1、 9/92021年全國高考數學-山東理科 2007年高考數學山東卷（理科）詳細解析 一選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，選擇符合題目要求的選項。 1 若cos sin z i =+（i 為虛數單位），則21z =-的值可能是 （A ） 6 （B ） 4 （C ）3 （D ） 2 【答案】:D 【分析】：把2 代入驗證即得。 2 已知集合1,1M =-，1124,2x N x x Z +? = （D ）對任意的x R ，3 2 10 x x -+ 【答案】:C 【分析】：注意兩點：1）全稱命題變為特稱命題；2）只對結論進行否定。 8 某班50名學生在一次百

2、米測試中，成績全部介于13秒與19秒之間，將測試結果按如下方式分成六組：第一組，成績大于等于13秒且小于14秒；第二組，成績大于等于14秒且小于15秒；第六組，成績大于等于18秒且小于19秒。右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖。設成績小于17秒的學生人數占全班總人數的百分比為x ，成績大于等于15秒且小于17秒的學生人數為y ，則從頻率分布直方圖中可分析出x 和y 分別為 （A ）0.9,35 （B ） 0.9,45 （C ）0.1,35 （D ） 0.1,45 【答案】: A .【分析】：從頻率分布直方圖上可以看出0.9x =，35y =. 9 下列各小題中，p 是q 的充要條件的是

3、（1）:2p m ；2 :3q y x mx m =+有兩個不同的零點。 （2）() : 1;() f x p f x -= :()q y f x =是偶函數。 （3）:cos cos ;p = :tan tan q =。 （4）:;p A B A ?= :U U q C B C A ?。 （A ）(1),(2) （B ） (2),(3) （C ）(3),(4) （D ） (1),(4) 【答案】: D.【分析】：（2）由 () 1() f x f x -=可得()()f x f x -=，但()y f x =的定義域不一定關于原點對稱；（3）=是tan tan =的既不充分也不必要條件。 1

4、0 閱讀右邊的程序框圖，若輸入的n 是100，則輸出的變量S 和T 的值依次是 （A ）2500,2500 （B ） 2550,2550 （C ）2500,2550 （D ） 2550,2500 【答案】:D.【試題分析】：依據框圖可得1009896.22550S =+=，999795.12500T =+=。 11 在直角ABC ?中，CD 是斜邊AB 上的高，則下列等式不成立的是 （A ）2 AC AC AB =? （B ） 2 BC BA BC =? （C ）2AB AC CD =? （D ） 2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ?= 【答案】:C.【分析】： 2 ()0

5、0AC AC AB AC AC AB AC BC =?-=?=，A 是正確的，同理B 也正確，對于D 答案可變形為2 2 2 2 CD AB AC BC ?=?，通過等積變換判斷為正確. 12 位于坐標原點的一個質點P 按下述規則移動：質點每次移動一個單位；移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率都是 1 2 .質點P 移動5次后位于點(2,3)的概率為 （A ）51()2 （B ） 2551()2C （C ）3351()2C （D ） 235 551()2C C 【答案】:B.【分析】：質點在移動過程中向右移動2次向上移動3次，因此質點P 移動5次后位于點(2,3)的概率為2 2 3

6、 51 1()(1)2 2 P C =-。 二填空題：本大題共4小題，每小題4 分，共16分，答案須填在題中橫線上。 13 設O 是坐標原點，F 是拋物線2 2(0)y px p =的焦點，A 是拋物線上的一點，FA 與x 軸正向的夾角為60? ，則OA 為_. 【答案】: 2 p 【分析】：過A 作AD x 軸于D ，令FD m =，則2FA m =，2p m m +=，m p =。.2 OA p = 14設D 是不等式組21023041 x y x y x y +?+? ?表示的平面區域,則D 中的點(,)P x y 到直線10 x y +=距 離的最大值是_. 【答案】:【分析】：畫圖確

7、定可行域，從而確定(1,1)到直線直線10 x y +=距離的最大為 15與直線20 x y +-=和曲線2 2 1212540 x y x y +-+=都相切的半徑最小的圓的標準 方程是_. 【答案】:. 2 2 (2)(2)2x y -+-=【分析】：曲線化為2 2 (6)(6)18x y -+-=，其圓心到直線20 x y +-= 的距離為d = =所求的最小圓的圓心在直線y x =上，其 ，圓心坐標為(2,2).標準方程為2 2 (2)(2)2x y -+-=。 16函數log (3)1(0,1)a y x a a =+-的圖象恒過定點A ,若點A 在直線10mx ny +=上,其中0

8、mn ,則 12 m n +的最小值為_. 【答案】 : 8。【分析】：函數log (3)1(0,1)a y x a a =+-的圖象恒過定點(2,1)A -， (2)(1)10m n -?+-?+=，21m n +=，,0m n ， 12124()(2)448.n m m n m n m n m n +=+?+=+= 三解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 (17)（本小題滿分12分）設數列n a 滿足2 1 *12333 (3) ,.3 n n n a a a a n N -+= (I)求數列n a 的通項; (II)設,n n n b a =求數列n

9、 b 的前n 項和n S . 解：: (I)2 1 12333 (3) ,3n n n a a a a -+= 221231133.3(2),3 n n n a a a a n += 1113(2).333n n n n a n -=-= 1 (2).3 n n a n = 驗證1n =時也滿足上式，* 1().3 n n a n N = (II) 3n n b n =?， 23132333.3n n S n =?+?+?+? 231 233333n n n S n +-=+-? 1 1332313 n n n S n +-= -?-， 111333244 n n n n S += ?-?+?

10、 18（本小題滿分12分）設b c 和分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數,用隨機變量表示方程2 0 x bx c +=實根的個數(重根按一個計). (I)求方程2 0 x bx c += 有實根的概率; (II) 求的分布列和數學期望; (III)求在先后兩次出現的點數中有5的條件下,方程2 0 x bx c += 有實根的概率. 解：:（I ）基本事件總數為6636?=， 若使方程有實根，則2 40b c ?=- ，即b 。 當1c =時，2,3,4,5,6b =； 當2c =時，3,4,5,6b =； 當3c =時，4,5,6b =； 當4c =時，4,5,6b =； 當5c =時，5,6b

11、 =； 當6c =時，5,6b =, 目標事件個數為54332219,+= 因此方程2 0 x bx c += 有實根的概率為19.36 (II)由題意知，0,1,2=，則 23413 132333.3n n S n +=?+?+?+? 17(0)36P = ，21(1),3618P =17(2)36 P =， 故的分布列為 0 1 2 P 17 36 118 1736 的數學期望17117 012 1.361836 E =? +?+?= (III)記“先后兩次出現的點數中有5”為事件M ，“方程2 0ax bx c += 有實根” 為事件N ，則11()36P M = ，7()36 P MN

12、 =， ()7 ()()11 P MN P N M P M = =. 19（本小題滿分12分）如圖,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,已知 122DC DD AD AB =,AD DC ,AB DC . (I)設E 是DC 的中點,求證: 11D E A BD 平面; (II)求二面角11A BD C -的余弦值. C1 A1 B A 解：:(I)連結BE ，則四邊形DABE 為正方形， 11BE AD A D =，且11BE AD A D ， 11A D EB 四邊形為平行四邊形， 11D E A B . 1111D E A BD A B A BD ?平面，平面， 11.D

13、E A BD 平面 (II) 以D 為原點，1,DA DC DD 所在直線分別為x 軸、y 軸、z 軸，建立空間直角坐標系，不妨設1DA =，則11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,2),(1,0,2).D A B C A 1(1,0,2),(1,1,0).DA DB = 設(,)n x y z =為平面1A BD 的一個法向量， 由1,n DA n DB 得20 x y x y +=? +=?，取1z =，則(2,2,1)n =-. 設111(,)m x y z =為平面1C BD 的一個法向量， 由,m DC m DB 得1111 220 0y z x y +=?+

14、=?， 取11z =,則(1,1,1)m =- . cos ,9m n m n m n ?= = = ? 由于該二面角11A BD C -為銳角，所以所求的二面角11 A BD C - (20)（本小題滿分12分）如圖,甲船以每小時海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線航行,當甲船位于1A 處時,乙船位于甲船的北偏西105? 的方向1B 處, 此時兩船相距20海里.當甲船航行20分鐘到達2A 處時,乙船航行到甲船的北偏西120? 方向的2 B 處,此時兩船相距, 問乙船每小時航行多少海里? 解：如圖，連結12A B ，22A B =1220 60 A A =?=， 122A A B

15、?是等邊三角形，1121056045B A B =?-?=?， 1 A 2 A 120 105 乙 在121A B B ?中，由余弦定理得 22212111211122 2 2cos 4520220200 2 B B A B A B A B A B =+-? =+-?=， 12B B = 因此乙船的速度的大小為 6020 = 答：乙船每小時航行海里. (21)（本小題滿分12分）已知橢圓C 的中心在坐標原點,焦點在x 軸上,橢圓C 上的點到焦點的距離的最大值為3,最小值為1. (I)求橢圓C 的標準方程; (II)若直線:l y kx m =+與橢圓C 相交于A,B 兩點(A,B 不是左右頂點

16、),且以AB 為直徑的圓過橢圓C 的右頂點.求證:直線l 過定點,并求出該定點的坐標. 解：(I)由題意設橢圓的標準方程為22 221(0)x y a b a b += 3,1a c a c +=-=，22,1,3a c b = 22 1.43 x y += (II)設1122(,),(,)A x y B x y ，由2214 3y kx m x y =+? ?+=?得 222(34)84(3)0k x mkx m +-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+-，22340k m +-. 2121222 84(3) ,.3434mk m x x x x k k -+=-?

17、=+ 222 2 121212122 3(4) ()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+=+ 以AB 為直徑的圓過橢圓的右頂點(2,0),D 1122(2,)(2,)0DA DB x y x y =-=， 1212122()40y y x x x x +-+=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k -+=+， 2271640m mk k +=，解得 1222,7 k m k m =-=- ，且滿足22 340k m +-. 當2m k =-時，:(2)l y k x =-，直線過定點(2

18、,0),與已知矛盾； 當27k m =- 時，2:()7l y k x =-，直線過定點2(,0).7 綜上可知，直線l 過定點，定點坐標為2 (,0).7 (22)（本小題滿分14分）設函數2 ()ln(1)f x x b x =+,其中0b . (I)當1 2 b 時,判斷函數()f x 在定義域上的單調性; (II)求函數()f x 的極值點; (III)證明對任意的正整數n ,不等式2 3111 ln(1)n n n + -都成立. 解：(I) 函數2 ()ln(1)f x x b x =+的定義域為()1,-+. 222()211 b x x b f x x x x +=+=+， 令2 ()22g x x x b =+，則()g x 在1,2?- + ?上遞增，在11,2? ?- ? ?上遞減， min 11 ()()22 g x g b =-=-+. 當12b 時，min 1 ()02 g x b =-+， 2()220g x x x b =+在()1,-+上恒成立. ()0,f x 即當1 2 b 時,函數()f x 在定義域()1,-+上單調遞增。 （II ）分以下幾種情形討論： （1）由（I