1、第三章 向量組與矩陣的秩 第一節n維向量第二節線性相關與線性無關第三節線性相關性的判別定理第四節向量組的秩與矩陣的秩第五節矩陣的初等變換第六節初等矩陣與求矩陣的逆第七節向量空間1 n維向量 返回上一頁下一頁 定義 1 設P是由一些復數組成的集合, 其中包括0與1. 如果P中任意兩個數(這兩個數可以相同)的和、差、積、商（除數不為零）仍然是P中的數， 那么P就稱為一個數域. 顯然, 全體有理數組成的集合、全體實數組成的集合、全體復數組成的集合都是數域。這三個數域一般分別用字母Q、R、C來表示. 全體整數組成的集合不是數域.用小寫的粗黑體字母來表示向量 。返回上一頁下一頁 定義2 數域P中n個數組

2、成的有序數組（a1,a2,an）稱為P上一個n維向量，簡稱向量。 列向量行向量 數a1,a2,an稱為這個向量的分量。ai稱為這個向量的第i個分量或坐標。分量都是實數的向量稱為實向量；分量都是復數的向量稱為復向量。 n維行向量可以看成1n矩陣，n維列向量也常看成n1矩陣。 設k和l為兩個任意的常數， 為任意的n維向量，其中返回上一頁下一頁 定義3 如果 和 對應的分量都相等，即ai=bi，i=1,2,n就稱這兩個向量相等，記為 。 定義4 向量（a1+b1 ,a2+b2 ,an+bn）稱為 與 的和，記為 。稱向量（ka1,ka2,kan）為 與k（kP）的數量乘積，簡稱數乘，記為返回上一頁下

3、一頁 定義5 分量全為零的向量（0，0，0）稱為零向量，記為0。 與-1的數乘（-1） =（-a1,-a2,-an）稱為 的負向量，記為 。向量的減法定義為返回上一頁下一頁滿足（1）（8）的運算稱為線性運算。返回上一頁下一頁向量的加法與數乘性質2 線性相關與線性無關 矩陣與向量的關系： 通常把維數相同的一組向量簡稱為一個向量組，n維行向量組 可以排列成一個sn分塊矩陣 其中 為由A的第i行形成的子塊， 稱為A的行向量組。 n維列向量組 可以排成一個ns矩陣 其中 為由B的第j列形成的子塊， 稱為B的列向量組。 返回上一頁下一頁 定義6 向量組 稱為線性相關的，如果有P中不全為零的數k1,k2,

4、ks，使反之，如果只有在k1=k2=ks=0時上式才成立，就稱 線性無關。 返回上一頁下一頁 當 是行向量組時，它們線性相關就是指有非零的1s矩陣（k1,k2,ks）使 當 為列向量時，它們線性相關就是指有非零的s1矩陣 ，使 返回上一頁下一頁 定義7 向量稱為向量組,，t的一個線性組合，或者說可由向量組，t線性表出(示)，如果有P中（經常省略P中）常數k，k,，kt使 kk+ktt. 此時，也記.若所給向量均為行向量，則有若所給向量均為列向量，則有返回上一頁下一頁也可用矩陣形式表示：例 判斷向量組的線性相關性。解 假設存在一組常數k1 ,k2 ,kn 使得所以 即 k1= k2 = kn=

5、0 因此 線性關。返回上一頁下一頁稱為基本單位向量. 解 對任意的常數k，k， k3都有 k+k+ k33=( k+k3，k+2k+3k3，k+5k+6k3 ). 例 判斷向量組 （，），（，），3（，）的線性相關性.所以 k+k+ k33=0當且僅當返回上一頁下一頁由(1)得將其分別代入(2)和(3)得取定得方程組的一組解為: k1=1，k2=1，k3= -1因此 +1+(-1)3=+-3=0.所以，3線性相關.返回上一頁下一頁 例 設向量組 線性無關， ， ， ，試證向量組 也線性無關。 證 對任意的常數x1 , x2 , x3 都有由 線性無關，故有 由于上述方程組的解只有 k1=k2=

6、k3=0所以 線性無關。 返回上一頁下一頁設有k1,k2,k3，使 例 設=(1,1,1,1),=(1,1,-1,-1),3=(1,-1,1,-1),4=(1,-1,-1,1),=(1,2,1,1).試問能否由,3,4線性表出？若能，寫出具體表達式. 解 令 =k+k+k33+k44于是得線性方程組因為返回上一頁下一頁由克萊姆法則求出所以即能由，3 , 4線性表出.返回上一頁下一頁 例 設=(2,-3,0),=(0,-1,2),=(0,-7,-4),試問能否由,線性表出? 由第一個方程得k=0，代入第二個方程得k=7，但k不滿足第三個方程，故方程組無解. 所以不能由,線性表出. 解 設 =k+

7、k于是得方程組返回上一頁下一頁 定理1 向量組 （s2）線性相關的充要條件是其中至少有一個向量能由其他向量線性表出。 證 充分性：設 中有一個向量能由其他向量線性表出，不妨設所以 線性相關。 必要性：如果 線性相關，就有不全為零的數k1 ,k2 ,ks，使 設k10,那么 即 能由 線性表出。返回上一頁下一頁例如，向量組 是線性相關的，因為 返回上一頁下一頁 顯然，向量組，線性相關就表示k或者k. 此時，兩向量的分量成正比例. 在三維的情形，這就表示向量與共線. 三個向量，3線性相關的幾何意義就是它們共面. 定理2 設向量組 線性無關，而向量組 線性相關，則 能由向量組線性表出，且表示式是唯一

8、的。 證 由于 線性相關，就有不全為零的數k1 , k2 , kt , k，使 即 可由 線性表出。 由 線性無關有k0。（否則， 線性相關）因此返回上一頁下一頁設 為任意兩個表達式。 由和 線性無關 得到 l1=h1 , l2=h2 , ，lt=ht 因此表示式是唯一的。 返回上一頁下一頁 定理 2 若 可由向量組，t 線性表出, 且表示式是唯一的, 則，t 線性無關. 定義8 如果向量組 中每個向量都可以由 線性表出，就稱向量組可由 線性表出，如果兩個向量組互相可以線性表出，就稱它們等價。 如果向量組 可以經向量組 線性表出，向量組 可以經向量組 線性表出，那么向量組 可以經向量組 線性表

9、出。返回上一頁下一頁 每一個向量組都可以經它自身線性表出。向量組 中每一個向量都可以經向量組 線性表出。因而，向量組 可以經向量組 線性表出。 如果有 返回上一頁下一頁向量組的等價具有下述性質： (1)自反性：向量組 與它自己等價； (2)對稱性: 如果向量組 與 等價，那么 也與 等價； (3)傳遞性: 如果向量組 與 等價，而向量組 又與 等價, 那么 向量組 與 等價。返回上一頁下一頁3 線性相關性的判別定理 定理3 有一個部分組線性相關的向量組線性相關。 設這個部分組為 ，則有不全為零的數k1 , k2 , , kr，使 證 設向量組 有一個部分組線性相關。因此 也線性相關。 推論 含

10、有零向量的向量組必線性相關。 返回上一頁下一頁 稱一個向量組中的一個部分向量組為原向量組的部分組。 定理4 設p1 , p2 , , pn為1，2，n的一個排列， 和 為兩向量組，其中 即 是對 各分量的順序進行重排后得到的向量組，則這兩個向量組有相同的線性相關性。 證 對任意的常數k1 , k2 , , ks， 返回上一頁下一頁上兩式只是各分量的排列順序不同，因此 當且僅當 所以 和 有相同的線性相關性。 返回上一頁下一頁(2)如果 線性無關， 那么 也線性無關。 定理5在 r 維向量組 的各向量添上 n - r個分量變成n維向量組 。(1)如果 線性相關， 那么 也線性相關。 證 對列向量

11、來證明定理。返回上一頁下一頁這里 A1 是列向量 構成的 r s矩陣.利用(1)式,用反證法容易證明(2)式也成立。因此, 也線性相關,即(1)式成立。如果 線性相關,就有一個非零的s1矩陣X,使 返回上一頁下一頁 引理1 n階方陣A的行列式等于零的充分必要條件是A的行(列)向量組線性相關。 定理6 n維向量組 線性無關的充要條件是矩陣 的行列式不為零(A可逆)。此時,矩陣A的n個列向量也線性無關。返回上一頁下一頁 例 試證明n維列向量組，n線性無關的充分必要條件是行列式 證 令矩陣 A=，n則向量組，n線性無關行列式|A|0. 由于返回上一頁下一頁故|A|0在上式兩端取行列式，得所以，n線性

12、無關D0.D0,|A|2=|A|A|=D返回上一頁下一頁定理7 n+1個n維向量組 必線性相關。推論 當mn時, m個n維向量組線性相關。 返回上一頁下一頁練習 討論下列矩陣的行向量組的線性相關性： 由于，因此的行(列)向量組線性無關； 由于，所以C的行(列)向量組線性相關. 定理8 如果向量組 可由 線性表出且 s t ，那么 線性相關。 推論1 如果向量組 可由線性表出，且 線性無關，那么 。 推論2 兩個線性無關的等價的向量組必含有相同個數的向量。 返回上一頁下一頁4 向量組的秩與矩陣的秩 定義9 一向量組的一個部分組稱為一個極大線性無關組，如果這個部分組本身是線性無關的，并且從這向量組

13、中向這部分組任意添一個向量（如果還有的話），所得的部分組都線性相關。 首先，由 與 的分量不成比例， 線性無關。再添入 以后，由 可知所得部分組線性相關，不難驗證 也為一個極大線性無關組。 返回上一頁下一頁 例 在向量組 中， 為它的一個極大線性無關組。 定義9 一向量組的一個部分組稱為一個極大線性無關組，如果這個部分組本身是線性無關的，并且這向量組中任意向量都可由這部分組線性表出。 向量組的極大線性無關組具有的性質： 性質1 一向量組的極大線性無關組與向量組本身等價。 性質2 一向量組的任意兩個極大線性無關組都等價。 性質3 一向量組的極大線性無關組都含有相同個數的向量。 返回上一頁下一頁

14、因此 的秩不超過 的秩。 定義10 向量組的極大線性無關組所含向量的個數稱為這個向量組的秩。 由 的極大線性無關組線性表出。 線性表出，那么 的極大線性無關組可 如果向量組 能由向量組 定理9 向量組的任意線性無關的部分組都可擴充為一個極大線性無關組。 推論 秩為r的向量組中任意含r個向量的線性無關的部分組都是極大線性無關組。 返回上一頁下一頁 例 求向量組1(1，-1，0，3) ，2(0,1,-1,2) , 3(1,0,-1,5),4(0,0,0,2)的一個極大線性無關組及秩. 解 1是1，2，3，4的一個線性無關的部分組，顯然2不能由1線性表示，所以1可以擴充為一個線性無關的部分組1，2，

15、容易證明31+2 , 但4不能由1，2線性表出，所以1 ,2又可擴充為一個線性無關的部分組1 ,2 ,4，從而1，2，3，4的秩為3，1，2，4是它的一個極大線性無關組.返回上一頁下一頁 定義11 矩陣的行秩是指它的行向量組的秩，矩陣的列秩是指它的列向量組的秩。 定義12 在一個 sn 矩陣A中任意選定k行和k列，位于這些選定的行和列的交點上的 k2 個元素按原來的次序所組成的 k k 級矩陣的行列式，稱為A的一個k級子式。 引理2 設 ，n維向量組 線性無關的充要條件是矩陣 中存在一個不為零的 r 級子式。返回上一頁下一頁那么, A中有r1個行向量線性無關, 由引理2, A中有一個r1級子式

16、D不為零,那么 A 中子式 D 所在的 r1個列向量也線性無關;因而 。定理10 矩陣的行秩等于列秩。 由此 A的列秩 ( A的行秩 r1 ) A的行秩 ( A的列秩 r2 ) , 即有 。證 設矩陣A的行秩為 r1 , A的列秩為r2。 統稱矩陣的行秩和列秩為矩陣的秩, 矩陣A的秩一般記為R(A)。規定零矩陣的秩為0。返回上一頁下一頁 因此 定理11 矩陣 A 的秩為 r 的充要條件是: 它有一個不為零的 r 階子式, 而所有 r+1 階子式全為零,這時, 這個非零的 r 級子式所在的行和列就分別為A的行向量組和列向量組的極大線性無關組。 返回上一頁下一頁例 求矩陣 A 的秩，其中解 容易看

17、出二階子式A 的三階子式只有| A |，經計算可得| A |=0，因此 R(A)=2.例 已知矩陣的秩為3，求a的值.解 R（A）=3，即A中非零子式的最高階數為3，因為=(a+3)(a-1)2=0由此得 a =- 3 或 a =1.返回上一頁下一頁而當 a = - 3 時，A的左上角的3階子式為 即A中存在非零的 3 階子式，且不存在更高階的非零子式，故當且僅當 a =-3 時，R（A）=3.當a=1時， , 顯然有R（A）=1；返回上一頁下一頁5 矩陣的初等變換 矩陣的初等行變換都是可逆的, 且其逆變換也是同類的初等行變換。定義13 下面的三種變換稱為矩陣的初等行變換: (1) 對換矩陣兩

18、行的位置(對換第i行和第j行的位置, 記為 r(i,j) ). (2) 矩陣的某行所有元素同乘以一個非零常數(第 i 行乘以 k , 記為 r(i(k) ). (3) 把矩陣一行所有元素的k倍加到另一行對應的元素上去 ( 第 i 行的k倍加到第 j 行上去, 記為r(j+i(k) ).返回上一頁下一頁 定理12 如果矩陣 A 經過有限次初等行變換變為B , 則A的行向量組與 B 的行向量組等價, 而 A 的任意k 個列向量與 B中對應的k個列向量有相同的線性關系。例 求下列向量組 的一個極大線性無關組與秩。 解 作 返回上一頁下一頁所以 為一個極大線性無關組，且秩等于3。返回上一頁下一頁 同理

19、，可得 或 或 均為該向量組的極大線性無關組。返回上一頁下一頁 從每一行的第一個元素到第一個非零元素下面全為零，這些零的排列像一個階梯，每個階梯都只有一行，它稱為一個行階梯形矩陣. 行階梯形矩陣的每一非零行的第一個非零元素為1，且這些元素所在的列的其他元素都為0，這個矩陣稱為矩陣的行最簡形. 行階梯形矩陣的特點是：）若有零行，則零行全部在矩陣的下方。 ）從第一行起。每一行第一個非零元前面的零的個數逐行增加。 對于這樣的矩陣，可畫出一條階梯線，線的下方全為，每個臺階只有一行，臺階數就是非零行數。 返回上一頁下一頁事實上，對行階梯形矩陣，它的秩就是非零行的個數。例用初等變換求矩陣A的秩。返回上一頁

20、下一頁因為行階梯形矩陣B1有個非零行，所以R(A)=。如果繼續施行初等變換，還可以化為更簡單的形式。 行階梯形矩陣 B2 的特點是，非零行的第一個非零元素為，且所在的列的其他元素都為，這樣的矩陣為行最簡形矩陣。返回上一頁下一頁若在經過列初等變換，還可以化為更簡單的形式。 矩陣B3稱為A的標準形，其特點是：B3左上角是單位矩陣。返回上一頁下一頁 由上面討論可知，對于mn矩陣A，總可以經過初等變換，把它化為標準形，標準形的特點是：左上角是一個單位矩陣，其余元素全為。例 定義14 如果矩陣A經有限次初等變換化成B，就稱矩陣A與B等價。 返回上一頁下一頁矩陣的等價關系具有下列性質： (1) 反身性：A

21、與A等價。 (2) 對稱性：如果A與B等價，那么B與A等價。 (3) 傳遞性：如果A與B等價， B與C等價， 那么A與C等價。 定理13 如果矩陣A與B等價，那么R(A)R(B) 。 定理14 每個矩陣都有等價標準型，矩陣A與B等價，當且僅當它們有相同的等價標準型。 推論 兩個同型矩陣等價的充分必要條件是：它們的秩相等。 返回上一頁下一頁 當 A 為 n 階可逆方陣時，R（）n，所以A的等價標準型為 n 階單位矩陣. 由于可逆方陣的秩等于階數，所以可逆方陣又稱為滿秩方陣，而奇異方陣就稱為降秩方陣.返回上一頁下一頁6 初等變換與求矩陣的逆 定義15 由單位矩陣 E 經過一次初等變換得到的矩陣稱為

22、初等矩陣。 初等矩陣都是方陣，互換 E 的第 i 行與第 j 行（或者互換 E 的第 I 列與第 j 列）的位置，得 ,返回上一頁下一頁 用常數k乘E的第i行（或第 i 列），得 把E的第j行的k倍加到第i行（或第i列的k倍加到第j列）得 返回上一頁下一頁這三類矩陣就是全部的初等矩陣，有 E(i,j)-1E(i,j)E(i(k)-1=E(i(1/k),E(i+j(k)-1=E(i+j(-k) 定理15 對一個sn 矩陣 A 作一初等行變換, 就相當于在 A 的左邊乘上相應的 ss 初等矩陣；對A作一初等列變換就相當于在A的右邊乘上相應的 nn 初等矩陣。 返回上一頁下一頁返回上一頁下一頁 推論

23、1 矩陣A與B等價的充分必要條件是: 有初等方陣P1，P2，Ps，Q1，Qt使 AP1P2PsBQ1Qt 推論2 nn矩陣A可逆的充分必要條件是：它能表成一些初等矩陣的乘積。 返回上一頁下一頁 推論3 兩個sn矩陣A、B等價的充分必要條件是：存在可逆的ss矩陣P與可逆的nn矩陣Q使 A=PBQ 推論4 可逆矩陣總可以經過一系列初等行變換化成單位矩陣。 設A為可逆矩陣，由推論必存在有限個初等方陣 P1,P2P，使得P1P2PAE（1）所以 P1P2PEA-1（2）（）表明E經過同樣有限次初等行變換變成A（）表明A經過有限次初等行變換變成E故可用初等行變換求逆陣：返回上一頁下一頁 （）（E)=(E）.例 設 求A-1。 解 對(AE)作初等行變換 返回上一頁下一頁補充：也可用初等列變換求逆陣：返回上一頁下一頁例用矩陣分塊的方法求下面矩陣的逆矩陣解：將矩陣按如下形式進行分塊返回上一頁下一頁返回上一頁下一頁7 向量空間 定義16 設 V 為數域 P 上 n 維向量組成的集合。如果 V 非空，且對于向量加法及數乘運算封閉，即對任意的 和任意常數 k （kp）都有就稱集合 V 為數域 P 上的向量空間。 例 n維向量的全體Rn構成一個向量空間。3