第三章中值定理應用研究函數性質及曲線性態利用導數解決實際問題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理微分中值定理與導數的應用一、羅爾(Rolle)定理第一節二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理第三章費馬(fermat)引理一、羅爾(Rolle)定理且存在證:

設則費馬證畢羅爾（Rolle

）定理滿足:(1)在區間[a,b]上連續(2)在區間(a,b)內可導(3)

f(a)=f(b)使在(a,b)內至少存在一點注意:1)定理條件條件不全具備,結論不一定成立例如,二、拉格朗日中值定理(1)在區間[a,b]上連續滿足:(2)在區間(a,b)內可導至少存在一點使思路:利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數作輔助函數顯然,在[a,b]上連續,在(a,b)內可導,且證:問題轉化為證由羅爾定理知至少存在一點即定理結論成立.拉氏證畢推論:若函數在區間I

上滿足則在

I上必為常數.證:

在

I

上任取兩點格朗日中值公式,得由的任意性知,在

I

上為常數.三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在閉區間[a,b]上連續(2)在開區間(a,b)內可導(3)在開區間(a,b)內至少存在一點使滿足:問題轉化為證柯西構造輔助函數證:

作輔助函數且使即由羅爾定理知,至少存在一點思考:

柯西定理的下述證法對嗎?兩個

不一定相同錯!上面兩式相比即得結論.費馬(1601–1665)費馬法國數學家,他是一位律師,數學只是他的業余愛好.他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數學上有許多重大貢獻.他特別愛好數論,他提出的費馬大定理:歷經358年,直到1993年才由美國普林斯頓大學的安德魯.懷爾斯教授經過十年的潛心研究才得到解決.引理是后人從他研究解決最值的方法中提煉出來的.拉格朗日(1736–1813)法國數學家.他在方程論,解析函數論,及數論方面都作出了重要的貢獻,近百余年來,數學中的許多成就都可直接或間接地追溯到他的工作,他是對分析數學產生全面影響的數學家之一.柯西(1789–1857)法國數學家,他對數學的貢獻主要集中在微積分學,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的是為巴黎綜合學校編寫的《分析教程》,《無窮小分析概論》,《微積分在幾何上的應用》等,有思想有創建,廣泛而深遠.對數學的影響他是經典分析的奠基人之一,他為微積分所奠定的基礎推動了分析數學的發展.復變函數和微分方程方面.一生發表論文800余篇,著書7本,三、其他未定式二、型未定式一、型未定式第二節洛必達法則第三章微分中值定理函數的性態導數的性態函數之商的極限導數之商的極限

轉化(或型)本節研究:洛必達法則洛必達一、存在(或為)定理1.型未定式(洛必達法則)例.求解:原式注意:

不是未定式不能用洛必達法則!洛洛二、型未定式存在(或為∞)定理2.證:僅就極限存在的情形加以證明.(洛必達法則)例

求解:原式

若例如,極限不存在不能用洛必達法則!即洛必達(1661–1704)法國數學家,他著有《無窮小分析》(1696),并在該書中提出了求未定式極限的方法,后人將其命名為“洛必達法的擺線難題,以后又解出了伯努利提出的“最速降線”問題,在他去世后的1720年出版了他的關于圓錐曲線的書.則”.他在15歲時就解決了帕斯卡提出第三節一、函數單調性的判定法二、曲線的凹凸與拐點函數的單調性與曲線的凹凸性第三章一、函數單調性的判定法若定理1.

設函數則在I

內單調遞增(遞減).在開區間I

內可導,例.

確定函數的單調區間.解:令得故的單調增區間為的單調減區間為例.

確定函數的單調區間.解:令得故的單調減區間為的單調減區間為定義.

設函數在區間

I

上連續,(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱圖形是凸的.二、曲線的凹凸與拐點連續曲線上有切線的凹凸分界點稱為拐點

.拐點定理2.(凹凸判定法)(1)在

I內則f(x)在I

內圖形是凹的;(2)在

I內則f(x)在

I

內圖形是凸的.設函數在區間I上有二階導數例.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是凹的.說明:1)若在某點二階導數為0,2)根據拐點的定義及上述定理,可得拐點的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側異號,則點是曲線的一個拐點.則曲線的凹凸性不變.在其兩側二階導數不變號,對應例5.求曲線的凹凸區間及拐點.解:1)求2)求拐點可疑點坐標令得3)