第三章 復變函數的積分第1節

積分的概念01有向曲線在復變函數積分時，將要用到有向曲線的概念，如果一條光滑或逐段光滑曲線規定了其起點和終點，則稱該曲線為有向曲線，曲線的方向是這樣規定的：(1)

如果曲線L是開口弧段，若規定它的端點P為起點，Q為終點，則沿曲線L

從P到Q

的方向為曲線L的正方向（簡稱正向），把正向曲線記為L或L+.

而由Q到P的方向稱為L的負方向（簡稱負向），負向曲線記為L

.02(2)如果向為正方向，順時針方向為負方向．L是簡單閉曲線，通常總規定逆時針方L是復平面上某一個復連通域的邊界曲(3)如果線，則L的正方向這樣規定：當人沿曲線

行L走時，區域總保持在人的左側，因此外部邊界部分取逆時針方向，而邊界曲線取順時針為正方向．03復變函數的積分設在復平面C上有一條連接z0及z兩點的簡單曲線C。設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上的連續函數。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的實部及虛部.把曲線C用分點z0,z1

,zn-1,…,zn=z分成n個更小的弧，在這里分點zk

(k

0,1,2,...,n)是在曲線C上按從z0到z的次序排列的。到zk

1

的弧上任意一點，那么考zk如果

k

是慮和式lim

n1f

(

k

)zkk

0

0都存在且唯一，則稱此極限為函數f

(z

)沿曲線弧C的積分.Cf

(z)d

z記作04z1z0kzkzk

1zn

Zzn1C05

iyk

,將各函數代數化設

zk

xk

iyk,zk

zk

zk

1

xk

iyk

(

xk

1

iyk

1

)n06

(

xk

xk

1

)

i(

yk

yk

1

)

xk

k

k

ik

,f

(

k

)

u(k

,k

)

iv(k

,k

)Sn

f

(

k

)

zkk

1n

[u(k

,k

)

i

v(k

,k

)](xkk

1

iyk

)nk

1

Sn

[u(k

,k

)xk

v(k

,k

)yk

]n

i[v(k

,k

)xk

u(k

,k

)yk

]k

1(2)求極限f

(z)

u(x,y)

i

v(x,y)在C上連續,

u(x,y)和v(x,y)在C上連續,當n

無限增大而弧段長度的最大值趨于零時,不論對C

的分法任何,點(k

,k

)的取法如何,下式兩端極限存在,07nnnk

1k

1

i[v(k

,k

)xk

u(k

,k

)yk

]

f

(

k

)zk

[u(k

,k

)xk

v(k

,k

)yk

]k

108Cf

(z)dzCCvdx

udyudx

vdy

i在形式上可以看成是f

(z)

u

iv

與dz

dx

idy

相乘后求積分得到:Cf

(z)dz(u

iv

)(dx

idy)Cudx

ivdx

iudy

vdyC

C

udx

vdy

i

C

vdx

udy.

C

f

(z)dz

C

C

vdx

udyudx

vdy

i如果C是簡單光滑曲線：x

(t),y

(t)(t0

t

T

)，并且

t0及T相應于，z0那及么Z上式右邊的積分可以寫成積分的形式，因此，有Tt0u(,

)

'(t)dtf

(z)dz

tC0,)]['(t)

i'(t)]dt[u(,)

iv(0T

Tv(,)

'(t)dtt0tTu(,)

'(t)dt0v(,)

'(t)dtTt090可以看到，把dz形式地換成微分，就直接得到上式，因此有TC

tf

(z)dz

f

(z(t))z

'(t)dt

(3.1)

010011復變函數的積分的性質：復變函數積分的基本性質：設f(z)及g(z)在簡單曲線C上連續，則有C

f

(z)dz

C

f

(z)dz,其中是一個復常數C

[

f

(z)

g(z)]dz

C

f

(z)dz

C

g(z)dz;C

f

(z)dz

C

f

(z)dz

C

f

(z)dz

...

C

f

(z)dz1

2

n其中曲線C是由光滑的曲線C1,C2

,..連.,Cn接而成；（4）Cf

(z)dz

C

f

(z)dz,積分是在相反的方向上取的。012如果C是一條簡單閉曲線，那么可取C上任意一點作為取積分的起點，而且積分當沿C取積分的方向改變時，所得積分相應變號。（5）如果在C上，|f(z)|<M，而L是曲線C的長度，其中M及L都是有限的正數，那么有，|

C

f

(z)dz

|

ML證明：因為k

1

k

1兩邊取極限即可得結論。n1

n1|

f

(

k

)(zk

1

zk)

|

M

|

zk

1

zk

|

ML例1

計算

C

zdz,

C

:

從原點到點3

4i

的直線段.解C的參數方程為:

z

(3

4i)t,

0

t

1dz

(3

4i)dt,12

zdz

C

0tdt102(3

4i)

tdt

(3

4i)2

2013

(3

4i)2

7=

-

i12.C

zdz

C

xdx

ydy

i

C

ydx

xdy這兩個積分都與路線C

無關所以不論C

是怎樣從原點連接到點3

4i

的曲線,(3

4i)2C

zdz

27014

-

i12.2又因為C

zdz

C

(x

iy)(dx

idy)例2

計算

C

Re

zdz,

其中C

為:從原點到點1

i

的直線段;拋物線y

x2

上從原點到點1

i

的弧段;從原點沿x

軸到點1

再到1

i

的折線.解(1)

積分路徑的參數方程為(0

t

1),dz

(1

i)dt,z(t

)

t

it于是Re

z

t,CRe

zdz

1021t(1

i)dt

(1

i);xyo1

i1i015(2)積分路徑的參數方程為z(t

)

t

it

2

(0

t

1),于是

Re

z

t, dz

(1

2ti

)dt,xyo1

i1iy

x2

1C

0Re

zdz

t(1

2it

)dt

1

2

32i

t

2

t

3

01

22

3016

i;xyo1ix21

iy

(3)

積分路徑由兩段直線段構成x軸上直線段的參數方程為z(t

)

t于是

Re

z

t, dz

dt,(0

t

1),1到1+i直線段的參數方程為z(t

)

1

it

(0

t

1),于是

Re

z

1, dz

idt,C01

10

Re

zdz

tdt

1

idt2017

1

i.例3解

積分路徑的參數方程為計算

C

z

dz,

其中C

為:

圓周z

2.(0

2π

),z

2eiCz

dz

2π0i2

2ie

ddz

2iei

d(

因為

z

2

)018

4i

0.2π0(cos

i

sin

)d例4

求徑的正向圓周,

n

為整數.解

積分路徑的參數方程為dz

,

C

為以z

為中心,

r

為半10n1(z

z

)Cz0yxorz0(0

2π

),iz

z0

reC(z

z

)n1dz10rn1ei

(

n1)

d2π0irei0019n

2πein

d

,r

izxyorz0n1(z

z0

)Cdz當n

0

時,1

i2π0d

2i;當n

0

時,C(z

z

)n1100rdz

in

2π(cos

n

i

sin

n

)d

0;z

z

r01(z

z

)n10所以n

0,0,

n

0.dz

2i,重要結論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關.020第2節

積分基本定理通過前面的例題 發現，例1中的被積函數，它沿連接起點及終點的任何路徑的積分值都相同，換句話說，積分與路徑無關．例2中的被積函數積分與路徑是有關的．自然要問：函數在什么條件下，積分僅與起點和終點有關，而與積分路徑無關呢？可以證明下列定理:021zf

(

)d定理定理3.1設f(z)是單連通區域D的解析函數，設C是D內任一條簡單閉曲線，那么C

f

(z)dz

0其中，沿曲線C的積分是按反時針方向取的。C是在D內連接z0及z兩點的任一條簡單曲線，那么沿C從z0到z的積分值由z0及z所確定，而不依賴于曲線C，這時，積分記為.z022L

f

(z)dz

L

udx

vdy

i

Lvdx

udy23(DD )dxdy

i(

)dxdyx

y

v

u

u

vx

y定理3.2解析函數積分與路徑無關如果函數f

(z)在單連通l域D

內處處解析，則積分

f

(z)dz與連接起點及終點的路徑無關．LDlPQMN或者：

設C是一條簡單閉曲線，函數f圖(z3)3在以C為邊界的有界閉區域D上解析，那么C

f

(z)dz

02425定理3.3設f(z)是單連通區域D的解析函數，那么在D內有函數,其導數為f(z)。證明：取定z0

D,任取z

D

，由定理3.1，得0zzf

(

)dF

(z)

是在D內確定的一個函數。取

D,

0,

0,00zzF

(z)

F

(

)

f

(

)d

z

f

(

)d當z

DU(,

)時,f

(z)

f

(

)

26D中兩個積分看作沿兩條簡單曲線取的，而其中一條是另一條曲線與連接α及z的線段的并集。于是有這里積分是沿α及z的聯線取的，F

(z)

F

(

)

(z

)

f

(

)

z

)]d[

f

(

)

f

(F

(z)

F

(

)

(z

)

f

(

)

)]d[

f

(

)

f

(z

z

F(z)

F

(

)

(z

)

f

(

)

27z

F

(

)于是即證畢。28【另證】令則z0F

(z)

f

(

)dz0

00

0(

x,

y

)(

x,

y

)(

x

,

y

)(

x

,

y)dy

ivdx

udyudx

v(

x,

y)(

x0

,

y0

)P(x,

y)

udx

vdy(

x0

,

y0

)(

x,

y)Q(x,

y)

vdx

udyF

(z)

P(x,

y)

iQ(x,

y)因為P(x,

y)

和Q(x,

y)是與路徑無關的，因此故F

(z)

是D內的一個解析函數，且F

(z)

P

i

Q

u

iv

f

(z).x

xP

Q

,29P

Q

.x

y

y

x可見,

F

(z)

P(x,

y)

iQ(x,

y)的實部和虛部可微且滿足C-R條件，30設f(z)及F(z)是區域D內確定的函數，F(z)是D內的一個解析函數，并且在D內，原函數，則有有

F

'(z)

f，(z)那么函數F(z)稱為f(z)在區域是D內的一個不定積分或原函數；除去可能相差一個常數外，原函數是唯一確定的。即f(z)的任意兩個不定積分或原函數的差是一個常數。事實上，設F(z)及G(z)都是f(z)在區域是D內的[F

(z)

G(z)]'

031引理1

設f(z)單連通區域D內處處解析，并且在D內有原函數G(z)。如果

z0

,

z1

D

，并且C是D連接

z0

,

z1

的一條曲線，那么C

f

(z)dz

G(z1

)

G(z0

)320zzG(z)

F

(z)

C

，所以

F(z)f

(

)d

G(z)

C

．因此0當z

z0

時，得G(z0

)

C

0

，推出C

G(z0

).zzf

(

)d

G(z)

G(z0

)令z

z1

，得到0z1f(z)dz

G(z1

)

G(z0

)zz0F

(z)

f

(

)d

是zf(【證明】注意到函數的一個原函數，故典型應用實例【解】

函數z

sin

z2

在

z

平面上解析，

易知

1

cos

z2

為它的一個原函數，根2據復積分的

－

公式有2

212z

sin

z

dz

cos

z2

1

cos

a2

cos

b2bbaa例

4

計算積分2z

sin

z

dzba33例5

計算積分因而積分與路徑無關，可用分部積分法得i0z

sin

zdz【解】由于z

sin

zi

i3400i00

z(cos

z)

i

(cos

z)dzz

sin

zdz

zd(

cos

z)

i

co

i(cosi

isin

i)

ie在復平面內處處解析，定理3.5復DC1,C2

,,CnL,C1,C2

,,Cnf

(z)L為閉復D

內的 單閉曲且彼此既不全含于閉區域

D明有成立.這里

為方向（將復連通

f

(z)dz

0k35C

(k

1,

2,...n)kC

按順時針方向L1C

DC

2kC36knf

(z)dzk

1(2)

L

f

(z)dz

C成立，其中L

以及Ck

都取逆時針方向．不失一般性，取n＝1進行證明.有下述定理：37定理3.6

設

L和C1為復連通區域內的兩條簡單閉曲線，如圖3.5所示，C1

在L

且彼此不相交，以

C1

和L為邊界所圍成的閉區域

D1

全含于D．則對于區域D內的解析函數

f(

有1LCf

(z)dz

01LCf

(z)dzf

(z)dz

38L391ABC

1DD定理3.6閉路變形原理在區域D

內的一個解析函數沿閉曲線的積分不因閉曲線在D

內作連續變形而改變積分的值,只要在變形的過程中曲線不經過函數f

(z)不解析的z0點.L40L例如本章例3中，當L為以z0為中心的正向圓周，根據閉路變形原理，對成立．0時：L

z

z于包含

z0

的任何一條簡單閉曲線

l

,都有L

z

z0l

z

z0