1、簡(jiǎn)并態(tài)微擾論1第1頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二E1(0) = 1 E2(0) = 3 E3(0) = - 2由非簡(jiǎn)并微擾公式得能量一級(jí)修正（此處每一能級(jí)都要修正！）：2第2頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二能量二級(jí)修正為：準(zhǔn)確到二級(jí)近似的能量為：3第3頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二設(shè) H 的本征值是 E，由久期方程可解得：解得：(2)精確解：如何來(lái)的？與近似解比較：4第4頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二可知，微擾論二級(jí)近似結(jié)果與精確解展開式不計(jì)c4及以后高階項(xiàng)的結(jié)果相同。比較（1）和（2）之解(3) 將

2、準(zhǔn)確解按 c(,|n2,.,|nk，且=顯然它們滿足本征方程：共軛方程為（一）簡(jiǎn)并微擾理論為描述方便，我們將量子數(shù) n 對(duì)應(yīng)的能級(jí)和 k 重簡(jiǎn)并波函數(shù)分別寫為En(0)、|n 。請(qǐng)注意與教材中的|n對(duì)應(yīng)。8第8頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二在用微擾論求解問(wèn)題時(shí)，需要知道某一個(gè)能級(jí)對(duì)應(yīng)的0級(jí)近似波函數(shù)，即在k個(gè)本征函數(shù)中應(yīng)取哪一個(gè)作為波函數(shù)的0級(jí)近似。故在簡(jiǎn)并情況下，首先要解決如何選0級(jí)近似波函數(shù)的問(wèn)題，然后才求能量和波函數(shù)的各級(jí)修正。 0級(jí)近似波函數(shù)肯定應(yīng)從這k個(gè)|n 中挑選，而它應(yīng)滿足上節(jié)按 冪次分類得到的方程：即有k 個(gè)歸一化本征函數(shù): |n1,|n2,.,|nk9

3、第9頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二|n(0) 已是正交歸一化系數(shù) c 由 一次冪方程定出左乘 的最好方法是將其表示成k個(gè)|n的線性組合。10第10頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二11第11頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二得：上式是以展開系數(shù)c為未知數(shù)的齊次線性方程組,它有非零解的條件是系數(shù)行列式為零，即有久期方程12第12頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二解之得一級(jí)修正En(1) 的k個(gè)根: En(1), =1,2, ., k.因En=En(0)+E(1)n 若這k 個(gè)根都不相等,則一級(jí)微擾可將k度簡(jiǎn)并完全

4、消除；若En(1)有重根,則簡(jiǎn)并只是部分消除,須考慮二級(jí)修正能級(jí)才可能完全分裂。13第13頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二為了確定能量 En 所對(duì)應(yīng)的0級(jí)近似波函數(shù)，可以把 E(1)n 之值代入線性方程組從而解得一組c( =1,2,.,k)系數(shù)，將該組系數(shù)代回展開式就能夠得到相應(yīng)的 0 級(jí)近似波函數(shù)。為了能表示出c 是對(duì)應(yīng)第個(gè)能量一級(jí)修正En(1) 的一組系數(shù)，我們?cè)偌右簧辖菢?biāo)而改寫成 c 。14第14頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二這樣一來(lái)，線性方程組就改寫成：15第15頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二例1. 氫原子一級(jí) St

5、ark 效應(yīng)（1）Stark 效應(yīng)氫原子在外電場(chǎng)作用下產(chǎn)生譜線分裂現(xiàn)象稱為Stark 效應(yīng)。（二）實(shí)例我們知道電子在氫原子中受到球?qū)ΨQ庫(kù)侖場(chǎng)作用，造成第n 個(gè)能級(jí)有 n2 度簡(jiǎn)并。但是當(dāng)加入外電場(chǎng)后，由于勢(shì)場(chǎng)對(duì)稱性受到破壞，能級(jí)發(fā)生分裂，簡(jiǎn)并部分被消除。Stark 效應(yīng)可以用簡(jiǎn)并情況下的微擾理論予以解釋。16第16頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二（2）外電場(chǎng)下氫原子 Hamilton 量取外電場(chǎng)沿 z 正向。通常外電場(chǎng)強(qiáng)度比原子內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度小得多，例如,強(qiáng)電場(chǎng)107 伏/米，而原子內(nèi)部電場(chǎng)1011伏/米，二者相差 4個(gè)量級(jí)。所以我們可以把外電場(chǎng)的影響作為微擾處理。17第1

6、7頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二（3） H0 的本征值和本征函數(shù)下面我們只討論 n=2 的情況，這時(shí)簡(jiǎn)并度 n2=4。屬于該能級(jí)的4個(gè)簡(jiǎn)并態(tài)是：18第18頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二即19第19頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二我們碰到角積分 需要利用如下公式：由簡(jiǎn)并微擾理論知,求解久期方程,須先計(jì)算出微擾Hamilton量 在以上各態(tài)的矩陣元。（4）求 在各態(tài)中的矩陣元20第20頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二于是:欲使上式不為 0，由球諧函數(shù)正交歸一性要求量子數(shù)必須滿足如下條件：21第21頁(yè)，共50

7、頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二因?yàn)樗詢H當(dāng)=1,m=0 時(shí)，H的矩陣元才不為0。因此矩陣元中只有 不等于0。對(duì)22第22頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二這是微擾矩陣元的表達(dá)式23第23頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二（5）能量一級(jí)修正解得 4 個(gè)根：由此可見，在外場(chǎng)作用下，原來(lái)4度簡(jiǎn)并的能級(jí) E2(0)在一級(jí)修正下被分裂成3條能級(jí)，簡(jiǎn)并部分消除。將 的矩陣元代入久期方程，得：24第24頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二E2E1無(wú)外電場(chǎng)有外電場(chǎng)當(dāng)躍遷發(fā)生時(shí)，原來(lái)的一條譜線就變成了 3 條譜線。其頻率一條與原來(lái)相同，另外

8、兩條中一條稍高于一條稍低于原來(lái)頻率。見下圖：25第25頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二（6）求新的 0 級(jí)近似波函數(shù)分別將 E2(1) 的 4 個(gè)值代入方程組：得四元一次線性方程組26第26頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二將E2(1)=E21(1) =3ea0 代入上面方程，得：所以相應(yīng)于能級(jí) E2(0)+3ea0 的0級(jí)近似波函數(shù)是：將E2(1)=E22(1)=-3ea0 代入上面方程，得：27第27頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二所以相應(yīng)于能級(jí) E(0)2-3ea0 的0級(jí)近似波函數(shù)是：將E2(1)=E23(1)=E24(1

9、)=0 ，代入上面方程，得：因此相應(yīng)與E2(0)+0 的0級(jí)近似波函數(shù)可以按如下方式構(gòu)成：28第28頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二既然c3, c4 是任意非零常數(shù)，我們不妨仍取原來(lái)的0級(jí)波函數(shù)（經(jīng)常這樣處理），即令：29第29頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二（7）討論上述結(jié)果表明，若氫原子處于新的 0 級(jí)近似態(tài)1(0), 2(0), 3(0), 4(0)時(shí)，氫原子就好象具有了大小為 3ea0 的永久電偶極矩一般。對(duì)于處在1(0), 2(0)態(tài)的氫原子，其電矩取向分別與電場(chǎng)方向平行（+）和反平行（）；而對(duì)于處在3(0), 4(0)態(tài)的氫原子，其電矩取

10、向分別與電場(chǎng)方向垂直（對(duì)能級(jí)無(wú)影響）。30第30頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二總結(jié)： 簡(jiǎn)并微擾論處理問(wèn)題的方法（2）由未微擾哈密頓給出簡(jiǎn)并態(tài)（3）求微擾哈密頓在簡(jiǎn)并態(tài)中的矩陣元（4）解久期方程，給出能量的一級(jí)修正（5）由能量的一級(jí)修正求新的零級(jí)近似波函數(shù)（1）分解體系的哈密頓31第31頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二例2.有一粒子，其 Hamilton 量的矩陣形式為： H = H0 + H，其中求能級(jí)的一級(jí)近似和波函數(shù)的0級(jí)近似。解：H0 的本征值問(wèn)題是三重簡(jiǎn)并的，這是一個(gè)簡(jiǎn)并微擾問(wèn)題。32第32頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星

11、期二E(1)(E(1)2 - 2 = 0(1)求本征能量 由久期方程|H-E(1)I|=0 得：解得：E(1) = 0, .記為：E1(1) =- E2(1) = 0 E3(1) = +33第33頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二故能級(jí)一級(jí)近似：簡(jiǎn)并完全消除(2) 求解 0 級(jí)近似波函數(shù)將E1(1)= 代入方程，得：34第34頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二由歸一化條件：則35第35頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二將E2(1) = 0 代入方程，得：則由歸一化條件：36第36頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二1

12、.新 0 級(jí)波函數(shù)的正交歸一性（1）正交性取復(fù)共厄（三）討論對(duì)處理一次冪所帶來(lái)的系數(shù)公式37第37頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二改記求和指標(biāo) ， 由前知代入有得利用38第38頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二或，上式合起來(lái)可寫為將求和中的 消掉39第39頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二上式表明，新 0 級(jí)近似波函數(shù)滿足正交條件。由(3)式這樣，對(duì)應(yīng)于En=En(0)+En(1) 和 En=En(0)+En(1)的 0 級(jí)近似本征函數(shù)分別為：40第40頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二（2）歸一性對(duì)于同一能量，

13、即角標(biāo) =，則上式變?yōu)椋篍q.(3)和Eq.(4)合記之為：由于新 0 級(jí)近似波函數(shù)應(yīng)滿足歸一化條件，41第41頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二 證：由式使上式變?yōu)?. 可以證明在新 0 級(jí)近似波函數(shù)|n(0)為基矢的 k 維子空間中， 從而 的矩陣形式是對(duì)角化的。42第42頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二因?yàn)?H0在自身表象中是對(duì)角化的，所以在新0級(jí)近似波函數(shù)為基矢的表象中也是對(duì)角化的。當(dāng) = 時(shí)，上式給出如下關(guān)系式：上式最后一步利用了Eq.(5)關(guān)系式。所以 在新0級(jí)近似波函數(shù)為基矢的表象中是對(duì)角化的。證畢43第43頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月

14、20日，6點(diǎn)4分，星期二也就是說(shuō)，能量一級(jí)修正是 H在新 0 級(jí)波函數(shù)中的平均值。上述結(jié)論也是預(yù)料之中的事。求解久期方程和線性方程組就是尋找這一么正變換矩陣的方法。若對(duì)簡(jiǎn)并微擾， 有兩個(gè)簡(jiǎn)并波函數(shù) 和 , 而 在其組成的空間中是對(duì)角的，此時(shí)可用非簡(jiǎn)并微擾來(lái)處理簡(jiǎn)并微擾。若非對(duì)角，則正常進(jìn)行。因?yàn)榍蠼夂?jiǎn)并微擾問(wèn)題，本質(zhì)上講就是尋找一么正變換矩陣 S，使 從而 對(duì)角化。44第44頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二45第45頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二3.若最初的零級(jí)波函數(shù)選擇適當(dāng),已使 H對(duì)角化，即則線性方程組的求解易如反掌，即有對(duì)應(yīng)的零級(jí)波函數(shù)就是原來(lái)的 。因此簡(jiǎn)并微擾論中，零級(jí)波函數(shù)的選擇特別重要，應(yīng)盡量選擇零級(jí)波函數(shù)同時(shí)又是某些守恒量（與 和 都對(duì)易）的本征態(tài)，可使計(jì)算大大簡(jiǎn)化。現(xiàn)只對(duì)討論2舉一例說(shuō)明（其它情況我們?cè)诹?xí)題課中討論）：46第46頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二例：前面講到的例 2應(yīng)用簡(jiǎn)并微擾論解得的新 0 級(jí)近似波函數(shù)是：47第47頁(yè)，共50頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)4分，星期二我們求解這是新 0 級(jí)近似波函數(shù)在原簡(jiǎn)并波函數(shù) 為基矢所張開的子空間中的矩陣表示，即就是為了尋找一個(gè)么正變換S，