1、第三章中值定理研究函數性質及曲線性態利用導數解決實際問題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式 (第三節)推廣微分中值定理 與導數的應用 1一、羅爾( Rolle )定理第一節二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 中值定理 第三章 2費馬(fermat)引理且 存在證: 設則證畢3一、羅爾(Rolle)定理例如,4幾何解釋:5證6注意:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其結論可能不成立.例如,又例如,7例1證由介值定理即為方程的小于1的正實根.矛盾,8二、拉格朗日(Lagrange)中值定理9幾何解釋:證分析:弦AB方程為10作輔助函數拉格朗日中值公式注意:拉氏公

2、式精確地表達了函數在一個區間上的增量與函數在這區間內某點處的導數之間的關系.11拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.微分中值定理推論12例2證13例3證由上式得14三、柯西(Cauchy)中值定理15幾何解釋:證作輔助函數16例4證分析:結論可變形為17例5. 試證至少存在一點使證: 法1 用柯西中值定理 .則 f (x) , F(x) 在 1 , e 上滿足柯西中值定理條件, 令因此 即分析:18例5. 試證至少存在一點使法2 令則 f (x) 在 1 , e 上滿足羅爾中值定理條件,使因此存在19四、小結Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值

3、定理羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關系；注意定理成立的條件；注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.20三、其他未定式 二、 型未定式一、 型未定式第二節洛必達法則 第三章 21微分中值定理函數的性態導數的性態函數之商的極限導數之商的極限 轉化( 或 型)本節研究:洛必達法則22定義例如,23定理定義 這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則.24證定義輔助函數則有25例1解例2解26例3解例4解27例5解28例6. 求解:原式例7. 求解: (1) n 為正整數的情形.原式29例8 求(2) n 不為正整數的情形.從而由(1)用夾逼準則

4、存在正整數 k , 使當 x 1 時,30例3. 例4.說明:1) 例6 , 例7 表明時,后者比前者趨于更快 .例如,而用洛必達法則2) 在滿足定理條件的某些情況下洛必達法則不能解決 計算問題 . 313) 若例如,極限不存在32注意：洛必達法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結合使用，效果更好.例9解33例 求解:注意到原式34三、其他未定式:解決方法:通分轉化取倒數轉化取對數轉化35例 求分析: 為用洛必達法則 , 必須改求法1 用洛必達法則但對本題用此法計算很繁 ! 法2原式36例10解步驟:例. 求解: 原式37例11解步驟:38解: 原式例 求39步驟:例12解40例13解例14解41例15解極限不存在洛必達法則失效。注意：洛必達法則的使用條件42三、小結洛必達法則43一、問題的提出三、泰勒(Taylor)中值定理四、簡單的應用44一、問題的提出（如下圖）4546不足:問題:1、精確度不高；2、誤差不能估計.47分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在 點相交48三、泰勒(Taylor)中值定理49證明:50拉格朗日形式的余項皮亞諾形式的余項51注意:52麥克勞林(Maclaurin)公式53四、簡單的應用解代入公式,得54由公式可知估計誤差其誤差55 常用函數的麥克勞林公式56