1、數值積分一、考核知識點：內插求積公式，代數精度，梯形公式及其余項，辛卜生公式及其余項，復化梯形公式及 其余項，復化辛卜生公式及其余項。二、考核要求：知道內插求積公式及其性質，會計算內插求積公式。了解代數精度概念，掌握內插求積公式代數精度的判別方法。3 .熟練掌握梯形、復化梯形公式及其余項；熟練掌握辛卜生、復化辛卜生公式及其余 項，熟練掌握運用它們計算定積分的近似值。三、重、難點分析例1在區間-1,1 上,求以氣=-1，七=0，% = 1為節點的內插求積公式。解：由系數計算公式得 TOC o 1-5 h z 人=J1 x(x -1)dx = 1, A =J1 3 + D3 -1)dx = 4 0

2、-1 - (-1 -1)31-1(0 +1)(0 -1)3A J也旦dx = 12-1 (1 + 1)3所以求積公式為 I1 f (X) dxz 1 f (-1) + 4 f (0) +1 f (1) -1333例2求積公式2 f (x)dx 1 f (0) + 4 f+1 f (2)的代數精確度為()。 0333解由于此公式為3個節點的內插求積公式，代數精度至少為2。令f (x) = x 3，代入內插求積公式得.12,141.左邊二2x3dx = 4x4 = 4，右邊=(0)3 + 13 + 23 = 4，所以左邊二右邊 00再令f (x) = x4，代入內插求積公式得左邊二2x4dx =

3、32，右邊二；。4 + 414 + ；24 = 20 所以左邊豐 右邊053333所以此公式具有3次代數精度。例3用梯形公式和n = 4的復化梯形公式求積分著，并估計誤差。解(1)梯形公式因為= 0，b =1，f (x)=由，代入弟形公式得則 J1 上 dx r 1 f (0) + f (1) = 1 上 + 上=0.75 0 x +122 0 +1 1 +1(2)復化梯形公式因為龍=峙=4和復化梯形公式得+ fdx - j f (0) + 2( f (!) + f (!) + TOC o 1-5 h z 84214 4 41=_ 1 + 2 x ( + + ) + r 0.69785 6 7

4、21.2因為 f (x)=-，f (x)= ， M = max|f(x)| = 2 x +1(1 + x)32 0 x 1所以幽f)| =(b -a)3 f 12 212 x 16 = 96注意：在用復化梯形公式和復化辛卜生公式計算積分時注意系數的排列。例4用辛卜生公式和復化辛卜生公式計算積分J1當，使誤差小于10-301 + x解(1)辛卜生公式因為a =。,b =1，f (x) = 土，代入辛卜生公式得6f (0)+4 f (2)+f =?+ 上=0.694 41 1 1 +1+12(2)復化辛卜生公式因為 M = max f (4)( x)=240 x 1(1 + X)5=24解不等式(川28 b -5 =- 2，用m = 2,n = 4,n = 1，復化辛卜生公式計算得4( dx 1 J r -01+x 12例5設A. (i = 0,1, ,n)為內插求積公式系數n 1證明 A x3 = (b4 一 a4) (n 2)i i 4i=0證明：設 f (x) = x3 ,因為 n 2