1、二最大值與最小值問題教學課件二最大值與最小值問題教學課件一、函數的極值及其求法定義:在其中當時,(1) 則稱 為 的極大點 ,稱 為函數的極大值 ;(2) 則稱 為 的極小點 ,稱 為函數的極小值 .極大點與極小點統稱為極值點 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第2頁，共24頁幻燈片。一、函數的極值及其求法定義:在其中當時,(1) 則稱 注意:為極大點為極小點不是極值點2) 對常見函數, 極值可能出現在導數為 0 或 不存在的點.1) 函數的極值是函數的局部性質.例如 (P146例4)為極大點 , 是極大值 是極小值 為極小點 , 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第3頁，共24頁幻燈片

2、。注意:為極大點為極小點不是極值點2) 對常見函數, 極值可定理 1 (極值第一判別法)且在空心鄰域內有導數,(1) “左正右負” ,(2) “左負右正” ,(自證)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 點擊圖中任意處動畫播放暫停第4頁，共24頁幻燈片。定理 1 (極值第一判別法)且在空心鄰域內有導數,(1) “例1. 求函數的極值 .解:1) 求導數2) 求極值可疑點令得令得3) 列表判別是極大點，其極大值為是極小點，其極小值為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第5頁，共24頁幻燈片。例1. 求函數的極值 .解:1) 求導數2) 求極值可疑點令定理2 (極值第二判別法)二階導數 , 且則 在

3、點 取極大值 ;則 在點 取極小值 .證: (1)存在由第一判別法知(2) 類似可證 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第6頁，共24頁幻燈片。定理2 (極值第二判別法)二階導數 , 且則 例2. 求函數的極值 . 解: 1) 求導數2) 求駐點令得駐點3) 判別因故 為極小值 ;又故需用第一判別法判別.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第7頁，共24頁幻燈片。例2. 求函數的極值 . 解: 1) 求導數2) 求駐點令得定理3 (判別法的推廣)則:數 , 且1) 當 為偶數時,是極小點 ;是極大點 .2) 當 為奇數時,為極值點 , 且不是極值點 .當 充分接近 時, 上式左端正負號由右

4、端第一項確定 ,故結論正確 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證:利用 在 點的泰勒公式 ,可得第8頁，共24頁幻燈片。定理3 (判別法的推廣)則:數 , 且1) 當 為偶數時例如 , 例2中所以不是極值點 .極值的判別法( 定理1 定理3 ) 都是充分的. 說明:當這些充分條件不滿足時, 不等于極值不存在 .例如:為極大值 ,但不滿足定理1 定理3 的條件.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第9頁，共24頁幻燈片。例如 , 例2中所以不是極值點 .極值的判別法( 定理1 二、最大值與最小值問題 則其最值只能在極值點或端點處達到 .求函數最值的方法:(1) 求 在 內的極值可疑點(2)

5、最大值最小值機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第10頁，共24頁幻燈片。二、最大值與最小值問題 則其最值只能在極值點或端點處達到 .特別: 當 在 內只有一個極值可疑點時, 當 在 上單調時,最值必在端點處達到.若在此點取極大 值 , 則也是最大 值 . (小) 對應用問題 , 有時可根據實際意義判別求出的可疑點是否為最大 值點或最小值點 .(小)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第11頁，共24頁幻燈片。特別: 當 在 內只有一個例3. 求函數在閉區間上的最大值和最小值 .解: 顯然且故函數在取最小值 0 ;在及取最大值 5.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第12頁，共24頁幻燈片。

6、例3. 求函數在閉區間上的最大值和最小值 .解: 顯然且故因此也可通過例3. 求函數說明:求最值點.與最值點相同 , 由于令( 自己練習 )在閉區間上的最大值和最小值 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第13頁，共24頁幻燈片。因此也可通過例3. 求函數說明:求最值點.與最值點相同 , ( k 為某一常數 )例4. 鐵路上 AB 段的距離為100 km , 工廠C 距 A 處20AC AB ,要在 AB 線上選定一點 D 向工廠修一條 已知鐵路與公路每公里貨運價之比為 3:5 ,為使貨D 點應如何選取? 20解: 設則令得 又所以 為唯一的極小點 ,故 AD =15 km 時運費最省 .總

7、運費物從B 運到工廠C 的運費最省,從而為最小點 ,問Km ,公路, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第14頁，共24頁幻燈片。( k 為某一常數 )例4. 鐵路上 AB 段的距離為100例5. 把一根直徑為 d 的圓木鋸成矩形梁 ,問矩形截面的高 h 和 b 應如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大? 解: 由力學分析知矩形梁的抗彎截面模量為令得從而有即由實際意義可知 , 所求最值存在 ,駐點只一個,故所求結果就是最好的選擇 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第15頁，共24頁幻燈片。例5. 把一根直徑為 d 的圓木鋸成矩形梁 ,問矩形截面的高用開始移動,例6. 設有質量為 5 kg 的

8、物體置于水平面上 , 受力 作解: 克服摩擦的水平分力正壓力即令則問題轉化為求的最大值問題 . 為多少時才可使力設摩擦系數問力與水平面夾角機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 的大小最小?第16頁，共24頁幻燈片。用開始移動,例6. 設有質量為 5 kg 的物體置于水平面上令解得而因而 F 取最小值 .解:即令則問題轉化為求的最大值問題 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第17頁，共24頁幻燈片。令解得而因而 F 取最小值 .解:即令則問題轉化為求的最大值清楚(視角 最大) ? 觀察者的眼睛1.8 m ,例7. 一張 1.4 m 高的圖片掛在墻上 , 它的底邊高于解: 設觀察者與墻的距離為

9、x m ,則令得駐點根據問題的實際意義, 觀察者最佳站位存在 ,唯一,駐點又因此觀察者站在距離墻 2.4 m 處看圖最清楚 .問觀察者在距墻多遠處看圖才最機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第18頁，共24頁幻燈片。清楚(視角 最大) ? 觀察者的眼睛1.8 m ,例7. 內容小結1. 連續函數的極值(1) 極值可疑點 :使導數為0 或不存在的點(2) 第一充分條件過由正變負為極大值過由負變正為極小值(3) 第二充分條件為極大值為極小值(4) 判別法的推廣 ( Th.3)定理3 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第19頁，共24頁幻燈片。內容小結1. 連續函數的極值(1) 極值可疑點 :使導數為0

10、最值點應在極值點和邊界點上找 ;應用題可根據問題的實際意義判別 .思考與練習2. 連續函數的最值1. 設則在點 a 處( ).的導數存在 ,取得極大值 ;取得極小值;的導數不存在.B提示: 利用極限的保號性 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第20頁，共24頁幻燈片。最值點應在極值點和邊界點上找 ;應用題可根據問題的實際意義判2. 設在的某鄰域內連續, 且則在點處(A) 不可導 ;(B) 可導, 且(C) 取得極大值 ;(D) 取得極小值 .D提示: 利用極限的保號性 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第21頁，共24頁幻燈片。2. 設在的某鄰域內連續, 且則在點處(A) 不可導 ;(B3. 設是方程的一個解,若且則在(A) 取得極大值 ;(B) 取得極小值 ;(C) 在某鄰域內單調增加 ;(D) 在某鄰域內單調減少 .提示:A機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第22頁，共24頁幻燈片。3. 設是方程的一個解,若且則在(A) 取得極大值 ;(B試問 為何值時,在時取得極值 ,還是