1、 PAGE 頁碼 12 / NUMPAGES 總頁數(shù) 12六年級奧數(shù)第19講表面積和體積教師版教學(xué)目標(biāo)熟悉特殊圖形的面積和體積計算公式；能夠通過觀察法,把復(fù)雜的圖形簡單化；能夠解表面積和體積的相關(guān)題目。知識梳理 小學(xué)階段所學(xué)的立體圖形主要有四種長方體、正方體、圓柱體和圓錐體。從平面圖形到立體圖形是認(rèn)識上的一個飛躍,需要有更高水平的空間想象能力。因此,要牢固掌握這些幾何圖形的特征和有關(guān)的計算方法,能將公式作適當(dāng)?shù)淖冃?養(yǎng)成“數(shù)、形”結(jié)合的好習(xí)慣,解題時要認(rèn)真細(xì)致觀察,合理大膽想象,正確靈活地計算。在解答立體圖形的表面積問題時,要注意以下幾點：1充分利用正方體六個面 的面積都相等,每個面都是正方形

2、的特點。2把一個立體圖形切成兩部分,新增加的表面積等于切面面積的兩倍。反之,把兩個立體圖形粘合到一起,減少的表面積等于粘合面積的兩倍。3若把幾個長方體拼成一個表面積最大的長方體,應(yīng)把它們最小的面拼合起來。若把幾個長方體拼成一個表面積最小的長方體,應(yīng)把它們最大的面拼合起來。解答立體圖形的體積問題時,要注意以下幾點： 1物體沉入水中,水面上升部分的體積等于物體的體積。把物體從水中取出,水面下降部分的體積等干物體的體積。這是物體全部浸沒在水中的情況。如果物體不全部浸在水中,那么派開水的體積就等于浸在水中的那部分物體的體積。 2把一種形狀的物體變?yōu)榱硪环N形狀的物體后,形狀變了,但它的體積保持不變。 3

3、求一些不規(guī)則形體體積時,可以通過變形的方法求體積。 4求與體積相關(guān)的最大、最小值時,要大膽想象,多思考、多嘗試,防止思維定。典例分析 考點一：表面積例1、從一個棱長10厘米的正方體木塊上挖去一個長10厘米、寬2厘米、高2厘米的小長方體,剩下部分的表面積是多少？【解析】這是一道開放題,方法有多種：18-218-118-3按圖18-1所示,沿著一條棱挖,剩下部分的表面積為592平方厘米。 按圖18-2所示,在某個面挖,剩下部分的表面積為632平方厘米。 按圖18-3所示,挖通某兩個對面,剩下部分的表面積為672平方厘米。例2、把19個棱長為3厘米的正方體重疊起來,如圖18-4所示,拼成一個立體圖形

4、,求這個立體圖形的表面積。18-4【解析】要求這個復(fù)雜形體的表面積,必須從整體入手,從上、左、前三個方向觀察,每個方向上的小正方體各面就組合成了如下圖形如圖18-5所示。18-5而從另外三個方向上看到的面積與以上三個方向的面積是相等的。整個立體圖形的表面積可采用S上+S左+S前2來計算。 339+338+33102 =81+72+902 =2432 =486平方厘米 答：這個立體圖形的表面積是486平方厘米。例3、把兩個長、寬、高分別是9厘米、7厘米、4厘米的相同長方體,拼成一個 大長方體,這個大長方體的表面積最少是多少平方厘米？【解析】把兩個相同的大長方體拼成一個大廠房體,需要把兩個相同面拼

5、合,所得大廠房體的表面積就減少了兩個拼合面的面積。要使大長方體的表面積最小,就必須使兩個拼合面的面積最大,即減少兩個97的面。 99+94+7422972 =63+36+284126 =508126 =382平方厘米 答：這個大廠房體的表面積最少是382平方厘米。例4、一個長方體,如果長增加2厘米,則體積增加40立方厘米；如果寬增加3厘米,則體積增加90立方厘米；如果高增加4厘米,則體積增加96立方里,求原長方體的表面積。【解析】我們知道：體積=長寬高；由長增加2厘米,體積增加40立方厘米,可知寬高=402=20平方厘米；由寬增加3厘米,體積增加90立方厘米,可知長高=903=30平方厘米；由

6、高增加4厘米,體積增加96立方厘米,可知長寬=964=24平方厘米。而長方體的表面積=長寬+長高+寬高2=20+30+242=148平方厘米。即402=20平方厘米903=30平方厘米964=24平方厘米30+20+242=742=148平方厘米 答：原 長方體的表面積是148平方厘米。例5、如圖18-6所示,將高都是1米,底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的三個圓柱組成一個物體。求這個物體的表面積。【解析】如果分別求出三個圓柱的表面積,再減去重疊部分的面積,這樣計算比較麻煩。實際上三個向上的面的面積和恰好是大圓柱的一個底面積。這樣,這個物體的表面積就等于一個大圓柱的表面積加上中、小圓柱的

7、側(cè)面積。 18-6 3.141.51.52+23.141.51+23.1411+23.140.51 =3.144.5+3+2+1 =3.1410.5 =32.97平方米 答：這個物體的表面積是32.97平方米。考點二：求體積例1、有大、中、小三個正方體水池,它們的內(nèi)邊長分別為6米、3米、2米。把兩堆碎石分別沉在中、小水池里,兩個水池水面分別升高了6厘米和4厘米。如果將這兩堆碎石都沉在大水池里,大水池的水面升高多少厘米？【解析】中、小水池升高部分是一個長方體,它的體積就等同于碎石的體積。兩個水池水面分別升高了6厘米和4厘米,兩堆碎石的體積就是330.06+220.04=0.7立方米。把它沉到大水

8、池里,水面升高部分的體積也就是0. 7立方米,再除以它的底面積就能求得升高了多少厘米。 3 3 0. 06+2 2 0. 04=0.7立方米 0. 766=7/360米=1又17/18厘米 答：大水池的水面升高了1又17/18厘米。例2、一個底面半徑是10厘米的圓柱形瓶中,水深8厘米,要在瓶中放入長和寬都是8厘米、高是15厘米的一塊鐵塊,把鐵塊豎放在水中,水面上升幾厘米？【解析】在瓶中放鐵塊要考慮鐵塊是全部沉入水中,還是部分沉入水中。如果鐵塊是全部沉入水中,排開水的體積是8815=960立方厘米。而現(xiàn)在瓶中水深是8厘米,要淹沒15厘米高的鐵塊,水面就要上升15一8=7厘米,需要排開水的體積是3

9、. 141010-8 8 7=1750立方厘米,可知鐵塊是部分在水中。 當(dāng)鐵塊放入瓶中后,瓶中水所接觸的底面積就是3. 141010一88=250平方厘米。水的形狀變了,但體積還是3. 1410108=2512立方厘米。水的高度是2512250=10. 048厘米,上升10. 048-8=2. 048厘米； 3.14101083.141010-88-8 =2512250-8 =10.048-8 =2.048厘米 答：水面上升了2. 048厘米。例3、某面粉廠有一容積是24立方米的長方體儲糧池,它的長是寬或高的2倍。當(dāng)貼著它一最大的內(nèi)側(cè)面將面粉堆成一個最大的半圓錐體時,求這堆面粉的體積如圖-1所

10、示。18-7【解析】設(shè)圓錐體的底面半徑是r,則長方體的高和寬也都是r,長是2r。長方體的容積是2rrr=24,即r的立方=12。這個半圓錐體的體積是1/3r的平方r2=1/6r的立方,將r的立方=12代入,就可以求得面粉的體積。 設(shè)圓錐體的底面半徑是r,則長方體的容積是2r r r=24的立方=12。 1/33. 14r的平方r2 =1/63014r的立方 =1/63.1412 =6.28立方米 答：這堆面粉的體積是6. 28立方米。例4、一只集裝箱,它的內(nèi)尺寸是181818。現(xiàn)在有批貨箱,它的外尺寸是149。問這只集裝箱能裝多少只貨箱？【解析】因為集裝箱內(nèi)尺寸18不是貨箱尺寸4的倍數(shù),所以,

11、只能先在18 1618的空間放貨箱,可放181618149=144只。這時還有18218的空間,但只能在18216的空間放貨箱,可放18216149=16只。最后剩下1822的空間無法再放貨箱,所以最多能裝144+16=160只。 答：問這只集裝箱能裝160只貨箱。實戰(zhàn)演練 課堂狙擊1、把一個長為12分米,寬為6分米,高為9分米的長方體木塊鋸成兩個想同的小長方體木塊,這兩個小長方體的表面積之和,比原來長方體的表面積增加了多少平方分米？【解析】這有三種情況： 如果把長鋸開,則增加692=108平方分米 如果把寬鋸開,則增加1292=216平方分米 如果把高鋸開,則增加1262=144平方分米 2

12、、將一個表面積為30平方厘米的正方體等分成兩個長方體,再將這兩個長方體拼成一個大長方體。求大長方體的表面積是多少？【解析】將正方體分為兩個長方體,表面積就增加了2個30615平方厘米,拼成大正方體,表面積將減少兩個拼合面的面積,正好是1個30615平方厘米,所以大長方體的表面積是： 30+30+635平方厘米3、一個長方體木塊,從下部和上部分別截去高為3厘米和2厘米的長方體后,便成為一個正方體,其表面積減少了120平方厘米。原來長方體的體積是多少立方厘米？【解析】減少的表面積實質(zhì)是高度分別為2厘米和3厘米的前、后、左、右四個面的面積之和。 把兩個合并起來,用1202+324厘米,求到正方體底面

13、的周長,正方體的棱長就是2446厘米。 原長方體的體積是： 666+3+2396立方厘米4、一個精美小禮品盒的形狀是長9厘米,寬6厘米,高4厘米的長方體。請你幫廠家設(shè)計一個能裝10個小禮品盒的大紙箱,你覺得怎樣設(shè)計比較合理？為什么？【解析】大長方體盒子的 長9厘米 寬62=12厘米 高45=20厘米5、用直徑為20厘米的圓鋼,鍛造成長、寬、高分別為30厘米、20厘米、5厘米的長方體鋼板,應(yīng)截取圓鋼多長精確到0.1厘米？【解析】二者體積相等 30205=3000立方厘米 20/2=10 10103.14=314 3000/314 9.6厘米 故答案為：9.66、如圖18-8所示,圓錐形容器中裝有

14、3升水,水面高度正好是圓錐高度的一半。這個容器還能裝多少水？18-8【解析】裝水的部分是小圓錐,容器是大圓錐 小圓錐的高：大圓錐的高=1：2 則： 小圓錐的底面半徑：大圓錐的底面半徑=1：2 小圓錐的底面積：大圓錐的底面積=1：4 小圓錐的容積：大圓錐的容積=11/3：42/3=1：8 所以 圓錐形容器的容積=3*8=24升 這個容器還能裝24-3=21升7、如右圖18-9所示,由三個正方體木塊粘合而成的模型,它們的棱長分別為1米、2米、4米,要在表面涂刷油漆,如果大正方體的下面不涂油漆,則模型涂刷油漆的面積是多少平方米？【解析】 441122444 =100平方米答：模型涂刷油漆的面積是10

15、0平方米。18-98、從一個長、寬、高分別為21厘米、15厘米、12厘米的廠房體上面,盡可能大地切下一個正方體,然后從剩余的部分再盡可能大地切下一個正方體,最后再從第二次剩余的部分盡可能大地切下一個正方體,剩下的體積是多少立方厘米？【解析】切最大的正方形的體積：121212=1728cm 長方形的體積：211512=3780cm 再切正方形的體積：15-12=3cm 333=27cm 剩下的體積：3780-1728-27=2025cm課后反擊1、從一個長10厘米、寬6厘米、高5厘米的長方體木塊上挖去一個棱長2厘米的小正方體,剩下部分的表面積是多少？【解析】1從面的中間挖菱形： 原長方體的表面積

16、： 65+105+1062=560cm2 挖掉的正方體面積是： 226=24cm2 原面積+正方體面積=560+24=584cm2 因為挖出的面積只有五面,因此正方體的面積得減去一面后再加入原面積原面積又少了一面22的面積,總共減去兩個22的面積后才是被挖出后的面積,即： 584-222=576cm2 2從面的一個角挖菱形： 雖挖出了一個小菱形,但總面積沒變, 還是560cm2因為挖出的小菱形增加了3個面,但原面積失去3個了小菱形的面,所以還是560 cm2。2、有一個長方體如下圖18-10所示,它的正面和上面的面積之和是209。如果它的長、寬、高都是質(zhì)數(shù),這個長方體的體積是多少？ 18-10

17、 【解析】長方體正面及上面的面積之和恰好等于這個長方體的長寬+高,2091119, 所以長11,寬+高19,或長19,寬+高11, 根據(jù)題意,寬和高只能是17和2,長方體的體積就是11172374 3、一包香煙的形狀是長方體,它的長是9厘米,寬是5厘米,高是2厘米。把10包香煙包裝在一起形成一個大長方體,稱為一條。可以怎樣包裝？算一算需要多少包裝紙包轉(zhuǎn)念能夠紙的重疊部分忽略不計。你認(rèn)為哪一種包裝比較合理？ 【解析】將9厘米和5厘米的一面疊在一起節(jié)約. 長=9厘米 寬=5厘米 高=210=20厘米 需要紙： =295+920+520 =650平方厘米 4、有30個棱長為1米的正方體,在地面上擺成

18、如右圖的形式,求這個立體圖形的表面積是多少平方米？ 【解析】422121213144 72平方米。 答：這個立體圖形的表面積為72平方米。5、現(xiàn)有一張長40厘米、寬20厘米的長方形鐵皮,請你用它做一只深是5厘米的長方體無蓋鐵皮盒焊接處及鐵皮厚度不計,容積越大越好,你做出的鐵皮盒容積是多少立方厘米？【解析】140-5220-525 =30105 =1500毫升； 240-520-525 =35105 =1750毫升； 340-54205 =20205 =2000毫升； 1 2 3 答：有三種焊接方法,鐵皮盒的最大容積是2000毫升。6、有一個長方體的盒子,從里面量長為40厘米、寬為12厘米、高為7厘米。在這個盒子里放長5厘米、寬4厘米、高3厘米的長方體木塊,最多可放幾塊？【解析】分上下兩層來分析：上層高3厘米,可放： 405124 =83 =24塊 下層高4厘米,可放： 405123 =84 =32塊 24+32=