到目前為止，我們考慮的都是參數線性，同時又是變量線性的模型。本章將考慮參數線性，但變量不一定是線性的模型。雙對數模型或不變彈性模型半對數模型倒數模型所有這些模型的一個重要特征是，它們都是參數線性模型，但變量卻不一定是線性的。一、雙對數模型1.模型假設有如下函數Y

AX

B2i

i從模型可知，就我們目前的知識，無法用普通最小二乘法估計這樣的模型。但我們可以把以上模型作如下變化，得到：繼而，如果令B1

ln

A，則有：ln

ui以上模型稱為雙對數模型，或雙對數線性模型。iln

Y如果

ln

Yi

和ln

Xi

都看作單獨的變量，那么就可以將雙對數模型變為變量線性模型。試作如下變換

，

，得到

：iY

B

B

X

u1

2

i

i如果上式滿足古典線性回歸模型的基本假定，則很容易用普通最小二乘法估計，從而得到BLUE估計量。2.雙對數模型系數的特殊含義與變量線性回歸模型不同，雙對數模型的斜率系數B2

度量了Y對X的彈性，即X的變動引起Y變動的百分比。如果用符號Y

代表Y的一個微小變動，X

代表X的一個微小變動，則彈性E定義為：E

Y變動的百分數

Y

/

Y

100

YX變動的百分數

X

/

X

100

XX

slop(

X

)Y

Y從圖形上看，變量線性的回歸模型的圖形是一條直線，而雙對數模型的圖形是一條曲線，并且對于不同的X值來說，都具有相同的彈性。所以，雙對數模型又稱為不變彈性模型。不變彈性模型例子：數學分數（見P23）該例子主要關注

S.A.T大學入學考試中的數學成績與家庭收入之間的關系。即：

數學成績與家庭收入之間的回歸關系。３.雙對數模型的假設檢驗雙對數模型的假設檢驗與線性模型沒有任何不同。在隨機誤差項服從正態分布的假設下，估計的回歸系數服從度為（n-k）的t分布，其中k為包括截距在內的參數個數。比較線性和雙對數回歸模型（一個經驗問題）對于數學成績支出一例來說，線性支出模型和雙對數模型哪個更合適？作散點圖，通過散點圖來判斷。（這種方式只適合雙變量模型）比較兩個模型的

值。該方法要求應變量的形式必須是相同的。即使兩個模型中的r

2

應變量相同，兩個

值可以直接比較，我們也建議不要根據最高 值這一標準選擇模型r。2

而應該首先考慮進入模型中的解釋變量之間的r

2

相關性、解釋變量系數的預期符號、統計顯著性以及類似彈性系數這樣的度量工具。5.多元對數線性回歸模型對于三變量對數線性模型來說：模型中的偏斜率系數B2

、B3

又稱為偏彈性系數。因此，B2度量了X

3

不變條件下，Y

對X

2

的彈性，即在X

3

為常量時，X

2每變動1%引起的Y

變化的百分比。類似地，B3

度量了X

2

不變條件下Y

對X

3

的彈性。二、如何測度增長率：半對數模型1.半對數模型先看一個例子：根據下表中的

人口數據求1975-2007年的人口增長率。考慮如下復利計算公式：Y

Y

(1

r)tt

0YX3iln

ui將上式作如下變形，等式兩邊取對數，得：ln

Yt

ln

Y0如果令B1

因此，可得：ln

Yt

B1將上式變化成為經濟計量模型，得到：形如上式的回歸模型稱為半對數模型或者增長模型、對數-線性模型。利用OLS方法估計 一例的半對數模型，得到：

t

ln(1

r)B2

lnln

Yt

B12r

2ln(uspop)

5.3593

0.0107

tse

(0.0006)(0.0000)t

(3321.13)(129.779)

0.9982人口增長一例估計的樣本回歸線人口一例估計的半對數模型中，斜率0.0107表示，平均而言， 人口的年增長率為0.0107。截距5.36的

數（為212.576）可以表示1974年的人口值。2.瞬時增長率與復合增長率2

2于是：由b

B

的估計值

ln(1

r)

可知r

eb2

1在

人口增長率一例中，有：此處要注意的是，通過對半對數模型估計所得到的斜率b2的值為0.0107，該值為

人口的瞬時增長率，而通過計算而得到的r

值0.010757稱為復合增長率。3.線性趨勢模型形如如下形式的模型稱為線性趨勢模型：eb2

1

rr

e0.01071

1.010757

1

0.010757對 人口增長率一例線性趨勢模型的OLS估計結果如下：回歸結果表明，在樣本區間內，人口每年以2.757(百萬)的絕對速度增長。因而人口表現出向上的趨勢。截距表明1969年的人口數為210（百萬）。４.線性－對數模型：解釋變量是對數形式考慮如下例子：個人總消費支出與服務支出的關系（1993.1～1998.3,1992年 價，10億

），數據見下表：Yt

B1

B2t

utr

2uspopt

209.6731

t

(287.4376)2.757t(73.6450)

0.99431993.1～1998.3個人總消費支出與各類支出的季度數據（10億）以個人總消費支出X與服務支出Y的關系為例，得到線性－對數模型如下：Yt

B1

B2

ln

Xt

ut利用最小二乘法估計以上模型，回歸結果如下：在以上回歸結果中，斜率系數表示，如果個人總消費支出。增加1個百分點，則平均服務支出將增加24.32(10億）作出這一解釋是因為，線性-對數模型中的斜率系數可以表示為：r

2(89.89)(0.00)

0.9Y?

tse

(228.61)t

(78.33)p

(0.00)2

Y的絕對變化

YX的相對變化

X

/

XB而上式又可以表示為：所以，線性-對數模型中的斜率系數可以解釋為，解釋變量的相對變化所引起的應變量的絕對變化量。三、倒數模型形如下式的模型稱為倒數模型（reciprocal

model）：倒數模型的一個顯著特征是，隨著X

的無限增大，(1/

Xi

)趨于零，Y

接近漸進值或極限值B1

。因此，當變量X

無限增大

時，倒數模型中的應變量的取值將逐漸靠近其漸進線或極值。2XY

B

(

X

)Yi

B1

B2Xi下圖描繪了倒數模型的一些曲線形狀：倒數模型：Yi

B1

2上圖ａ）中，若Ｙ表示生產的平均固定成本(AFC)，Ｘ代表產出，則根據經濟理論，隨著產出的不斷增加，平均固定成本將逐漸降低，最終接近產出軸。上圖ｂ）中的曲線可用來表示

消費曲線。該曲線表明消費者在某一個商品上的支出與其總收入或總消費支出的關系。若Ｙ表示消費者在某一個商品上的消費支出，Ｘ表示消費者的總收入，則該商品具有如下特征(1)收入有一個臨界值，在此臨界值下，不能某商品。在圖ｂ）中，收入的臨界值是 。(2)消費有一個滿足水平，2(B在此水平之上，無論消費者的收入有多高，也不會再有任何消費。上圖Ｃ）中可以用來表示宏觀經濟學中著名的

曲線。斯根據英國貨幣工資變化的百分比(Y)與失業率(X)的數據，得到了形如圖Ｃ）的曲線。圖中，工資隨著失業水平的變化是不對稱的。當失業率低于U

N

時，工資U

隨N

失業率單位變化的變化比失業率高于

U

N

時更快，

稱U

N

為自然失業率。曲線（p113）例1： 1958-1969年的利用Eviews得到如下回歸結果：樣本回歸方程為：t

(0.

26)(4.

400.

202.569

1Y?XiR2

0)6.

6i例2：共同基金收取的咨詢費下表給出了 共同基金支付給投資顧問管理資產的費用。支付的費用與基金的凈資產有關。共同基金的管理費用首先作上表的散點圖用與資產規模的散點圖由散點圖可知，兩個變量之間的關系是非線性的，具有一定的倒數關系。所以考慮采用倒數模型。利用如下的倒數模型采用最小二乘法得到回歸結果如下：Dependent

Variable:

FEEMethod:

Least

SquaresDate:

10/29/08

Time:

11:21Sample:

112Included

observations:

12VariableCoefficientStd.

Errort-StatisticProb.C0.4204120.01285832.697150.0000DASSET0.0549300.0220992.4856100.0322R-squared0.381886Mean

dependent

var0.432317Adjusted

R-squared0.320075S.D.

dependentvar0.0501