統(tǒng)計(jì)學(xué)原理第四章平均指標(biāo)與變異指標(biāo)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理第一節(jié)平均指標(biāo)的概念和作用一、平均指標(biāo)的概念同類社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在一定時(shí)間、地點(diǎn)條件下所達(dá)到的一般水平的綜合指標(biāo)。概括地描述統(tǒng)計(jì)分布的一般水平或集中趨勢(shì)的數(shù)值。特點(diǎn):代表性、抽象性平均指標(biāo)=總體標(biāo)志總量/總體單位數(shù)第一節(jié)平均指標(biāo)的概念和作用一、平均指標(biāo)的概念二、平均指標(biāo)的作用(一)可以了解總體次數(shù)分布的集中趨勢(shì)(二)可以對(duì)若干同類現(xiàn)象在不同單位、地區(qū)間進(jìn)行比較研究(三)可以研究某一總體某種數(shù)值的平均水平在時(shí)間上的變化，說明總體的發(fā)展過程和趨勢(shì)(四)可以分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系(五)平均指標(biāo)可作為某些科學(xué)預(yù)測(cè)、決策和某些推算的依據(jù)二、平均指標(biāo)的作用眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)位置平均數(shù)數(shù)值平均數(shù)

算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)第二節(jié)平均指標(biāo)眾數(shù)平均數(shù)位置平均數(shù)數(shù)值平均數(shù)應(yīng)用條件：資料未分組，各組出現(xiàn)的次數(shù)都是1。5名學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)分別為：75、91、64、53、82。則平均成績(jī)?yōu)椋阂?、算術(shù)平均數(shù)（mean)應(yīng)用條件：資料未分組，各組出現(xiàn)的次數(shù)都是1。5名學(xué)生的學(xué)習(xí)成公式中，1、簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)

適用于未分組資料，用總體各單位標(biāo)志值加總得到標(biāo)志總量除以總體單位總量而得。計(jì)算公式為：代表算術(shù)平均數(shù)。

表示各單位標(biāo)志值。表示總體單位數(shù)。一、算術(shù)平均數(shù)（mean)公式中，1、簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)代表算術(shù)平均數(shù)。表示各單位按家庭人口數(shù)分組（人）家庭數(shù)1234550150300200100合計(jì)800某村800個(gè)家庭人口數(shù)根據(jù)以下資料計(jì)算某村平均家庭人口數(shù)？按家庭人口數(shù)分組（人）家庭數(shù)150合計(jì)800某村802、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)

(Weightedmean)

①根據(jù)單項(xiàng)數(shù)列計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計(jì)算公式：應(yīng)用條件：?jiǎn)雾?xiàng)式分組，各組次數(shù)不同。2、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)(Weightedmean)

例:某車間20名工人加工某種零件資料：

按日產(chǎn)量分組（件）x工人數(shù)（人）f日產(chǎn)總量xf

14

2

28

15

4

60

16

8

128

17

5

85

18

1

18合計(jì)

20

319求平均日產(chǎn)量例:某車間20名工人加工某種零件資料：②根據(jù)組距數(shù)列計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)應(yīng)用條件：組距式分組，各組次數(shù)不同。按日產(chǎn)量分組（公斤）工人數(shù)f組中值x日產(chǎn)總量xf20—30

10

25

25030—40

70

35

245040—50

90

45

415050—60

30

55

1650合計(jì)

200

—

8400例：某車間200名工人日產(chǎn)量資料：求平均日產(chǎn)量②根據(jù)組距數(shù)列計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)應(yīng)用條件：組距式分組，各組次權(quán)數(shù)對(duì)均值的影響

甲乙兩組各有10名學(xué)生，他們的考試成績(jī)及其分布數(shù)據(jù)如下

甲組：

考試成績(jī)（x）: 020100

人數(shù)分布（f）：118

乙組：考試成績(jī)（x）: 020100

人數(shù)分布（f）：811權(quán)數(shù)對(duì)均值的影響甲乙兩組各有10名學(xué)生，他們的考試成績(jī)?cè)诮M距數(shù)列中，均值大小不僅受組中值大小的影響，也受權(quán)數(shù)的影響，因此（）A.當(dāng)組中值較大且權(quán)數(shù)較大時(shí)，均值接近組中值大的一方B.當(dāng)組中值較小且權(quán)數(shù)較小時(shí)，均值接近組中值小的一方C.當(dāng)組中值較大而權(quán)數(shù)較小時(shí)，均值接近組中值大的一方D.當(dāng)組中值較小而權(quán)數(shù)較大時(shí)，均值接近組中值小的一方E.當(dāng)各組的權(quán)數(shù)相同時(shí)，權(quán)數(shù)對(duì)均值的大小沒有影響在組距數(shù)列中，均值大小不僅受組中值大小的影響，也受權(quán)數(shù)的影響

3、是非標(biāo)志的平均數(shù)

是非標(biāo)志:當(dāng)總體單位某種品質(zhì)標(biāo)志的具體表現(xiàn)為“是”與“非”或“有”與“無”兩種情況。

是非標(biāo)志x單位數(shù)f比重

1

0

合計(jì)

N

1

平均數(shù)的計(jì)算：把具有某種特征的用“1”表示，不具有該種特征的用“0”表示。3、是非標(biāo)志的平均數(shù)是非標(biāo)志:當(dāng)總體單位某種品質(zhì)標(biāo)志的例：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品合格率為95%，不合格率為5%，求是非標(biāo)志平均數(shù)。例：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品合格率為95%，不3、算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)（1）算術(shù)平均數(shù)與標(biāo)志值個(gè)數(shù)的乘積等于各標(biāo)志值的總和。簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：3、算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)（1）算術(shù)平均數(shù)與標(biāo)志值個(gè)數(shù)的乘積（2）各個(gè)標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)的離差之和等于零。簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：（2）各個(gè)標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)的離差之和等于零。（3）各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的平方和為最小值。（3）各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的平方和為最小值。4、算術(shù)平均數(shù)特點(diǎn)

1）集中趨勢(shì)的最常用測(cè)度值2）一組數(shù)據(jù)的均衡點(diǎn)所在3）易受極端值的影響4）用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，不能用于定類數(shù)據(jù)和定序數(shù)據(jù)4、算術(shù)平均數(shù)特點(diǎn)1）集中趨勢(shì)的最常用測(cè)度值二、調(diào)和平均數(shù)例:一個(gè)人步行兩里，走第一里時(shí)速度為每小時(shí)10里，走第二里時(shí)為每小時(shí)20里，則平均速度為？二、調(diào)和平均數(shù)例:一個(gè)人步行兩里，走第一里時(shí)速度為每小時(shí)10二、調(diào)和平均數(shù)1.簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)：標(biāo)志值的倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。 二、調(diào)和平均數(shù)1.簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)：標(biāo)志值的倒數(shù)菜場(chǎng)上有1元錢起售的蔬菜，若某人早上用1元錢購買了一種蔬菜共3斤，每斤0.33元；中午降價(jià)時(shí)又用1元錢買了4斤，每斤0.25元；晚上削價(jià)處理又用1元錢買了5斤，每斤0.2元。試問蔬菜平均每斤多少錢？菜場(chǎng)上有1元錢起售的蔬菜，若某人早上用1元錢購買了一種速度

x行走里程

m所需時(shí)間

20

1

15

2

10

3

合計(jì)

6

速度行走里程所需時(shí)間202.加權(quán)調(diào)和平均數(shù)缺少總體單位數(shù)計(jì)算公式：2.加權(quán)調(diào)和平均數(shù)缺少總體單位數(shù)例班組平均勞動(dòng)生產(chǎn)率x實(shí)際工時(shí)產(chǎn)品產(chǎn)量(件)m一

10

100

1000二

12

200

2400三

15

300

4500四

20

300

6000五

30

200

6000合計(jì)

—1100

19900例班組平均勞動(dòng)生產(chǎn)率x實(shí)際工時(shí)產(chǎn)品產(chǎn)量(件)一三、幾何平均數(shù)(geometricmean)

1、簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)2、加權(quán)幾何平均數(shù)應(yīng)用條件：資料未分組（各變量值次數(shù)都是1）。計(jì)算公式：應(yīng)用條件：資料經(jīng)過分組，各組次數(shù)不同。計(jì)算公式：三、幾何平均數(shù)(geometricmean)1、簡(jiǎn)單幾車間投入量產(chǎn)出量合格率

%x一

1000

800

80二

800

720

90三

720

504

70例：某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品需經(jīng)過三個(gè)連續(xù)作業(yè)車間才能完成。車間投入量產(chǎn)出量合格率一100080080年份累計(jì)存款額本利率%第1年105%第2年105%第3年108%………第10年112%例：將一筆錢存入銀行，存期10年，以復(fù)利計(jì)息，10年的利率分配是第1年至第2年為5%、第3年至5年為8%、第6年至第8年為10%、第9年至第10年12%，計(jì)算平均年利率？設(shè)本金為年份累計(jì)存款額本利率%第1年105%第2年105%第3年10本利率x年數(shù)f

105%

2

108%

3

110%

3

112%

2合計(jì)

10平均年利率=8.77%本利率x年數(shù)f105%2108%三種平均數(shù)之間的關(guān)系H≤G≤X三種平均數(shù)之間的關(guān)系H≤G≤X四、眾數(shù)(mode)1.定義：眾數(shù)是指社會(huì)現(xiàn)象總體中最普遍出現(xiàn)的標(biāo)志值。1)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值2)適合于數(shù)據(jù)量較多時(shí)使用3)不受極端值的影響4）一組數(shù)據(jù)可能沒有眾數(shù)或有幾個(gè)眾數(shù)四、眾數(shù)(mode)1.定義：眾數(shù)是指社會(huì)現(xiàn)象總體中最普遍出眾數(shù)(不惟一性)無眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):10591268一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):65

9855多于一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):252828

364242眾數(shù)(不惟一性)無眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):1052.眾數(shù)的確定1)單項(xiàng)式分配數(shù)列：出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值2)組距式分配數(shù)列：由組距數(shù)列確定眾數(shù)，先確定眾數(shù)組，再通過一定的公式計(jì)算眾數(shù)的近似值。2.眾數(shù)的確定4、單項(xiàng)式數(shù)列

不同品牌飲料的頻數(shù)分布

飲料品牌頻數(shù)比例百分比(%)

可口可樂旭日升冰茶百事可樂匯源果汁露露15119690.300.220.180.120.183022181218合計(jì)501100解：這里的變量為“飲料品牌”，這是個(gè)分類變量，不同類型的飲料就是變量值所調(diào)查的50人中，購買可口可樂的人數(shù)最多，為15人，占總被調(diào)查人數(shù)的30%，因此眾數(shù)為“可口可樂”這一品牌，即

Mo＝可口可樂4、單項(xiàng)式數(shù)列

不同品牌飲料的頻數(shù)分布飲料品牌頻數(shù)比例百分按日產(chǎn)量分組（件）工人數(shù)（人）2015213022202310按日產(chǎn)量分組（件）工人數(shù)（人）2015213022202314）組距式數(shù)列確定眾數(shù)的公式下限公式：

上限公式：

4）組距式數(shù)列確定眾數(shù)的公式下限公式：例：年人均純收入（千元）農(nóng)戶數(shù)（戶）5以下2405—64806—711007—87008—93209以上160合計(jì)3000農(nóng)戶年人均收入眾數(shù)計(jì)算表例：年人均純收入（千元）農(nóng)戶數(shù)（戶）5以下2405—6480判斷法則1、當(dāng)眾數(shù)相鄰的兩組次數(shù)相等時(shí)，則眾數(shù)組的組中值就是眾數(shù)；2、當(dāng)眾數(shù)組前一組的次數(shù)較多，后一組的次數(shù)較少時(shí)，則眾數(shù)在眾數(shù)組內(nèi)靠近他的下限；3、當(dāng)眾數(shù)組后一組次數(shù)較多，前一組的次數(shù)較少時(shí)，則眾數(shù)在眾數(shù)組內(nèi)靠近他的上限。判斷法則1、當(dāng)眾數(shù)相鄰的兩組次數(shù)相等時(shí)，則眾數(shù)組的組中值就是五、中位數(shù)(median）

1、中位數(shù)的含義：將總體各單位按其標(biāo)志值大小順序排列起來居于中間位置的那個(gè)數(shù)。2、確定中位數(shù)的方法（1）由未分組資料確定中位數(shù)排序找中間位置五、中位數(shù)(median）1、中位數(shù)的含義：將總體各單位按中位數(shù)？

【例】

9個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù):

15007507801080850960200012501630排序:

75078085096010801250150016302000位置:1234

56789中位數(shù)1080中位數(shù)？

【例】9個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)中位數(shù)中位數(shù)？【例】：10個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)排序:

660

75078085096010801250150016302000位置:1234

5678910中位數(shù)？【例】：10個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)1、未分組資料確定中位數(shù)的方法：將總體各單位的標(biāo)志值按照大小順序排列當(dāng)總體單位數(shù)n為奇數(shù)時(shí)：當(dāng)總體單位數(shù)n為偶數(shù)時(shí)：1、未分組資料確定中位數(shù)的方法：（2）分組數(shù)列確定中位數(shù)

——累計(jì)頻數(shù)到50％所對(duì)應(yīng)的變量值例：按日產(chǎn)量分組（件）x工人數(shù)（人）f累計(jì)次數(shù)向上累計(jì)向下累計(jì)20101080221525702430555526258025合計(jì)80——（2）分組數(shù)列確定中位數(shù)

——累計(jì)頻數(shù)到50％所對(duì)應(yīng)的變量定序數(shù)據(jù)的中位數(shù)解：中位數(shù)的位置為

300/2＝150

從累計(jì)頻數(shù)看，中位數(shù)在“一般”這一組別中中位數(shù)為

Me=一般甲城市家庭對(duì)住房狀況評(píng)價(jià)的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù)(戶)累計(jì)頻數(shù)

非常不滿意不滿意

一般

滿意非常滿意

2410893

4530

24132225270300合計(jì)300—定序數(shù)據(jù)的中位數(shù)解：中位數(shù)的位置為（3）由組距數(shù)列確定中位數(shù)計(jì)算公式（3）由組距數(shù)列確定中位數(shù)計(jì)算公式例年人均純收入（千元）農(nóng)戶數(shù)（戶）向上累計(jì)次數(shù)5以下2402405—64807206—7110018207—870025208—932028409以上1603000合計(jì)3000—(1)計(jì)算累計(jì)次數(shù)(2)確定中位數(shù)組(3)根據(jù)中位數(shù)計(jì)算公式計(jì)算中位數(shù)中位數(shù)位次：例年人均純收入（千元）農(nóng)戶數(shù)（戶）向上累計(jì)次數(shù)5以下24022、單項(xiàng)式分組資料確定中位數(shù)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)：，當(dāng)為偶數(shù)時(shí),3、組距式分組資料確定中位數(shù)下限公式： 上限公式：2、單項(xiàng)式分組資料確定中位數(shù)3、組距式分組資料確定中位數(shù)六、眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較

1、區(qū)別：1）

三者的含義不相同；2）

三者的計(jì)算（確定）方法不同；3）對(duì)數(shù)據(jù)的“靈敏度”和“概括能力”不同。六、眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較1、區(qū)別：2、聯(lián)系：（1）

三者都是作為反映總體一般水平（或集中趨勢(shì)）的平均指標(biāo)：（2）

三者之間存在著一定的數(shù)量關(guān)系，A.在對(duì)稱的正態(tài)分布條件下：算術(shù)平均數(shù)等于眾數(shù)等于中位數(shù)：B.在非對(duì)稱正態(tài)分布的情況下，眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)三者的差別取決于偏斜的程度，偏斜的程度越大，它們之間的差別越大。

2、聯(lián)系：3眾數(shù)、中位數(shù)、和算術(shù)平均數(shù)和的關(guān)系對(duì)稱分布左偏分布右偏分布眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式為：算術(shù)平均數(shù)和眾數(shù)的距離約等于算術(shù)平均數(shù)與中位數(shù)距離的三倍：3眾數(shù)、中位數(shù)、和算術(shù)平均數(shù)和的關(guān)系對(duì)稱分布左偏分布右偏分七、其他分位數(shù)1、四分位數(shù)(quartile)

1）能夠?qū)⒖傮w單位按標(biāo)志值大小等分為四部分的三個(gè)數(shù)值。（排序）2）不受極端值的影響3）主要用于順序數(shù)據(jù)，也可用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于分類數(shù)據(jù)QLQMQU25%25%25%25%七、其他分位數(shù)1、四分位數(shù)(quartile)QLQMQU2

(例題分析)解：QL位置=(300+1)/4=75.25QU位置=3×(300+1)/4=225.75

從累計(jì)頻數(shù)看，QL在“不滿意”這一組別中；QU在“一般”這一組別中四分位數(shù)為

QL

=不滿意

QU

=一般甲城市家庭對(duì)住房狀況評(píng)價(jià)的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù)(戶)累計(jì)頻數(shù)

非常不滿意

不滿意一般

滿意非常滿意

2410894

4430

24132226270300合計(jì)300—

(例題分析)解：QL位置=(300+1)/4=75.數(shù)值型數(shù)據(jù)的四分位數(shù)【例】：10個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)排序:

660

75078085096010801250150016302000位置:1234

5678910數(shù)值型數(shù)據(jù)的四分位數(shù)【例】：10個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)類型與集中趨勢(shì)測(cè)度值數(shù)據(jù)類型和所適用的集中趨勢(shì)測(cè)度值數(shù)據(jù)類型定類數(shù)據(jù)定序數(shù)據(jù)定距數(shù)據(jù)定比數(shù)據(jù)適用的測(cè)度值※眾數(shù)※中位數(shù)※均值※均值—四分位數(shù)眾數(shù)調(diào)和平均數(shù)—眾數(shù)中位數(shù)幾何平均數(shù)——四分位數(shù)中位數(shù)———四分位數(shù)———眾數(shù)數(shù)據(jù)類型與集中趨勢(shì)測(cè)度值數(shù)據(jù)類型和所適用的集中趨勢(shì)測(cè)度值數(shù)據(jù)第三節(jié)分布的離中趨勢(shì)一、變異指標(biāo)的含義與作用1.定義：變異指標(biāo)以平均數(shù)為中心，總體各單位標(biāo)志值的差異大小范圍或離差程度的指標(biāo)。變異指標(biāo)值越大，表明總體各單位標(biāo)志的變異程度越大。2.作用：（1）衡量平均指標(biāo)的代表性。（2）研究總體標(biāo)志值分布偏離正態(tài)的情況。（3）進(jìn)行抽樣推斷等統(tǒng)計(jì)分析的一個(gè)基本指標(biāo)。

第三節(jié)分布的離中趨勢(shì)一、變異指標(biāo)的含義與作用二、極差（全距）(range)1、一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差2、易受極端值影響3、未考慮數(shù)據(jù)的分布7891078910

R

=max(xi)-min(xi)4、計(jì)算公式為例：5名學(xué)生的成績(jī)?yōu)?0、69、76、88、97。二、極差（全距）(range)1、一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之分位差

1）剔除了部分極端值計(jì)算的類似于極差的指標(biāo)。

2）內(nèi)四分位間距：QR=Q3-Q13）四分位差：QD=(Q3-Q1)/2分位差三、平均差標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)離差平均值。實(shí)質(zhì)：以算術(shù)平均數(shù)為中心，各標(biāo)志值距平均數(shù)的平均距離。三、平均差標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)離差平均值。第一組第二組XX-|X-|XX-|X-|20-404050-101025-353551-9930-303052-8835-252553-7750-101056-44701010600075151562228525257111119030307212121206060731313合計(jì)280合計(jì)76第一組第二組XX-|X-|XX-|X-|20-4四、方差與標(biāo)準(zhǔn)差(varianceandstandarddeviation)方差：各變量值與其均值離差平方的平均數(shù)。（一）數(shù)量標(biāo)志的方差與標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差：方差的平方根，也稱均方差。1、數(shù)量標(biāo)志的方差與標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算，其計(jì)算公式為：資料未分組：資料已分組：四、方差與標(biāo)準(zhǔn)差方差：各變量值與其均值離差平方的平均數(shù)。（一例：求產(chǎn)量的標(biāo)準(zhǔn)差日產(chǎn)量（件）209221230241269合計(jì)20例：求產(chǎn)量的標(biāo)準(zhǔn)差日產(chǎn)量（件）209221230241269練習(xí)：日產(chǎn)量（公斤）工人數(shù)f組中值x20—301025288030—407035343040—50904581050—6030555070合計(jì)200—12190練習(xí)：日產(chǎn)量（公斤）工人數(shù)f組中值x20—301025288

（1）變量的方差等于變量平方的平均數(shù)減去變量平均數(shù)的平方。2、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)學(xué)性質(zhì)即：

（2）變量對(duì)算術(shù)平均數(shù)的方差小于對(duì)任何常數(shù)的方差。

（3）變量線性變換的方差等于變量的方差乘以變量系數(shù)的平方。（1）變量的方差等于變量平方的平均數(shù)減去變量平均數(shù)（二）是非標(biāo)志的方差與標(biāo)準(zhǔn)差是非標(biāo)志的平均數(shù)為P。標(biāo)志值x單位數(shù)f10合計(jì)N由于標(biāo)準(zhǔn)差有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，它的應(yīng)用最為廣泛。（二）是非標(biāo)志的方差與標(biāo)準(zhǔn)差是非標(biāo)志的平均數(shù)為P。標(biāo)志值x單例：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品合格率為95％，不合格率為5％，求是非標(biāo)志的方差及標(biāo)準(zhǔn)差。例：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品合格率為95％，不合格率為5％，求五、變異系數(shù)

(coefficientofvariation)1.標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比2.對(duì)數(shù)據(jù)相對(duì)離散程度的測(cè)度3.消除了數(shù)據(jù)水平高低和計(jì)量單位的影響4.用于對(duì)不同組別數(shù)據(jù)離散程度的比較5.計(jì)算公式為五、變異系數(shù)

(coefficientofvariati變異系數(shù)某管理局所屬8家企業(yè)的產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)企業(yè)編號(hào)產(chǎn)品銷售額（萬元）x1銷售利潤(rùn)（萬元）x21234567817022039043048065095010008.112.518.022.026.540.064.069.0【例】某管理局抽查了所屬的8家企業(yè)，其產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)如表。試比較產(chǎn)品銷售額與銷售利潤(rùn)的離散程度變異系數(shù)某管理局所屬8家企業(yè)的產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)企業(yè)編號(hào)產(chǎn)品銷售額變異系數(shù)結(jié)論：計(jì)算結(jié)果表明，v1<v2，說明產(chǎn)品銷售額的離散程度小于銷售利潤(rùn)的離散程度v1=536.25309.19=0.577v2=32.521523.09=0.710變異系數(shù)結(jié)論：計(jì)算結(jié)果表明，v1<v2，說明產(chǎn)品銷售額的離東方制造公司和西京自來水公司股票的報(bào)酬率及其概率分布情況詳見下表，試計(jì)算兩家公司的風(fēng)險(xiǎn)性大小。東方制造公司和西京自來水公司股票報(bào)酬率的概率分布經(jīng)濟(jì)情況該種經(jīng)濟(jì)情況發(fā)生的概率(pi)報(bào)酬率(Ki)西京自來水公司東方制造公司繁榮0.2040％70％一般0.6020％20％衰退0.200％-30％東方制造公司和西京自來水公司股票的報(bào)酬率及其概率分布情況詳見比較兩個(gè)公司職工的平均工資水平哪個(gè)更均衡。月工資額（元）甲公司人數(shù)乙公司人數(shù)1000以下1000～15001500～20002000以上10201555102510合計(jì)5050練習(xí)：比較兩個(gè)公司職工的平均工資水平哪個(gè)更均衡。月工資額（元）1、原點(diǎn)矩：是K階動(dòng)差的一般形式，公式為：一、原點(diǎn)矩和中心矩

一階E（X）=

二階E（X2）=第四節(jié)偏度和峰度1、原點(diǎn)矩：是K階動(dòng)差的一般形式，公式為：一、原點(diǎn)矩和中心矩

2、中點(diǎn)矩：如果把原點(diǎn)移動(dòng)到算術(shù)平均數(shù)的位置，就可以得到一個(gè)以頻數(shù)分配各組標(biāo)志值對(duì)平均數(shù)的K階中心動(dòng)差，即稱中心矩。

2、中點(diǎn)矩：如果把原點(diǎn)移動(dòng)到算術(shù)平均數(shù)的位置，就可二、偏度（一）概念變量數(shù)列偏斜程度的指標(biāo)，分布不對(duì)稱的方向和程度偏態(tài)系數(shù)=0為對(duì)稱分布偏態(tài)系數(shù)>0為右偏分布偏態(tài)系數(shù)<0為左偏分布（二）計(jì)算公式二、偏度（一）概念變量數(shù)列偏斜程度的指標(biāo)，分布不對(duì)稱的方向和左偏分布右偏分布偏態(tài)分布的形狀左偏分布右偏分布偏態(tài)分布的形狀三、峰度（一）概念要點(diǎn)

1、變量數(shù)列頂部扁平程度的測(cè)度

2、峰度系數(shù)=3扁平程度適中

3、偏態(tài)系數(shù)<3為扁平分布

4、偏態(tài)系數(shù)>3為尖峰分布

（二）計(jì)算公式三、峰度（一）概念要點(diǎn)（二）計(jì)算公式扁平分布尖峰分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布比較！峰度分布的形狀扁平分布尖峰分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布比較！峰度分布的形狀例：已知1997年我國(guó)農(nóng)村居民家庭按純收入分組的有關(guān)數(shù)據(jù)如表。試計(jì)算偏態(tài)系數(shù)和峰度。1997年農(nóng)村居民家庭純收入數(shù)據(jù)按純收入分組（百元）戶數(shù)比重（%）5以下5~1010~1515~2020~2525~3030~3535~4040~4545~5050以上2.2812.4520.3519.5214.9310.356.564.132.681.814.94例：已知1997年我國(guó)農(nóng)村居民家庭按純收入分組的有關(guān)數(shù)據(jù)如表農(nóng)村居民家庭純收入數(shù)據(jù)偏態(tài)及峰度計(jì)算表按純收入分組（百元）組中值Xi戶數(shù)比重(%)Fi(Xi-X)3Fi(Xi-X)4Fi5以下5—1010—1515—2020—2525—3030—3535—4040—4545—5050以上2.57.512.517.522.527.532.537.542.547.552.52.2812.4520.3519.5214.9310.356.564.132.681.814.94-154.64-336.46-144.87-11.840.1823.1689.02171.43250.72320.741481.812927.154686.511293.5346.520.20140.60985.492755.005282.948361.9846041.33合計(jì)—1001689.2572521.25農(nóng)村居民家庭純收入數(shù)據(jù)偏態(tài)及峰度計(jì)算表按純收入分組組中值戶數(shù)根據(jù)上表數(shù)據(jù)計(jì)算得將計(jì)算結(jié)果代入公式得根據(jù)上表數(shù)據(jù)計(jì)算得將計(jì)算結(jié)果代入公式得戶數(shù)比重(%)252015105偏態(tài)與峰度

(從直方圖上觀察)按純收入分組(元)1000500←15002000250030003500400045005000→結(jié)論：1.為右偏分布

2.峰度適中戶數(shù)比重252015105偏態(tài)與峰度

(從直方圖上觀察)按純經(jīng)常不斷地學(xué)習(xí),你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量StudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe寫在最后經(jīng)常不斷地學(xué)習(xí),你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量寫80ThankYou在別人的演說中思考，在自己的故事里成長(zhǎng)ThinkingInOtherPeople‘SSpeeches，GrowingUpInYourOwnStory講師：XXXXXXXX年XX月XX日ThankYou81統(tǒng)計(jì)學(xué)原理第四章平均指標(biāo)與變異指標(biāo)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理第一節(jié)平均指標(biāo)的概念和作用一、平均指標(biāo)的概念同類社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在一定時(shí)間、地點(diǎn)條件下所達(dá)到的一般水平的綜合指標(biāo)。概括地描述統(tǒng)計(jì)分布的一般水平或集中趨勢(shì)的數(shù)值。特點(diǎn):代表性、抽象性平均指標(biāo)=總體標(biāo)志總量/總體單位數(shù)第一節(jié)平均指標(biāo)的概念和作用一、平均指標(biāo)的概念二、平均指標(biāo)的作用(一)可以了解總體次數(shù)分布的集中趨勢(shì)(二)可以對(duì)若干同類現(xiàn)象在不同單位、地區(qū)間進(jìn)行比較研究(三)可以研究某一總體某種數(shù)值的平均水平在時(shí)間上的變化，說明總體的發(fā)展過程和趨勢(shì)(四)可以分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系(五)平均指標(biāo)可作為某些科學(xué)預(yù)測(cè)、決策和某些推算的依據(jù)二、平均指標(biāo)的作用眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)位置平均數(shù)數(shù)值平均數(shù)

算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)第二節(jié)平均指標(biāo)眾數(shù)平均數(shù)位置平均數(shù)數(shù)值平均數(shù)應(yīng)用條件：資料未分組，各組出現(xiàn)的次數(shù)都是1。5名學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)分別為：75、91、64、53、82。則平均成績(jī)?yōu)椋阂?、算術(shù)平均數(shù)（mean)應(yīng)用條件：資料未分組，各組出現(xiàn)的次數(shù)都是1。5名學(xué)生的學(xué)習(xí)成公式中，1、簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)

適用于未分組資料，用總體各單位標(biāo)志值加總得到標(biāo)志總量除以總體單位總量而得。計(jì)算公式為：代表算術(shù)平均數(shù)。

表示各單位標(biāo)志值。表示總體單位數(shù)。一、算術(shù)平均數(shù)（mean)公式中，1、簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)代表算術(shù)平均數(shù)。表示各單位按家庭人口數(shù)分組（人）家庭數(shù)1234550150300200100合計(jì)800某村800個(gè)家庭人口數(shù)根據(jù)以下資料計(jì)算某村平均家庭人口數(shù)？按家庭人口數(shù)分組（人）家庭數(shù)150合計(jì)800某村802、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)

(Weightedmean)

①根據(jù)單項(xiàng)數(shù)列計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計(jì)算公式：應(yīng)用條件：?jiǎn)雾?xiàng)式分組，各組次數(shù)不同。2、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)(Weightedmean)

例:某車間20名工人加工某種零件資料：

按日產(chǎn)量分組（件）x工人數(shù)（人）f日產(chǎn)總量xf

14

2

28

15

4

60

16

8

128

17

5

85

18

1

18合計(jì)

20

319求平均日產(chǎn)量例:某車間20名工人加工某種零件資料：②根據(jù)組距數(shù)列計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)應(yīng)用條件：組距式分組，各組次數(shù)不同。按日產(chǎn)量分組（公斤）工人數(shù)f組中值x日產(chǎn)總量xf20—30

10

25

25030—40

70

35

245040—50

90

45

415050—60

30

55

1650合計(jì)

200

—

8400例：某車間200名工人日產(chǎn)量資料：求平均日產(chǎn)量②根據(jù)組距數(shù)列計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)應(yīng)用條件：組距式分組，各組次權(quán)數(shù)對(duì)均值的影響

甲乙兩組各有10名學(xué)生，他們的考試成績(jī)及其分布數(shù)據(jù)如下

甲組：

考試成績(jī)（x）: 020100

人數(shù)分布（f）：118

乙組：考試成績(jī)（x）: 020100

人數(shù)分布（f）：811權(quán)數(shù)對(duì)均值的影響甲乙兩組各有10名學(xué)生，他們的考試成績(jī)?cè)诮M距數(shù)列中，均值大小不僅受組中值大小的影響，也受權(quán)數(shù)的影響，因此（）A.當(dāng)組中值較大且權(quán)數(shù)較大時(shí)，均值接近組中值大的一方B.當(dāng)組中值較小且權(quán)數(shù)較小時(shí)，均值接近組中值小的一方C.當(dāng)組中值較大而權(quán)數(shù)較小時(shí)，均值接近組中值大的一方D.當(dāng)組中值較小而權(quán)數(shù)較大時(shí)，均值接近組中值小的一方E.當(dāng)各組的權(quán)數(shù)相同時(shí)，權(quán)數(shù)對(duì)均值的大小沒有影響在組距數(shù)列中，均值大小不僅受組中值大小的影響，也受權(quán)數(shù)的影響

3、是非標(biāo)志的平均數(shù)

是非標(biāo)志:當(dāng)總體單位某種品質(zhì)標(biāo)志的具體表現(xiàn)為“是”與“非”或“有”與“無”兩種情況。

是非標(biāo)志x單位數(shù)f比重

1

0

合計(jì)

N

1

平均數(shù)的計(jì)算：把具有某種特征的用“1”表示，不具有該種特征的用“0”表示。3、是非標(biāo)志的平均數(shù)是非標(biāo)志:當(dāng)總體單位某種品質(zhì)標(biāo)志的例：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品合格率為95%，不合格率為5%，求是非標(biāo)志平均數(shù)。例：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品合格率為95%，不3、算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)（1）算術(shù)平均數(shù)與標(biāo)志值個(gè)數(shù)的乘積等于各標(biāo)志值的總和。簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：3、算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)（1）算術(shù)平均數(shù)與標(biāo)志值個(gè)數(shù)的乘積（2）各個(gè)標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)的離差之和等于零。簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：（2）各個(gè)標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)的離差之和等于零。（3）各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的平方和為最小值。（3）各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的平方和為最小值。4、算術(shù)平均數(shù)特點(diǎn)

1）集中趨勢(shì)的最常用測(cè)度值2）一組數(shù)據(jù)的均衡點(diǎn)所在3）易受極端值的影響4）用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，不能用于定類數(shù)據(jù)和定序數(shù)據(jù)4、算術(shù)平均數(shù)特點(diǎn)1）集中趨勢(shì)的最常用測(cè)度值二、調(diào)和平均數(shù)例:一個(gè)人步行兩里，走第一里時(shí)速度為每小時(shí)10里，走第二里時(shí)為每小時(shí)20里，則平均速度為？二、調(diào)和平均數(shù)例:一個(gè)人步行兩里，走第一里時(shí)速度為每小時(shí)10二、調(diào)和平均數(shù)1.簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)：標(biāo)志值的倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。 二、調(diào)和平均數(shù)1.簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)：標(biāo)志值的倒數(shù)菜場(chǎng)上有1元錢起售的蔬菜，若某人早上用1元錢購買了一種蔬菜共3斤，每斤0.33元；中午降價(jià)時(shí)又用1元錢買了4斤，每斤0.25元；晚上削價(jià)處理又用1元錢買了5斤，每斤0.2元。試問蔬菜平均每斤多少錢？菜場(chǎng)上有1元錢起售的蔬菜，若某人早上用1元錢購買了一種速度

x行走里程

m所需時(shí)間

20

1

15

2

10

3

合計(jì)

6

速度行走里程所需時(shí)間202.加權(quán)調(diào)和平均數(shù)缺少總體單位數(shù)計(jì)算公式：2.加權(quán)調(diào)和平均數(shù)缺少總體單位數(shù)例班組平均勞動(dòng)生產(chǎn)率x實(shí)際工時(shí)產(chǎn)品產(chǎn)量(件)m一

10

100

1000二

12

200

2400三

15

300

4500四

20

300

6000五

30

200

6000合計(jì)

—1100

19900例班組平均勞動(dòng)生產(chǎn)率x實(shí)際工時(shí)產(chǎn)品產(chǎn)量(件)一三、幾何平均數(shù)(geometricmean)

1、簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)2、加權(quán)幾何平均數(shù)應(yīng)用條件：資料未分組（各變量值次數(shù)都是1）。計(jì)算公式：應(yīng)用條件：資料經(jīng)過分組，各組次數(shù)不同。計(jì)算公式：三、幾何平均數(shù)(geometricmean)1、簡(jiǎn)單幾車間投入量產(chǎn)出量合格率

%x一

1000

800

80二

800

720

90三

720

504

70例：某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品需經(jīng)過三個(gè)連續(xù)作業(yè)車間才能完成。車間投入量產(chǎn)出量合格率一100080080年份累計(jì)存款額本利率%第1年105%第2年105%第3年108%………第10年112%例：將一筆錢存入銀行，存期10年，以復(fù)利計(jì)息，10年的利率分配是第1年至第2年為5%、第3年至5年為8%、第6年至第8年為10%、第9年至第10年12%，計(jì)算平均年利率？設(shè)本金為年份累計(jì)存款額本利率%第1年105%第2年105%第3年10本利率x年數(shù)f

105%

2

108%

3

110%

3

112%

2合計(jì)

10平均年利率=8.77%本利率x年數(shù)f105%2108%三種平均數(shù)之間的關(guān)系H≤G≤X三種平均數(shù)之間的關(guān)系H≤G≤X四、眾數(shù)(mode)1.定義：眾數(shù)是指社會(huì)現(xiàn)象總體中最普遍出現(xiàn)的標(biāo)志值。1)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值2)適合于數(shù)據(jù)量較多時(shí)使用3)不受極端值的影響4）一組數(shù)據(jù)可能沒有眾數(shù)或有幾個(gè)眾數(shù)四、眾數(shù)(mode)1.定義：眾數(shù)是指社會(huì)現(xiàn)象總體中最普遍出眾數(shù)(不惟一性)無眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):10591268一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):65

9855多于一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):252828

364242眾數(shù)(不惟一性)無眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):1052.眾數(shù)的確定1)單項(xiàng)式分配數(shù)列：出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值2)組距式分配數(shù)列：由組距數(shù)列確定眾數(shù)，先確定眾數(shù)組，再通過一定的公式計(jì)算眾數(shù)的近似值。2.眾數(shù)的確定4、單項(xiàng)式數(shù)列

不同品牌飲料的頻數(shù)分布

飲料品牌頻數(shù)比例百分比(%)

可口可樂旭日升冰茶百事可樂匯源果汁露露15119690.300.220.180.120.183022181218合計(jì)501100解：這里的變量為“飲料品牌”，這是個(gè)分類變量，不同類型的飲料就是變量值所調(diào)查的50人中，購買可口可樂的人數(shù)最多，為15人，占總被調(diào)查人數(shù)的30%，因此眾數(shù)為“可口可樂”這一品牌，即

Mo＝可口可樂4、單項(xiàng)式數(shù)列

不同品牌飲料的頻數(shù)分布飲料品牌頻數(shù)比例百分按日產(chǎn)量分組（件）工人數(shù)（人）2015213022202310按日產(chǎn)量分組（件）工人數(shù)（人）2015213022202314）組距式數(shù)列確定眾數(shù)的公式下限公式：

上限公式：

4）組距式數(shù)列確定眾數(shù)的公式下限公式：例：年人均純收入（千元）農(nóng)戶數(shù)（戶）5以下2405—64806—711007—87008—93209以上160合計(jì)3000農(nóng)戶年人均收入眾數(shù)計(jì)算表例：年人均純收入（千元）農(nóng)戶數(shù)（戶）5以下2405—6480判斷法則1、當(dāng)眾數(shù)相鄰的兩組次數(shù)相等時(shí)，則眾數(shù)組的組中值就是眾數(shù)；2、當(dāng)眾數(shù)組前一組的次數(shù)較多，后一組的次數(shù)較少時(shí)，則眾數(shù)在眾數(shù)組內(nèi)靠近他的下限；3、當(dāng)眾數(shù)組后一組次數(shù)較多，前一組的次數(shù)較少時(shí)，則眾數(shù)在眾數(shù)組內(nèi)靠近他的上限。判斷法則1、當(dāng)眾數(shù)相鄰的兩組次數(shù)相等時(shí)，則眾數(shù)組的組中值就是五、中位數(shù)(median）

1、中位數(shù)的含義：將總體各單位按其標(biāo)志值大小順序排列起來居于中間位置的那個(gè)數(shù)。2、確定中位數(shù)的方法（1）由未分組資料確定中位數(shù)排序找中間位置五、中位數(shù)(median）1、中位數(shù)的含義：將總體各單位按中位數(shù)？

【例】

9個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù):

15007507801080850960200012501630排序:

75078085096010801250150016302000位置:1234

56789中位數(shù)1080中位數(shù)？

【例】9個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)中位數(shù)中位數(shù)？【例】：10個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)排序:

660

75078085096010801250150016302000位置:1234

5678910中位數(shù)？【例】：10個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)1、未分組資料確定中位數(shù)的方法：將總體各單位的標(biāo)志值按照大小順序排列當(dāng)總體單位數(shù)n為奇數(shù)時(shí)：當(dāng)總體單位數(shù)n為偶數(shù)時(shí)：1、未分組資料確定中位數(shù)的方法：（2）分組數(shù)列確定中位數(shù)

——累計(jì)頻數(shù)到50％所對(duì)應(yīng)的變量值例：按日產(chǎn)量分組（件）x工人數(shù)（人）f累計(jì)次數(shù)向上累計(jì)向下累計(jì)20101080221525702430555526258025合計(jì)80——（2）分組數(shù)列確定中位數(shù)

——累計(jì)頻數(shù)到50％所對(duì)應(yīng)的變量定序數(shù)據(jù)的中位數(shù)解：中位數(shù)的位置為

300/2＝150

從累計(jì)頻數(shù)看，中位數(shù)在“一般”這一組別中中位數(shù)為

Me=一般甲城市家庭對(duì)住房狀況評(píng)價(jià)的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù)(戶)累計(jì)頻數(shù)

非常不滿意不滿意

一般

滿意非常滿意

2410893

4530

24132225270300合計(jì)300—定序數(shù)據(jù)的中位數(shù)解：中位數(shù)的位置為（3）由組距數(shù)列確定中位數(shù)計(jì)算公式（3）由組距數(shù)列確定中位數(shù)計(jì)算公式例年人均純收入（千元）農(nóng)戶數(shù)（戶）向上累計(jì)次數(shù)5以下2402405—64807206—7110018207—870025208—932028409以上1603000合計(jì)3000—(1)計(jì)算累計(jì)次數(shù)(2)確定中位數(shù)組(3)根據(jù)中位數(shù)計(jì)算公式計(jì)算中位數(shù)中位數(shù)位次：例年人均純收入（千元）農(nóng)戶數(shù)（戶）向上累計(jì)次數(shù)5以下24022、單項(xiàng)式分組資料確定中位數(shù)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)：，當(dāng)為偶數(shù)時(shí),3、組距式分組資料確定中位數(shù)下限公式： 上限公式：2、單項(xiàng)式分組資料確定中位數(shù)3、組距式分組資料確定中位數(shù)六、眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較

1、區(qū)別：1）

三者的含義不相同；2）

三者的計(jì)算（確定）方法不同；3）對(duì)數(shù)據(jù)的“靈敏度”和“概括能力”不同。六、眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較1、區(qū)別：2、聯(lián)系：（1）

三者都是作為反映總體一般水平（或集中趨勢(shì)）的平均指標(biāo)：（2）

三者之間存在著一定的數(shù)量關(guān)系，A.在對(duì)稱的正態(tài)分布條件下：算術(shù)平均數(shù)等于眾數(shù)等于中位數(shù)：B.在非對(duì)稱正態(tài)分布的情況下，眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)三者的差別取決于偏斜的程度，偏斜的程度越大，它們之間的差別越大。

2、聯(lián)系：3眾數(shù)、中位數(shù)、和算術(shù)平均數(shù)和的關(guān)系對(duì)稱分布左偏分布右偏分布眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式為：算術(shù)平均數(shù)和眾數(shù)的距離約等于算術(shù)平均數(shù)與中位數(shù)距離的三倍：3眾數(shù)、中位數(shù)、和算術(shù)平均數(shù)和的關(guān)系對(duì)稱分布左偏分布右偏分七、其他分位數(shù)1、四分位數(shù)(quartile)

1）能夠?qū)⒖傮w單位按標(biāo)志值大小等分為四部分的三個(gè)數(shù)值。（排序）2）不受極端值的影響3）主要用于順序數(shù)據(jù)，也可用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于分類數(shù)據(jù)QLQMQU25%25%25%25%七、其他分位數(shù)1、四分位數(shù)(quartile)QLQMQU2

(例題分析)解：QL位置=(300+1)/4=75.25QU位置=3×(300+1)/4=225.75

從累計(jì)頻數(shù)看，QL在“不滿意”這一組別中；QU在“一般”這一組別中四分位數(shù)為

QL

=不滿意

QU

=一般甲城市家庭對(duì)住房狀況評(píng)價(jià)的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù)(戶)累計(jì)頻數(shù)

非常不滿意

不滿意一般

滿意非常滿意

2410894

4430

24132226270300合計(jì)300—

(例題分析)解：QL位置=(300+1)/4=75.數(shù)值型數(shù)據(jù)的四分位數(shù)【例】：10個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)排序:

660

75078085096010801250150016302000位置:1234

5678910數(shù)值型數(shù)據(jù)的四分位數(shù)【例】：10個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)類型與集中趨勢(shì)測(cè)度值數(shù)據(jù)類型和所適用的集中趨勢(shì)測(cè)度值數(shù)據(jù)類型定類數(shù)據(jù)定序數(shù)據(jù)定距數(shù)據(jù)定比數(shù)據(jù)適用的測(cè)度值※眾數(shù)※中位數(shù)※均值※均值—四分位數(shù)眾數(shù)調(diào)和平均數(shù)—眾數(shù)中位數(shù)幾何平均數(shù)——四分位數(shù)中位數(shù)———四分位數(shù)———眾數(shù)數(shù)據(jù)類型與集中趨勢(shì)測(cè)度值數(shù)據(jù)類型和所適用的集中趨勢(shì)測(cè)度值數(shù)據(jù)第三節(jié)分布的離中趨勢(shì)一、變異指標(biāo)的含義與作用1.定義：變異指標(biāo)以平均數(shù)為中心，總體各單位標(biāo)志值的差異大小范圍或離差程度的指標(biāo)。變異指標(biāo)值越大，表明總體各單位標(biāo)志的變異程度越大。2.作用：（1）衡量平均指標(biāo)的代表性。（2）研究總體標(biāo)志值分布偏離正態(tài)的情況。（3）進(jìn)行抽樣推斷等統(tǒng)計(jì)分析的一個(gè)基本指標(biāo)。

第三節(jié)分布的離中趨勢(shì)一、變異指標(biāo)的含義與作用二、極差（全距）(range)1、一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差2、易受極端值影響3、未考慮數(shù)據(jù)的分布7891078910

R

=max(xi)-min(xi)4、計(jì)算公式為例：5名學(xué)生的成績(jī)?yōu)?0、69、76、88、97。二、極差（全距）(range)1、一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之分位差

1）剔除了部分極端值計(jì)算的類似于極差的指標(biāo)。

2）內(nèi)四分位間距：QR=Q3-Q13）四分位差：QD=(Q3-Q1)/2分位差三、平均差標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)離差平均值。實(shí)質(zhì)：以算術(shù)平均數(shù)為中心，各標(biāo)志值距平均數(shù)的平均距離。三、平均差標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)離差平均值。第一組第二組XX-|X-|XX-|X-|20-404050-101025-353551-9930-303052-8835-252553-7750-101056-44701010600075151562228525257111119030307212121206060731313合計(jì)280合計(jì)76第一組第二組XX-|X-|XX-|X-|20-4四、方差與標(biāo)準(zhǔn)差(varianceandstandarddeviation)方差：各變量值與其均值離差平方的平均數(shù)。（一）數(shù)量標(biāo)志的方差與標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差：方差的平方根，也稱均方差。1、數(shù)量標(biāo)志的方差與標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算，其計(jì)算公式為：資料未分組：資料已分組：四、方差與標(biāo)準(zhǔn)差方差：各變量值與其均值離差平方的平均數(shù)。（一例：求產(chǎn)量的標(biāo)準(zhǔn)差日產(chǎn)量（件）209221230241269合計(jì)20例：求產(chǎn)量的標(biāo)準(zhǔn)差日產(chǎn)量（件）209221230241269練習(xí)：日產(chǎn)量（公斤）工人數(shù)f組中值x20—301025288030—407035343040—50904581050—6030555070合計(jì)200—12190練習(xí)：日產(chǎn)量（公斤）工人數(shù)f組中值x20—301025288

（1）變量的方差等于變量平方的平均數(shù)減去變量平均數(shù)的平方。2、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)學(xué)性質(zhì)即：

（2）變量對(duì)算術(shù)平均數(shù)的方差小于對(duì)任何常數(shù)的方差。

（3）變量線性變換的方差等于變量的方差乘以變量系數(shù)的平方。（1）變量的方差等于變量平方的平均數(shù)減去變量平均數(shù)（二）是非標(biāo)志的方差與標(biāo)準(zhǔn)差是非標(biāo)志的平均數(shù)為P。標(biāo)志值x單位數(shù)f10合計(jì)N由于標(biāo)準(zhǔn)差有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，它的應(yīng)用最為廣泛。（二）是非標(biāo)志的方差與標(biāo)準(zhǔn)差是非標(biāo)志的平均數(shù)為P。標(biāo)志值x單例：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品合格率為95％，不合格率為5％，求是非標(biāo)志的方差及標(biāo)準(zhǔn)差。例：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品合格率為95％，不合格率為5％，求五、變異系數(shù)

(coefficientofvariation)1.標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比2.對(duì)數(shù)據(jù)相對(duì)離散程度的測(cè)度3.消除了數(shù)據(jù)水平高低和計(jì)量單位的影響4.用于對(duì)不同組別數(shù)據(jù)離散程度的比較5.計(jì)算公式為五、變異系數(shù)

(coefficientofvariati變異系數(shù)某管理局所屬8家企業(yè)的產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)企業(yè)編號(hào)產(chǎn)品銷售額（萬元）x1銷售利潤(rùn)（萬元）x212345678170220390