數學選修1-2·人教A版新課標導學第三章數系的擴充與復數的引入3.2復數代數形式的四則運算3.2.2復數代數形式的乘除運算1自主預習學案2互動探究學案3課時作業學案自主預習學案根據復數的幾何意義和平面向量在坐標表示下的加(減)法運算，我們很容易規定了復數的加(減)法規則，因為實數是復數的一部分，且實數有其乘法運算，因此我們有理由且應當規定復數集內的乘法運算，使實數的乘法作為復數乘法的一種特殊情況，考慮到復數的代數標準形式及i2＝－1，并聯系多項式的乘法法則，就可建立復數的代數乘法規則．1．復數代數形式的乘法法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝____________________________________.2．復數乘法的運算律對任意復數z1，z2，z3∈C，有交換律z1·z2＝______________結合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)分配律z1(z2＋z3)＝______________________z2·z1

z1z2＋z1z3

(ac－bd)＋(ad＋bc)i

a＝c且b＝－d

a＝c且b＝－d≠0

C

2．(2019·全國Ⅲ卷理，2)若z(1＋i)＝2i，則z＝(

)A．－1－i

B．－1＋iC．1－i

D．1＋iD

D

4．已知復數z＝(2－i)2(i為虛數單位)，則復數z的虛部為________.[解析]

z＝(2－i)2＝4－4i＋i2＝4－4i－1＝3－4i.－4

互動探究學案

計算：(1)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i；(2)(1－i)2(1＋i)2＋4.[思路分析]

應用復數的乘法法則及運算律求解．[解析]

(1)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i＝(2＋i)(2－i)(1＋2i)－5i＝(4－i2)(1＋2i)－5i＝5(1＋2i)－5i＝5＋10i－5i＝5＋5i.(2)(1－i)2(1＋i)2＋4＝[(1－i)(1＋i)]2＋4＝(1－i2)2＋4＝22＋4＝8.命題方向1

?復數的乘法與乘方典例1『規律方法』1.復數的乘法運算可將i看作字母按多項式乘法的運算法則進行，最后將i2＝－1代入合并“同類項”即可．2．復數的乘法運算可以推廣，因此，復數可進行乘方運算，常見的有：(a±bi)2＝(a2－b2)±2abi(a、b∈R)，(1±i)2＝±2i等，即實數的乘方公式對復數也成立．〔跟蹤練習1〕(1)(2018·全國Ⅱ卷文，2)i(2＋3i)＝(

)A．3－2i

B．3＋2iC．－3－2i

D．－3＋2i(2)(2018·全國Ⅲ卷理，2)(1＋i)(2－i)＝(

)A．－3－i

B．－3＋iC．3－i

D．3＋i[解析]

(1)i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i.故選D．(2)(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.故選D．D

D

[思路分析]

(1)先寫成分式的形式，再分母實數化．(2)分子、分母按復數的乘法先分別展開化簡，或分解因式，再做除法．(3)先展開，后化簡．命題方向2

?復數的除法典例2『規律方法』除數是虛數的復數的除法是將分子、分母同乘以分母的共軛復數，再按復數的乘法進行運算，最后化簡．C

D

[思路分析]

通過運算把復數寫成a＋bi(a、b∈R的形式)，則其共軛復數為a－bi.命題方向3

?共軛復數典例3C

『規律方法』1.由比較復雜的復數運算給出的復數，求其共軛復數，可先按復數的四則運算法則進行運算，將復數寫成代數形式，再寫出其共軛復數．2．注意共軛復數的簡單性質的運用．D

計算要細致準確典例4in(n∈N*)的性質計算復數的乘積要用到虛數的單位i的乘方，in有如下性質：i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，從而對于任何n∈N*，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，同理可證i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.復數的有關性質

計算i＋i2＋i3＋…＋i2018＋i2019.[思路分析]

先計算i，i2，i3，i4的和，找出規律，再按照規律求解．[解析]

∵i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，i5＝i，…∴i＋