1、第六章 能量法6-1.應變與余能6-2.桿件的應變能計算6-3.虛功原理6-4.虛位移原理的應用6-5.位能駐值原理的近似解法6-6*虛力原理的應用1解析法彎曲梁初參數法，力法，位移法 精確解能量法復雜結構、復雜載荷 近似解 采用能量原理描述結構的平衡與變形連續條件功能關系 彈性體：在外載作用下，外力功轉變為應變能。 外力卸載變形恢復 非線性（幾何非線性、材料非線性）在外載作用下，外力功轉變為應變能2能量法虛功原理虛位移原理虛力原理31、外力功與應變能4應變能彈性體應變能等于外力功V=W52.線性體系外力功=余功應變能=余能W+W*,V+V*等于矩形面積，故均為面積的一半。6能量法分析中，應變

2、能和余能計算很重要，大部分為線性體系應變能計算方法（1）取微段（2）斷面力視為外力，微段外力功為變形能（3）沿桿長積分得桿件應力能應變能計算方法 拉壓，扭轉，彎曲，剪切 彈性支座，彈性固定端，彈性基礎76-2.桿件的應變能計算1.拉伸或壓縮82.扭轉93.彎矩（純彎曲）103.彎曲（剪切）114.彈性支座與彈性固定端5.彈性基礎*用位移表達的是應變能，用應力表達的是余能12一般情況，桿件同時受到拉伸（或壓縮）、扭轉和彎曲應力，桿件應變能：桿系結構，各桿件應變能之和即為整個結構的應變能。對于一般以彎曲為主的應變能，剪切和拉壓應變能可忽略不計。136-3.虛功原理虛位移原理：一組真實力系在任意滿足

3、變形協調的虛位移過程中的做功情況，等價于結構的平衡條件；虛力原理：任一組滿足平衡條件的虛力系在真實位移過程中的做功情況，等價于變形協調條件141.虛位移原理 設結構在外力作用下處于平衡狀態，如給結構一個虛位移，則外力對虛位移作的功（虛功）必等于結構因虛變形而獲得的虛應變能。虛位移原理是結構處于平衡狀態的充分和必要條件（等價于結構的平衡條件）虛位移：假象的、可能發生的、無窮小的、滿足邊界條件、不破壞結構連續性的位移外力：發生虛位移過程中，外力大小方向不變化。15兩端簡支梁必要：平衡充分：平衡162.虛力原理：如果給一個不破壞平衡條件及靜力邊界條件的虛變化，并由此產生的變形是協調的，則虛余功必等于

4、結構的虛余能。176.4虛位移原理的應用 從虛位移原理出發可以引申出各種能量定理來計算結構的位移和變形等本節介紹常用的幾種能量定理：位能駐值原理、應變能原理（卡氏第一定理）、單位位移法。1、位能駐值原理虛位移原理外力對虛位移做的功力函數總位能此時表示總位能 有一駐值（極大值或極小值），（6-44）表示“位能駐值原理”。彈性體穩定平衡，總位能極小值，位能駐值原理又稱為“最小位能原理：。（6-44）（6-43）（6-42）（6-41）18例：用位能駐值原理解圖6-8之靜不定桁架。1、計算結構應變能 V=v1+V2+V32、計算力函數U3、計算總位能4、對 求極值，求解未知位移192.應變能原理（6

5、-47）（6-46）（6-47）稱為”應變能原理“或”卡氏第一定理，它代表了結構力的平衡條件，在結構分析中用來建立位移法方程式。206-5.位能駐值原理的近似解法1.李茲法（Ritz method）李茲法（Ritz method）時變分法中的直接法，它是利用位能駐值原理 把變分問題看作是一求一個包含有有限多個變量的普通函數的極值問題。(6-50)具體步驟1、將梁的撓曲線V(x)寫成級數形式21圖6-10中兩端自由支持受力均布荷重作用的單跨梁。22李茲法不僅適用于梁的彎曲問題，還可廣泛應用于其他結構，如板的彎曲問題和桿、板的穩定性問題。幾種基函數P125232.迦僚金法242526272829圖6.9圖6.830滿足邊界條件4）總位能315）變分求參數由 得 所以6）32滿足邊界條件334）總位能5）變分求參數由 34取前兩項得 ， 由 得 由 得 解得 中點撓度 35滿足邊界條件6.8 考慮剪切的情況364）總位能5）變分