20/20鄂南高中黃岡中學(xué)黃石二中荊州中學(xué)龍泉中學(xué)武漢二中孝感高中襄陽四中襄陽五中宜昌一中夷陵中學(xué)2021屆高三湖北十一校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題命題學(xué)校：襄陽五中命題人：張華齊薛東洋審題人：袁進(jìn)考試時(shí)間：2020年12月9日下午15：00—17：00試卷滿分：150分一、單選題（共本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．設(shè)全集為，集合，，則（）A． B．C． D．2．已知（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為，則（）（）A． B． C． D．3．書籍，，，（其中為自然對數(shù)）則（）A． B． C． D．4．為了增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，強(qiáng)化學(xué)生的理解，某學(xué)校開展了一次戶外探究．當(dāng)?shù)赜幸蛔剑叨葹椋瑢W(xué)們先在地面選擇一點(diǎn)，在該點(diǎn)處測得這座山在西偏北方向，且山頂處的仰角為；然后從處向正西方向走米后到達(dá)地面處，測得該山在西偏北方向，山頂處的仰角為．同學(xué)們建立了如圖模型，則山高為（）A．米 B．米 C．米 D．米5．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是等差數(shù)列，若，則（）A． B． C． D．6．已知直線，，平面、，其中，在平面內(nèi)，下面四個命題：①若，則； ②若，則；③若，則； ④若，則．以上命題中，正確命題的序號是（）A．①② B．②④ C．①③ D．③④7．設(shè)，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．蹴鞠，又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以腳蹴，蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．打印屬于快速成形技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層堆疊累積的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)（即“積層造型法”）．過去常在模具制造、工業(yè)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域被用于制造模型，現(xiàn)正用于一些產(chǎn)品的直接制造，特別是一些高價(jià)值應(yīng)用（比如髖關(guān)節(jié)、牙齒或一些飛機(jī)零部件等）．已知某鞠的表面上有四個點(diǎn)、、、，滿足任意兩點(diǎn)間的直線距離為，現(xiàn)在利用打印技術(shù)制作模型，該模型是由鞠的內(nèi)部挖去由組成的幾何體后剩余的部分，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量約為（）（參考數(shù)據(jù)：取，，，精確到）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題列出的四個選項(xiàng)中，有多個選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分）9．我國技術(shù)研發(fā)試驗(yàn)在2016-2018年進(jìn)行，分為關(guān)鍵技術(shù)試驗(yàn)、技術(shù)方案驗(yàn)證和系統(tǒng)驗(yàn)證三個階段實(shí)施．2020年初以來，技術(shù)在我國已經(jīng)進(jìn)入高速發(fā)展的階段，手機(jī)的銷量也逐漸上升，某手機(jī)商城統(tǒng)計(jì)了近5個月來手機(jī)的實(shí)際銷量，如下表所示：月份2020年6月2020年7月2020年8月2020年9月2020年10月月份編號12345銷量/部5096a185227若與線相關(guān)，且求得線回歸方程為，則下列說法正確的是（）A． B．與正相關(guān)C．與的相關(guān)系數(shù)為負(fù)數(shù) D．12月份該手機(jī)商城的手機(jī)銷量約為部10．已知是橢圓的右焦點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，為橢圓上的動點(diǎn)，且橢圓上至少有個不同的點(diǎn)，，，，…組成公差為的等差數(shù)列，則（）A．的面積最大時(shí)， B．的最大值為8C．的值可以為 D．橢圓上存在點(diǎn)，使11．在數(shù)學(xué)史上，為了三角計(jì)算的簡便并且更加追求計(jì)算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過下列兩種三角函數(shù)：定義為角的正矢，記作為角的余矢，記作，則下列命題中正確的是（）A．函數(shù)在上是減函數(shù)B．若，則C．函數(shù)，則的最大值D．12．已知函數(shù)（為常數(shù)），則下列結(jié)論正確的有（）A．若有個零點(diǎn)，則的范圍為B．時(shí)，是的極值點(diǎn)C．時(shí)，是零點(diǎn)，且D．時(shí)，恒成立三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13．已知單位向量、的夾角為，與垂直，則_________．14．設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是____________．（用區(qū)間表示）15．湖北省2021年的新高考按照“”的模式設(shè)置，“”為全國統(tǒng)一高考的語文、數(shù)學(xué)、外語門必考科目；“”由考生在物理、歷史門中選考門科目；“”由考生在思想政治、地理、化學(xué)、生物學(xué)門中選考門科目．則甲，乙兩名考生在門選考科目中恰有兩門科目相同的條件下，均選擇物理的概率為________．16．已知，分別為曲線的左、右焦點(diǎn)，的離心率，過的直線與雙曲線的右支交于、兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在第一象限），設(shè)點(diǎn)、分別為、的內(nèi)心，則的范圍是_______．（用只含有的式子表示）四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10）已知在中，為鈍角，，．（1）求證：；（2）設(shè)，求邊上的高．18．（12分）已知等差數(shù)列與下項(xiàng)等比數(shù)列滿足，且，20，既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）在（1），（2），（3）這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并完成求解．若_______________，求數(shù)列的前項(xiàng)和．注：如果選擇多個條件分別作答，按照第一個解答計(jì)分．

19．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)，分別在，，且，．設(shè)．（1）當(dāng)異面直線與所成角的大小為，求的值．（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的大小．20．（12分）新冠肺炎是2019年12月8日左右出現(xiàn)不明原因肺炎，在2020年2月11日確診為新型冠狀病毒肺炎．新型冠狀病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID-19）是由嚴(yán)重急性呼吸系統(tǒng)綜合征冠狀病毒2（severeacuterespiratorysyndromecoronavirus2，SARS-CoV-2）感染后引起的一種急性呼吸道傳染病．現(xiàn)已將該病納入《中華人民共和國傳染病防治法》規(guī)定的乙類傳染病，并采取甲類傳染病的預(yù)防、控制措施．2020年5月15日,習(xí)近平總書記主持召開中共中央政治局會議，討論國務(wù)院擬提請第十三屆全國人民代表大會第三次會議審議的《政府工作報(bào)告》稿．會議指出，今年下一階段，要毫不放松常態(tài)化疫情防控，著力做好經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展各項(xiàng)工作．某企業(yè)積極響應(yīng)政府號召，努力做好復(fù)工復(fù)產(chǎn)工作．準(zhǔn)備投產(chǎn)一批特殊型號的產(chǎn)品,已知該種產(chǎn)品的成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為：．該種產(chǎn)品的市場前景無法確定，有三種可能出現(xiàn)的情況，各種情形發(fā)生的概率及產(chǎn)品價(jià)格與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式如下表所示：市場情形概率價(jià)格與產(chǎn)量函數(shù)關(guān)系式好中差設(shè)，，分別表示市場情形好、中、差時(shí)的利潤，隨機(jī)變量表示當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)而市場前景無法確定的利潤．

21．（12分）已知直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，滿足．定點(diǎn)，，是拋物線上一動點(diǎn)，設(shè)直線，與拋物線的另一個交點(diǎn)分別是，．（1）求拋物線的方程；（2）求證：當(dāng)點(diǎn)在拋物線上變動時(shí)（只要點(diǎn)、存在且不重合），直線恒過一個定點(diǎn)；并求出這個定點(diǎn)的坐標(biāo)．22．（12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若是的兩個零點(diǎn)．證明：（ⅰ）； （ⅱ）．2021屆高三湖北十一校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)答案1．B2．A3．B4．C5．C6．C7．A8．C9．AB10．ABC11．BD12．AC1．B由題意知：，，所以，所以2．A，則，．3．B因?yàn)椋裕裕?．C設(shè)山的高度為，在中，，，在中，，，在中，，由余弦定理得，；即，化簡得；又，所以解得；即山的高度為（米）．5．C依題意，是等差數(shù)列，則數(shù)列為等差數(shù)列，則．故選：C．6．C對于①，若，由得到直線，所以；故①正確；對于②，若，直線在內(nèi)或者，則與的位置關(guān)系不確定；對于③，若，則，由面面垂直的性質(zhì)定理可得；故③正確；對于④，若，則與可能相交；故④錯誤；所以C選項(xiàng)是正確的．7．A由題意可知：，又，所以，可得；但，當(dāng)，時(shí)，矛盾；故選A8．C正四面體外接球問題，所需要材料即為正四面體外接球體積與正四面體體積差。正四面體的棱長為，則正四面體的高為，外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為．所以打印的體積為：，又，所以，故選C9．AB由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得，所以，于是得，解得，故A正確；由回歸方程中的的系數(shù)為正可知，與正相關(guān)，且其相關(guān)系數(shù)，故B正確，C錯誤；12月份時(shí)，，部，故D錯誤．10．ABC由橢圓，當(dāng)點(diǎn)為短軸頂點(diǎn)時(shí)，最大，的面積最大，此時(shí)，此時(shí)角為銳角，故A正確、D錯誤；橢圓上的動點(diǎn)，，即有，又橢圓上至少有個不同的點(diǎn)，，，，…組成公差為的等差數(shù)列，所以最大值8，B正確；設(shè)，，，…組成的等差數(shù)列為，公差，則，，又，所以，所以，所以的最大值是，故C正確。11．BD，在單調(diào)遞減，所以A錯誤；因?yàn)椋瑒t，即，所以B正確；對：，所以則的最大值4．，故D正確。12．AC若有個零解，即與有三個交點(diǎn)，若，則則在上單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)的值域?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在此區(qū)間內(nèi)的值域?yàn)楣逝c有三個交點(diǎn)，則，故A正確若，則，，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，故在上單調(diào)遞減，故B錯誤若，則，此時(shí)僅有個零點(diǎn)，且，又，，則，故C正確若，則，當(dāng)時(shí)，，故D錯誤13．由題意，又與垂直，所以，所以14．為奇函數(shù)且為增函數(shù)，即為；所以，所以15．分類：（1）物理（歷史）大類中有兩門相同的方法：，共48種；（2）物理和歷史兩大類間有兩門相同的方法：；所以在門選考科目恰有兩門科目共種；所以均選擇物理的概率為16．由曲線的性質(zhì)可得：、的內(nèi)心、在直線上，設(shè)的右頂點(diǎn)為，直線的傾斜角為，則，且，在中，，，則又，即，故17．（1）證明：，，又， 5分（2）解：由（1）知，即：，將代入上式并整理得：又因?yàn)闉殇J角，，所以解得，． 7分設(shè)上的高為，則，得，故邊上的高為． 10分18．（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由題得，即解得，，所以，，； 6分（Ⅱ）（1），則故 12分（2），；，①，②由①-②，得，即 12分（3）則故 12分19．解：因?yàn)橹比庵云矫妫驗(yàn)槠矫妫裕忠驗(yàn)椋越⒎謩e以，，為，，軸的空間直角坐標(biāo)系．（1）設(shè)，則，，各點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，．，． …2分因?yàn)椋之惷嬷本€與所成角的大小為，所以．所以． …6分（2）因?yàn)椋O(shè)平面的法向量為，則，且．即，且．令，則，．又，所以是平面的一個法向量．同理，是平面的一個法向量． 10分所以，所以平面平面，當(dāng)時(shí)，二面角的大小為 12分20．解：（1）根據(jù)所給的表格中的數(shù)據(jù)和題意寫出 2分同理可得： 4分 6分（2）由期望定義可知 8分（3）可知是產(chǎn)量的函數(shù)，設(shè)則， 10分令，則．由題意及問題的實(shí)際意義可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，即最大時(shí)的產(chǎn)量為10． 12分21．（1）將代入，得化簡得：所以，； …2分因此：又，所以；得，拋物線的方程 5分（2）證明：設(shè)、、坐標(biāo)分別是，，，由、、共