2022年黑龍江省佳木斯市普通高校對口單招高等數學一自考測試卷(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.微分方程y'=1的通解為A.y=xB.y=CxC.y=C-xD.y=C+x

2.A.

B.0

C.ln2

D.-ln2

3.下列命題中正確的有（）A.A.

B.

C.

D.

4.

5.

6.函數f(x)在點x=x0處連續是f(x)在x0處可導的A.A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充分必要條件D.既非充分條件也非必要條件

7.下列關于構建的幾何形狀說法不正確的是()。

A.軸線為直線的桿稱為直桿B.軸線為曲線的桿稱為曲桿C.等截面的直桿稱為等直桿D.橫截面大小不等的桿稱為截面桿

8.設y=e-3x，則dy=A.e-3xdx

B.-e-3xdx

C.-3e-3xdx

D.3e-3xdx

9.

10.

11.A.2B.-2C.-1D.1

12.A.A.yxy-1

B.yxy

C.xylnx

D.xylny

13.

14.設y=lnx，則y″等于()．

A.1/x

B.1/x2

C.-1/x

D.-1/x2

15.

16.

17.設y=f(x)在(a，b)內有二階導數，且f"＜0，則曲線y=f(x)在(a，b)內()．A.A.凹B.凸C.凹凸性不可確定D.單調減少18.

19.方程x2+2y2-z2=0表示的曲面是A.A.橢球面B.錐面C.柱面D.平面20.下列命題正確的是（）．A.A.

B.

C.

D.

二、填空題(20題)21.

22.微分方程y'+9y=0的通解為______．

23.

24.

25.

26.方程cosxsinydx+sinxcosydy=O的通解為______.

27.

28.

29.

30.31.32.微分方程y'=0的通解為______．33.

34.

35.

36.

37.當x=1時，f(x)=x3+3px+q取到極值(其中q為任意常數），則p=______.

38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.

42.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

43.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

44.

45.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．46.證明：47.48.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

49.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

50.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

51.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．52.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．53.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．54.55.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

56.

57.求微分方程的通解．58.59.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則60.

四、解答題(10題)61.設y=x2+2x，求y'。

62.

63.

64.

65.求由曲線y=1-x2在點(1/2，3/4]處的切線與該曲線及x軸所圍圖形的面積A。

66.

67.

68.

69.設y=ln(1+x2)，求dy。

70.

五、高等數學(0題)71.曲線

在(1，1)處的切線方程是_______。

六、解答題(0題)72.將周長為12的矩形繞其一邊旋轉得一圓柱體，問繞邊長為多少的邊旋轉才能使圓柱體的體積最大?

參考答案

1.D

2.A為初等函數，定義區間為，點x=1在該定義區間內，因此

故選A．

3.B

4.C

5.C解析：

6.B由可導與連續的關系：“可導必定連續，連續不一定可導”可知，應選B。

7.D

8.C

9.A解析：

10.B

11.A

12.A

13.C

14.D由于Y=lnx，可得知，因此選D．

15.B

16.D

17.A本題考查的知識點為利用二階導數符號判定曲線的凹凸性．

由于在(a，b)區間內f"(x)＜0，可知曲線y=f(x)在(a，b)內為凹的，因此選A．

18.D

19.B

20.D本題考查的知識點為收斂級數的性質和絕對收斂的概念．

由絕對收斂級數的性質“絕對收斂的級數必定收斂”可知應選D．

21.y=lnx+Cy=lnx+C解析：22.y=Ce-9x本題考查的知識點為求解可分離變量微分方程．

分離變量

兩端分別積分

lny=-9x+C1，y=Ce-9x．

23.

解析：

24.1

25.本題考查的知識點為定積分的換元法．

26.sinx·siny=C由cosxsinydx+sinxcosydy=0，知sinydsinx+sinxdsiny=0，即d(sinx·siny)=0，兩邊積分得sinx·siny=C，這就是方程的通解.

27.

28.

解析：

29.1/x

30.

本題考查的知識點為隱函數的求導．

31.本題考查的知識點為無窮小的性質。32.y=C1本題考查的知識點為微分方程通解的概念．

微分方程為y'=0．

dy=0．y=C．33.解析：

34.11解析：

35.

36.

37.-1f'(x）=3x2+3p，f'(1)=3十3p=0,所以p=-1.

38.(-22)(-2，2)解析：

39.（-21）（-2，1）

40.(-∞2)(-∞,2)解析：

41.

則

42.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

43.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

44.

45.

46.

47.

48.

49.函數的定義域為

注意

50.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

51.

52.由二重積分物理意義知

53.

54.

55.

列表：

說明

56.

57.

58.59.由等價無窮小量的定義可知60.由一階線性微分方程通解公式有