專題28證明不等式的常見技巧【高考地位】證明數(shù)列不等式，因其思維跨度大、構造性強，需要有較高的證明技巧。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項的結構，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進行恰當?shù)剡x擇不等式的證明技巧.在高考中常常以解答題出現(xiàn)，其試題難度屬中高檔題.方法一比較法萬能模板內容使用場景一般不等式證明解題模板第一步通過兩個實數(shù)與的差或商的符號（范圍）確定與大小關系；第二步得出結論.例1設實數(shù)滿足，求證：．【答案】詳見解析.【解析】第一步，通過兩個實數(shù)與的差或商的符號（范圍）確定與大小關系：第二步，得出結論：考點：不等式的證明.【點評】兩個多項式的大小比較常用的兩種方法是作差法和作商法.【變式演練1】【2020年全國普通高等學校統(tǒng)一招生考試試驗檢測卷】設不等式的解集為且，．（1）證明：；（2）比較與的大小．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）先將變成分段函數(shù)形式，即可求得集合M，則可得的范圍，利用絕對值的三角不等式，即可進行證明；（2）將兩式分別平方，利用作差法比較大小即可.【詳解】（1）證明：∵，不等式等價為，解得，從而，∵，，∴且，∴．（2）∵，，∴，由（1）知，，即且，∴，即，故．方法二分析法萬能模板內容使用場景一般不等式證明解題模板第一步從求證的不等式出發(fā)，分析這個不等式成立的充分條件；第二步把證明這個不等式的問題轉化為證明這些條件是否具備的問題；第三步如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式成立.例2設證明：。【答案】原命題等價于，利用分析法。【解析】第一步，從求證的不等式出發(fā)，分析這個不等式成立的充分條件：第二步，把證明這個不等式的問題轉化為證明這些條件是否具備的問題：第三步，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式成立：【變式演練2】吉林省通化市梅河口五中2020屆高三高考數(shù)學（文科）七模】設函數(shù)．（1）若的解集為，求實數(shù)，的值；（2）當，時，若存在，使得成立的的最大值為，且實數(shù)，滿足，證明：．【答案】（1）或；（2）證明見解析.【分析】（1）就、、分類求解后結合已知的解集可得的值；（2）利用絕對值不等式求得最小值為，解不等式后可得，最后利用綜合法和分析法可證.【詳解】（1）即為，所以.若，，的解集不可能為，舍.當時，的解為，所以，解得.當時，的解為，所以，解得.綜上，或.（2）當，時，，當且僅當時等號成立，故即，故，所以.故.因為，故，所以即.要證：，即證：，即證：，也就是即證：，即證：，也就是即證：，因為恒成立，故必成立，故.綜上，.方法三綜合法萬能模板內容使用場景一般不等式證明解題模板第一步從已知或證明過的不等式出發(fā)，逐步推出其必要條件；第二步根據(jù)不等式的性質及公理推導出欲證的不等式；第三步得出結論.例3已知，，求證：【答案】詳見解析.【解析】第一步，從已知或證明過的不等式出發(fā)，逐步推出其必要條件：第二步，根據(jù)不等式的性質及公理推導出欲證的不等式：第三步，得出結論：【點評】其證明過程最關鍵的一步是連續(xù)利用兩次基本不等式放縮得到所證的結果，但要特別注意的是兩次不等式的放縮能否均取得到等號，需進行驗證.【變式演練3】【四川省巴中市2021屆高三零診考試】已知.（1）若存在使得，求的取值范圍；（2）記是（1）中的最大值且，證明.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）先求出，再解不等式即得解；（2）先證明，再結合基本不等式證明即得證.【詳解】（1）由題得，所以，所以.（2）由題得，所以，因為，所以，(當且僅當時取等)所以.所以得證.方法四放縮法萬能模板內容使用場景一般不等式證明解題模板第一步根據(jù)已知找出其通項公式；第二步然后運用恰當?shù)姆趴s法對通項進行放縮；第三步利用數(shù)列求和公式即可得出結論.例4設求證【答案】詳見解析.【解析】第一步，根據(jù)已知找出其通項公式：第二步，然后運用恰當?shù)姆趴s法對通項進行放縮;第三步,利用數(shù)列求和公式即可得出結論:【點評】=1\*GB3①應注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過“度”了！=2\*GB3②根據(jù)所證不等式的結構特征來選取所需要的重要不等式，這里，其中等的各式及其變式公式均可供選用。【變式演練4】求證：.【答案】見解析.考點：放縮法；不等式的證明.【變式演練5】設、、是三角形的邊長，求證.【答案】見解析.學&科網考點：放縮法；不等式的證明.【變式演練6】【四川省巴中市2021屆高三零診考試】已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設，證明：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)1，結合等差數(shù)列的定義可證結論；（2）由（1）知，，根據(jù)放大后裂項求和，可證不等式成立.【詳解】（1）因為，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）知，，所以，當時，，所以.方法五數(shù)學歸納法萬能模板內容使用場景對于含有的不等式類型解題模板第一步驗證當取第一個值時不等式成立；第二步當取第一個值時不等式成立，如果使不等式在時成立的假設下，還能證明不等式在時也成立；第三步這個不等式對取第一個值以后的自然數(shù)都能成立得出結論.例5若，觀察下列不等式：，，…，請你猜測將滿足的不等式，并用數(shù)學歸納法加以證明。【答案】（x1+x2+…+xn）（）≥n2（n≥2），證明見解析【解析】第一步，驗證當取第一個值時不等式成立：第二步，當取第一個值時不等式成立，如果使不等式在時成立的假設下，還能證明不等式在時也成立：那么，當時，顯然，當時，結論成立。第三步，這個不等式對取第一個值以后的自然數(shù)都能成立得出結論：由,知對于大于的整數(shù)，成立。（12分）考點：用數(shù)學歸納法證明不等式.【點評】應用數(shù)學歸納法最關鍵的一步是當假設使不等式在時成立的假設下，如何證明不等式在時也成立.學&科網考點：放縮法；不等式的證明.【變式演練7】已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，（n∈N*）.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）比較與的大小，并用數(shù)學歸納法證明；（3）設，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，若Tn＜m對任意n∈N*恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【來源】2021年高考數(shù)學二輪復習講練測（浙江專用））【答案】（1）證明詳見解析；（2）；證明詳見解析；（3）.【分析】（1）由得遞推式，可得證明；（2）由（1）求出，再用數(shù)學歸納法證明；（3）求得，用裂項相消可求得答案.【詳解】（1）證明：由得，且首項a1+1＝3≠0，∴數(shù)列是公比為-2，首項為3的等比數(shù)列.（2）由（1）知：，∴，∴，下面利用數(shù)學歸納法證明：.（i）n＝1時，|a1|＝|3﹣1|＝2，，∴|a1|≥.（ii）假設n＝k∈N*，|ak|≥.則n＝k+1，|ak+1|＝|3×2k﹣1|＝|2（3×2k﹣1﹣1）+1|≥+1≥.綜上可得：n＝k+1時成立.綜上可得：假設成立.因此?n∈N*，.（3）∴，∴.【點睛】本題考查數(shù)列遞推式、數(shù)學歸納法、數(shù)列的求和，要有好的運算能力、推理能力.方法六換元法萬能模板內容使用場景對于一般的不等式證明解題模板第一步恰當?shù)膿Q元，適當?shù)囊雲(yún)?shù)；第二步利用已知求出新元的取值范圍；第三步根據(jù)現(xiàn)有的不等式放縮法得出結論.例7求證【答案】見解析.【解析】第一步，恰當?shù)膿Q元，適當?shù)囊雲(yún)?shù)：第二步，利用已知求出新元的取值范圍：第三步，根據(jù)現(xiàn)有的不等式放縮法得出結論：【點評】通過換元化為冪的形式，為成功運用二項展開式進行部分放縮起到了關鍵性的作用.【變式演練8】已知：，求證：.【答案】見解析.考點：換元法；不等式的證明.【高考再現(xiàn)】1.【2016高考浙江理數(shù)】已知實數(shù)a，b，c（）A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，則a2+b2+c2<100B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，則a2+b2+c2<100C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，則a2+b2+c2<100D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，則a2+b2+c2<100【答案】D考點：不等式的性質．【方法點睛】對于判斷不等式恒成立問題，一般采用舉反例排除法．解答本題時能夠對四個選項逐個利用賦值的方式進行排除，確認成立的不等式．2.【2015年陜西卷】設f(x)=lnx,0<a<A．q=r<pBC．p=r<qD【答案】C【解析】p=f(ab)=lnab，q=f(a+b2)=ln【考點定位】1、基本不等式；2、基本初等函數(shù)的單調性．3.【2014年四川卷】若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有（）A．ad＞bcB．ac＜bcC．ac＞bdD【答案】B【解析】因為c<d<0,所以-c>-d>0,0<1-c<14.【2014年四川卷】若則一定有（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本題主要考查不等關系。已知,所以，所以，故。故選5.【2011年上海市文科數(shù)學】若a,b∈RA．a2+b2>2abB．a+b≥2【答案】D【解析】試題分析：，所以A錯；，只能說明兩實數(shù)同號，同為正數(shù)，或同為負數(shù)，所以當時，B錯；同時C錯；或都是正數(shù)，根據(jù)基本不等式求最值，，故D正確．考點：不等式的性質6.【2015高考浙江，理20】已知數(shù)列滿足=且=-（）（1）證明：1（）；（2）設數(shù)列的前項和為，證明（）.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.學&科網試題分析：（1）首先根據(jù)遞推公式可得，再由遞推公式變形可知，從而得證；（2）由和得，【考點定位】數(shù)列與不等式結合綜合題.【名師點睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式，不等式的證明等知識點，屬于較難題，第一小問易證，利用條件中的遞推公式作等價變形，即可得到，再結合已知條件即可得證，第二小7.【2015高考廣東，理21】數(shù)列滿足，(1)求的值；(2)求數(shù)列前項和；(3)令，，證明：數(shù)列的前項和滿足．【答案】（1）；（2）；（3）見解析．（3）依題由知，，，∴，記，則，∴在上是增函數(shù)，又即，8.【2015高考湖南，文21】函數(shù)，記為的從小到大的第個極值點。（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）若對一切恒成立，求的取值范圍。【答案】（I）略；(II)試題解析：（I）因此，恒成立，當且僅當，解得，故實數(shù)的取值范圍是。【考點定位】恒成立問題；等比數(shù)列的性質【名師點睛】解決數(shù)列與函數(shù)的綜合問題時，如果是證明題要根據(jù)等比數(shù)列的定義明確證明的方向，如果是不等式恒成立問題，要使用不等式恒成立的各種不同解法，如變量分離法、最值法、因式分解法等，總之解決這類問題把數(shù)列看做特殊函數(shù)，并把它和不等式的知識巧妙結合起來綜合處理就行了．9.【2015高考陜西，文21】設(=1\*ROMANI)求；(=2\*ROMANII)證明：在內有且僅有一個零點（記為），且.【答案】(=1\*ROMANI)；(=2\*ROMANII)證明略，詳見解析.試題解析：(=1\*ROMANI)由題設，所以=1\*GB3①由=2\*GB3②=1\*GB3①=2\*GB3②得，所以【考點定位】1.錯位相減法；2.零點存在性定理；3.函數(shù)與數(shù)列.【名師點睛】（1）在函數(shù)出現(xiàn)多項求和形式，可以類比數(shù)列求和的方法進行求和；（2）證明零點的唯一可以從兩點出發(fā)：先使用零點存在性定理證明零點的存在性，再利用函數(shù)的單調性證明零點的唯一性；（2）有關函數(shù)中的不等式證明，一般是先構造函數(shù)，再求出函數(shù)在定義域范圍內的值域即可；（4）本題屬于中檔題，要求有較高邏輯思維能力和計算能力.10．【2019新課標1】已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1．證明：（1）；（2）．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用將所證不等式可變?yōu)樽C明：，利用基本不等式可證得，從而得到結論；（2）利用基本不等式可得，再次利用基本不等式可將式轉化為，在取等條件一致的情況下，可得結論.【詳解】（1）當且僅當時取等號，即：（2），當且僅當時取等號又，，（當且僅當時等號同時成立）又【點睛】本題考查利用基本不等式進行不等式的證明問題，考查學生對于基本不等式的變形和應用能力，需要注意的是在利用基本不等式時需注意取等條件能否成立.【反饋練習】1．已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若正實數(shù)，滿足，試比較與的大小.【來源】四川省大數(shù)據(jù)精準聯(lián)盟2021屆高三第三次統(tǒng)一監(jiān)測文科數(shù)學試題【答案】（1）；（2）.【分析】（1）分，和三種情況解不等式即可；（2）先利用作差法判斷與1的大小，然后利用函數(shù)的單調性可得答案【詳解】（1）由題當時，，得，此時不成立；當時，，得，此時取；當時，，得，此時取.綜上，不等式的解集為.（2）.因為正實數(shù)，滿足，即有，則，所以，由（1）已知函數(shù)為的增函數(shù)，所以.【點睛】關鍵點點睛：本小題主要考查含絕對值的不等式、基本不等式、不等式證明方法等基礎知識；考查運算求解、推理論證等數(shù)學能力；考查分類與整合、化歸與轉化等數(shù)學思想，解題的關鍵是比較與1的大小，屬于中檔題2．設不等式的解集為M，．（1）求M；（2）證明．【來源】江西省鷹潭市第一中學2021屆高三上學期第一次月考數(shù)學（文）試題【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）分段討論可得解集；（2）平方之后比差可證得結果.【詳解】（1）記，所以，原不等式等價于，解得，即原不等式解集；（2）由可知，，，即，，所以，故.3．已知實數(shù)，滿足，．（1）求證：；（2）求證：．【來源】廣西師大附屬外國語學校2021屆高三5月高考考前模擬考試數(shù)學（理）試題【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）由絕對值三角不等式放縮得證；（2）用比差法：作差，變形，判斷符號，寫出結論.【詳解】解法一：（1）由題意得．由絕對值三角不等式得所以．（2）由已知得，，所以，即．因為，，所以．所以由同向不等式相加得，得，即．解法二：（1）由題意知，當時，；當時，由絕對值三角不等式得．所以．（2）．由已知得，，所以所以.4．已知函數(shù)（1）求不等式的解集；（2）設，求證：.【來源】全國Ⅲ卷2021屆高三數(shù)學（文）模擬試題（三）【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）所求不等式即為|2x+1|+|x﹣1|>3，然后分類討論，去掉絕對值符號，解不等式即可；（2）利用分析法可知，即證(b﹣a)2<(ab﹣1)2，結合a，b∈M易得證.【詳解】（1）由f(x)+f(2x+2)>3得|2x+1|+|x﹣1|>3，當時，原不等式可化為﹣(2x+1)﹣(x﹣1)>3，解得x<﹣1；當時，原不等式可化為(2x+1)﹣(x﹣1)>3，解得x>1，此時無解；當x>1時，原不等式可化為(2x+1)+(x﹣1)>3，解得x>1；綜上，所求不等式的解集為(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞)；（2）證明：要證，只需證，即證，即證|b﹣a|<|ab﹣1|，即證(b﹣a)2<(ab﹣1)2，而(ab﹣1)2﹣(b﹣a)2=a2b2﹣a2﹣b2+1=(a2﹣1)(b2﹣1)，由a，b∈M，得a2>1，b2>1，∴(a2﹣1)(b2﹣1)>0，即得證.【點睛】分析法證明不等式，結構是：要證——即證——即證……；然后證明一個簡單的結論即可.5．已知函數(shù)，不等式的解集為A.（1）求A；（2）當a，時，證明：.【來源】安徽省合肥市第一中學2021屆高三下學期6月最后一卷理科數(shù)學試題【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）討論自變量取值范圍去掉絕對值求解不等式即可；（2）通過分析法逐步證明最后只需證明一個明顯成立的不等式即可．【詳解】（1）當時，，解得(舍)；當時，，解得；當時，，解得.綜上可知；（2）要證：只要證：只要證：只要證：只要證：，，，成立，所以原命題成立．【點睛】絕對值不等式的解法：法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想；法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過構造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．6．已知函數(shù).（1)解不等式；（2)記函數(shù)的最小值為，且，其中均為正實數(shù)，求證：【來源】貴州省銅仁市思南中學2021屆高三第十二次考試數(shù)學（文）試題【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由題知，進而分，，三種情況討論求解；（2）由絕對值三角不等式得，故，所以，再根據(jù)基本不等式得，故.【詳解】（1）令，①當時，，則，②當時，，則，③當時，，則，綜上,不等式的解集為；（2）因為，則，，則，又（當且僅當時取等號），所以，所以，即;【點睛】本題考查絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式，不等式的證明，考查運算求解能力，邏輯推理能力，是中檔題.本題第二問解題的關鍵在于利用絕對值三角不等式得，進而轉化為證明，再結合基本不等式求解即可.7．已知函數(shù)（）（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）當時，證明：對任意的，.【來源】寧夏銀川一中2022屆高三上學期第一次月考數(shù)學（文）試題【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)求導，分和兩種情況判斷導數(shù)的正負，從而可求得函數(shù)的單調區(qū)間，（2）要證明，只需證明，構造函數(shù)，則問題轉化為證明對任意的，，然后利用求出的最小值大于零即可【詳解】（1）函數(shù)的定義域是，當時，對任意恒成立，所以，函數(shù)在區(qū)間單調遞增；當時，由得，由，得，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減；綜上：時，的單調增區(qū)間為，無單調減區(qū)間.時，的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.（2）當時，，要證明，只需證明，設，則問題轉化為證明對任意的，，，易知在上單調遞增，因為，，故存在唯一的使得，則滿足，當x變化時，和變化情況如下表x0遞減遞增，因為，且，所以，因此不等式得證.【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數(shù)的應用，考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，考查利用導數(shù)證明不等式，解題的關鍵是要證明，只需證明，構造函數(shù)，則問題轉化為證明對任意的，，然后利用導數(shù)解決即可，考查數(shù)學轉化思想和計算能力，屬于較難題8．設，已知函數(shù)在點處的切線方程為．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）證明：當時，．【來源】浙江省金華十校2021屆高三下學期4月模擬考試數(shù)學試題【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析.【分析】（I）求導，根據(jù)導數(shù)幾何意義即切線斜率，，結合，求得參數(shù)值.（II）由（Ⅰ）可知，分別證得（化簡得），，從而將轉化為，易知當，右式小于0.當時，函數(shù)單增，單減，則，從而證得結論.【詳解】解：（Ⅰ）由題意得：，則，解得，又，可得．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（ⅰ）先證：由，即，得證．（ⅱ）再證：．∵，令，則．當時，．即在上單調遞增，∴，得證.（ⅲ）由（ⅰ）可得，即有．結合以上結論及（ⅱ）可得，當時，．令∴當，有；（ⅳ）當時，函數(shù)單增，單減則．綜上，原不等式得證．【點睛】方法點睛：對于指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分式等函數(shù)組合成的不等式恒成立問題，可以通過放縮法證得.如本題中使用的，，將冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)均放縮成分式函數(shù)，易于求解.9．已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）令，證明：.【來源】福建省廈門市2021屆高三5月二模數(shù)學（A卷）試題【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）依題意可得，再兩邊取倒數(shù)，即可得到，從而得證；（2）由（1）可得，則，利用放縮法得到，再利用裂項相消法求和即可得證；【詳解】解：（1）因為，所以，因為，所以﹐所以所以又因為.所以是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）得，所以，所以，所以，所以即，【點睛】數(shù)列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)、對稱性相關聯(lián)的數(shù)列的求和．(2)錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和．(3)分組求和：用于若干個等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和．10．已知函數(shù).（1）若時，，求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：.【來源】河南省洛陽市2021屆高三二模數(shù)學（理）試題【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）先分離參數(shù)轉化為求函數(shù)的最小值，通過求導函數(shù)，進而分析單調性再求得最小值得出結果；（2）由（1）知：恒成立，即，則累加后結合放縮法即可證明命題．【詳解】解：（1）不等式，即為，記，故，令，則，∵，∴在單調遞增，故，故，故在上單調遞增，故，故；（2）由（1）知：恒成立，即，令，則，故，，累加得：，故．【點睛】方法點睛：已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解．11．已知數(shù)列的前n項和為，若.（1）求通項公式；（2）若，為數(shù)列的前n項和，求證：.【來源】2022屆高三數(shù)學一輪復習【答案】（1）；