解公式有

46.由等價無窮小量的定義可知

47.

48.

49.

50.

51.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

52.

53.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

54.

55.

56.

列表：

說明

57.函數的定義域為

注意

58.

則

59.由二重積分物理意義知

60.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

61.

本題考查的知識點為被積函數為分段函數的定積分．

當被積函數為分段函數時，應將積分區間分為幾個子區間，使被積函數在每個子區間內有唯一的表達式．

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.