1、目錄(ml) TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc374387445 摘要(zhiyo) PAGEREF _Toc374387445 h 2 HYPERLINK l _Toc374387446 關鍵詞 PAGEREF _Toc374387446 h 2 HYPERLINK l _Toc374387447 1 數學符號(fho)的釋義 PAGEREF _Toc374387447 h 2 HYPERLINK l _Toc374387448 1.1數學符號的三種解釋 PAGEREF _Toc374387448 h 2 HYPERLINK l _Toc374387449 1

2、.2數學符號的分類 PAGEREF _Toc374387449 h 3 HYPERLINK l _Toc374387450 1.3數學符號的特征 PAGEREF _Toc374387450 h 5 HYPERLINK l _Toc374387451 1.4數學符號的功能 PAGEREF _Toc374387451 h 6 HYPERLINK l _Toc374387452 2 數學符號感的培養 PAGEREF _Toc374387452 h 7 HYPERLINK l _Toc374387453 2.1充分利用學生已有的生活經驗 PAGEREF _Toc374387453 h 7 HYPERL

3、INK l _Toc374387454 2.2充分挖掘符號的暗示功能 PAGEREF _Toc374387454 h 8 HYPERLINK l _Toc374387455 2.3加強數學符號間的轉換訓練 PAGEREF _Toc374387455 h 8 HYPERLINK l _Toc374387456 2.4重視師生之間、學生之間的符號語言交流 PAGEREF _Toc374387456 h 8 HYPERLINK l _Toc374387457 2.5對數學符號運算進行必要的訓練 PAGEREF _Toc374387457 h 9 HYPERLINK l _Toc374387458 2

4、.6重視對符號的涵義和實質的分析 PAGEREF _Toc374387458 h 9 HYPERLINK l _Toc374387459 2.7對學生學習符號可能存在的困難要有清醒的認識 PAGEREF _Toc374387459 h 9 HYPERLINK l _Toc374387460 參考文獻 PAGEREF _Toc374387460 h 10中學生數學符號感的培養夏曉丹 學號：20101101890數學科學學院(xuyun) 數學與應用數學專業2010級漢一班 指導老師 劉官廳(guntng)摘要(zhiyo)：數學學習實質上是數學符號的學習，教師在教學實踐中要讓學生理解數學符號意義

5、。數學符號最顯著的特征是形式的簡單性、內涵的精確性、應用上的可操作性以及使用上的統一性。有效的數學教學必須在明白數學符號的學習價值的基礎上進行教學。數學符號學習要符合學生的心里發展水平基礎上組織課堂教學，根據數學符號的本真意義采取恰當的教學策略。關鍵詞：數學符號 釋義 分類 特征 功能1 數學符號的釋義1.1數學符號的三種解釋 (1)狹義數學符號。狹義數學符號是指“有一定數學含義的專用標記”,主要指“中國數學物理名詞委員會”審定的數學物理符號表中的數學符號,比如“=”、“ + ”、“-”、“ ”等。這種數學符號數量非常有限,而且都有嚴格規定。數學辭海第一至五卷正文之后的數學符號表中列出了數學物

6、理符號表中的全部數學符號及國內外數學界已普遍使用的數學符號,總共1158個。現代常用的數學符號僅有200多個,在中小學數學教材中常用的的數學符號只有幾十個。 (2)中義數學符號。中義數學符號是指“用以表示數學概念、數學關系等的符號和記號” 或者“在數學文獻中用以表示數學概念、數學關系等的符號和記號”,主要指得是用來表達數學對象的數學符號及其組合,它不僅包括狹義的數學符號,而且還包括它們的一些特定的符號組合,比如表示函數的符號“”就是由，三個狹義的數學符號組成的。這種數學符號是經過嚴格定義的,其數量總體上具有無限性,會隨著數學的發展不斷增加,但在數學教育或數學基礎教育中的數量是有限的,它們在數量

7、上等于數學學習中需要掌握的可以符號化的數學對象的數量。例如,“三角形”可以符號化為“”,平行四邊形”可以符號化為“”,但“四邊形”卻沒有對應的數學符號。廣義數學符號。廣義數學符號是指能夠剌激感官,在頭腦中產生數學意義的客觀存在,是數學文獻、數學交流及數學教學中用來表達、傳遞、啟示數學意義、數學信息的所有載體或剌激物,它不僅包括文字符號、中義數學符號、圖表符號等人類專門創造的抽象符號,還包括實物、模型、實物圖片等用來傳達數學意義的自然實物符號。這種符號既包括經過嚴格定義的中義符號,也包括臨時約定或創造的符號,還包括只有個體能夠感受到其數學意義的個體性符號,它們在數量上是無限的,涵蓋了所有與數學意

8、義有關的可稱為符號的剌激物,是最廣義的數學符號。它們在形式和意義的對應關系上復雜、多樣,比如對于“三個蘋果”、三”、“3”、“three”、“叁”、“111”等不同的符號,人們往往會獲得相同的數學意義。1.2數學(shxu)符號的分類1.根據數學符號來源不同(b tn)分類 在符號(fho)意義建構過程中,對記號特征的感知、分析和記憶是十分重要的,而了解符號的來源不僅有助于對符號的記憶,而且有助于符號特征的感知和相似符號的區分。 (1)來源于語言文字的字母、詞的首字母或縮寫。由于數學,特別是現代數學主要是由西方數學家創立并發展起來的,因此數學符號主要來源于英語、希臘語、羅馬語、德語等西方語言。

9、在傳入我國時,數學符號保留下來,但數學符號所示的數學概念或數學命題翻譯為漢語時往往并不準確。在數學教學中,教師應根據學生的認知水平,適時地介紹數學符號的相關知識,使學生形式關于數學符號的“知識塊”,加深對數學符號的理解。例如,用“Q”表示“有理數”是因為有理數是兩個整數的商,而Q是Quotient (商)的首字母。虛數單位i是imaginary (虛構的)第一個字母。在“ ”中,是英文單詞Area(面積)的第一個字母,是單詞radius (半徑)的第一個字母。“正弦函數”的英文表達是“sinusoidal function”, 一般縮寫為“sin”,把“角的正弦函數”表示為“ ”。 (2)來源

10、于數學家對數學對象的抽象或個性創意。例如,、等幾何符號具有象形性,主要來源于數學家對數學對象的直接感知和抽象,而、等則完全是數學家的個人創意,被后人所欣賞而得以流傳。 (3)來源于已有符號的組合或意義擴展。例如,“”既表示加法運算又表示正號。則是一個組合符號。需要注意的是,在數學發展中,經過數學家的不斷修改與完善,現在的符號已經日益完美,而且呈現出一定的相關性和邏輯性,這些特征在數學符號教學中可幫助學生進行聯想和記憶。例如,對于符號、可以進行人性化的解讀,使小學生不感抽象、枯燥:“”是完全相同的兩條平行短線,表示一種對待關系,當用斜線把它劃掉時就表示不相等了。因為3表示多,所以當三條短線平行放

11、在一起時,就表示“大家”都是相等的,所以表示的是一種恒等關系。而“、”表示的是一種不對等關系,箭頭指向小的一方,開口指向大的一方。2.根據數學符號意義建構方式(fngsh)不同分類 (1)數學(shxu)自然符號 數學自然符號是指通過感官直接從客觀事物或現實情境中獲得數學意義的符號。從自然數學符號中獲得的意義通常稱為感性經驗,它是認識其他數學符號的基礎。數學教學中,教師出示的實物、模型、教具等都是自然符號。需要特別指出的是,從自然數學符號中獲得數學意義需要學生(xu sheng)具備一定的數學意識或在教師的引導下進行有目的的觀察,才能發現其中的數學意義或數學關系。例如,教師在桌子上放三個蘋果,

12、如果不進行引導,小學生眼中看到的只是蘋果,不會與數字“3”聯系在一起。教師讓學生看一張照片時,如果教師不進行引導或提示,學生不會注意照片中共有多少人,其中男、女各幾人,以及他們的位置關系等。諸如此類的數學信息的獲得主要依賴于學生的數學感或數學意識。 (2)數學人工符號 數學人工符號是人們專門創造的用來表征數學意義的符號,它依附于客觀事物,但所表達的數學意義不同于客觀事物本身意義或者說與本身意義無關。獲得人工數學符號的意義需要經歷兩個階段:一是從客觀事物中知覺并區分出人工數學符號;二是通過聯想思維回憶起人工數學符號的意義。根據人工數學符號意義建構難度的不同,人工數學符號可分為四類:數學圖像符號,

13、主要是指通過錄像、錄音、照相、繪畫等科技手段記錄下的自然符號,是教師創設教學情境的重要素材。數學文字符號,即數學中的自然語言符號,主要是指數學文獻中用來表示數學概念、數學命題的數學專業術語和解釋它們意義的自然語言文字。根據文字在數學交流中作用的不同,文字又分為解釋性文字、概念性文字(數學專業名詞)、命題性文字(數學命題文字)、約定性文字。數學專業符號,即數學中非自然語言的各種記號。主要是指狹義數學符號及其組成的數學表達式。根據表征對象的不同,符號可分為數學對象符號、數學關系符號。數學圖表符號,即由數學文字或數學專業符號組成的各種符號組合或符號表達式,主要是指將有關數學符號按照一定的關系組合在一

14、起的直觀的結構。在數學中,圖表主要包括數學圖示、數學圖形、數學圖像、數學圖表、數學表格。 (3)數學行為符號 數學行為符號是指反映數學符號操作者的符號操作過程和個性心理特征的數學符號。數學符號是公共的,客觀存在的,人們對符號的操作和處理卻具有個性差異,這種差異對于教師了解學生的認知結構水平和興趣、愛好等具有重要意義。例如,在課堂上,教師通過學生回答問題的行為表現就能夠對學生的學習水平和個性特點做出基本的判斷,通過分析學生的作業,可以判斷學生的性別、學習興趣、思維品質等方面的信息。因此,一個好的教師應注意分析學生的數學行為符號,通過各方面的行為表現了解學生,為學生提供針對性的指導。3.根據數學符

15、號所表達的意義不同分類 根據數學符號意義不同,數學符號可分為四類: (1)數學元素符號或數學詞素。元素符號是指有明確數學意義,但不能獨立表示數學對象,需要與其他符號聯結才能表征數學信息的符號。元素符號是最小的記號單位,只是一些簡單的筆畫或音階,但它是組成概念符號的基本元素。如構造英語單詞的26個字母,構造漢字的各種筆畫等。(2)數學概念符號。數學概念符號是指表示一個或多個確定的數學對象的符號它一般由元素符號組成或一個單獨的數學符號。數學概念符號是表征數學對象的基本單位或最小單位,即表示某個確定認識(rn shi)對象的概念符號無法再分拆,分拆后的符號或者沒有意義,或者不再表示當前的認識對象而表

16、示其他的認識對象。這一特性稱為概念符號的整體性。例如,表示(biosh)一個函數,并不是符號，意義之和。所以,概念符號具有明確的意義,它在頭腦中對應著一個人、物、事或關系在人腦中形成的整體心理形象。例如(lr)各種語言中的字、詞或詞組,數學語言中的數字符號、字母符號、關系符號、運算符號等單個符號是概念符號。、等也是概念符號。(3)數學命題符號。數學命題符號一般由元素符號和概念符號組成,指代的是對事物的一個判斷。數學命題符號是為了表示認識對象自身的各種屬性或不同認識對象之間各種關系的一個判斷或陳述而將不同的概念符號按照約定的組合規則連結而成的符號序列,即通常所說的“句子”。從表征的內容看,命題符

17、號是表示信息的基本單位或最小單位。例如,數學中的各種定理、法則、公式等指代的是對事物的一個判斷。從形式上看,命題符號是各種長短不一的符號序列,但這種符號序列是按照一定的約定規則排列的,不是任意的組合。例如,“2人+1人=3人”是有意義的,它遵循了數學符號的排列、組合規則,而“2=人+3”是沒有意義的。由于在數學符號中存在大量的“嵌套”現象,對一些的復雜的數學命題符號表達式進行結構分析往往是一件比較困難的事。比如表示一個矩陣,不是對矩陣屬性或特征的判斷,因而是概念符號,不是命題符號,不能看作是信息。而是一個命題符號,向人們傳遞了一個信息:是一個矩陣。數學文本符號。文本符號是為了詳細描述與某一主題

18、相關的事物的性質或關系而把相關的命題符號串聯或組合起來符號序列。根據主題的從屬關系,文本符號可分別稱為段、節、章、篇等。例如,表示數學問題的符號是數學文本符號。從形式上看,文本符號至少含有兩個以上的命題符號,即命題符號是文本符號的基本單位。從內容上看,文本符號是為了解決某個問題或描繪某個事物的狀態、性質或變化,具有相對明確的主題,形成了一個相對封閉、自足的意義系統或體系。由于文本符號的主題無法在符號序列中直觀顯現出來,因此獲得文本符號的主題需要具備相應的能力。一般情況下,依次從句、段、節、章到篇,符號的意義越來越復雜,只有獲得前者的“言外之意”才能較好地把握后者的主題,獲得后者的意義有助于發現

19、前者的“言外之意”。因此,在閱讀文章時,后面的閱讀有助于對前面文字符號的理解,閱讀完全部文章后再讀前面的文字又會新的理解,而隔一段時間后再重讀文章又會有新的體會,而這些體會往往又是真正文章本身意義的。1.3數學(shxu)符號的特征 對于(duy)數學的符號語言，克萊茵指出(zh ch)：“數學的另一個重要特征是她的符號語言。如同音樂利用符號來代表和傳播聲音一樣，數學也用符號來表示數量關系和空間形式。與日常講話用的語言不同, 日常語言是習俗的產物，也是社會和政治運動的產物，而數學語言則是慎重地、有意地而且經常是精心設計的”。因而，數學符號是一種高度簡化了的符號，這些符號發展到今天己經演變成一門

20、專業化的科學語言。它具有強烈而獨特的特征，主要表現在以下幾個方面:內涵的精確性數學符號能夠為人們從事各種生產關系提供表述關系的精確模式，萊布尼茲認為好的數學符號可以“為我們提供了一條阿里阿德涅線，即一種看得見，摸得著的媒介，以便用來思維”。如符號語言以下幾種表述關系在內涵上都作了明確的區分，就是好的符號。目前國際上微積分符號體系采用的是萊布尼茲形式而非牛頓形式，關鍵是萊布尼茲的符號體系簡潔而且精確。如下面幾種符號形式:“”同一關系；“”屬于關系；“”包含關系. 由于數學符號對他們所要表述的范圍都做了精確的界定，因而避免了“是”這一日常語言在表達上的含糊性。使用上的統一性數學符號已超越民族和國界

21、，是“國際通用語言”。1.4數學符號的功能 作為一種專業語言,除了具有一般語言所具有的語言功能和一般專業符號所具有的實用功能和知識承載功能外,數學符號還具有自身獨特的數學教育功能。1.數學符號反映著數學的本質,對促進數學學科的發展有著重要作用 數學是需要進行高度抽象思維的學科。雖然數學源于人們的生活實踐,但數學作為學科創立之后,就具有了獨立性,在一定程度上可以脫離具體實踐而獨立發展。數學的這種相對獨立性就集中體現在其自成體系的數學符號和數學語言上。一些特殊的數學符號甚至能精確的表述用日常語言難以具體表述或寫出的概念,例如n、e?正是這些數學符號的引入,實現和促進了數學的發展。Cajori, F

22、loriarn指出,現代人的令人不可思議的計算能力要歸功于阿拉伯數字符號、十進制小數與對數的發明。2.數學符號集中體現了數學的形式美,對培養學生數學興趣具有重要作用 數學符號的美感可以幫助學生獲得和提高數學學習的興趣。數學符號不僅方便書寫、運算和推理,而對數學的傳播、普及起著重要的作用。數學符號簡練、優美的形式魅力給數學發展以深層驅動力。在數學教學中,教師不失時機地向學生展示數學符號給我們帶來的無窮魅力和美感,對于激發學生的學習興趣和創造靈感都將是十分有益的。目前,很多教育專家倡導要注重數學文化的傳播,適時介紹有關數學符號的淵源和發展過程應該是數學文化教育中的重要一環。3.數學符號是數學知識的

23、載體,直接影響數學學習的質量(zhling)與效率 按照(nzho)數學課程標準的要求,數學教育的總體目標是讓學生“初步學會運用數學的思維方式去觀察、分析現實社會,去解決日常生活中和其他學科(xuk)學習中的問題,增強應用數學的意識”,簡單說就是要培養學生“用數學的眼光去認識自己所生活的環境和社會”。而任何一種思維方式或心智技能都必須借助于外部語言和符號才能進行。因此,只有掌握了數學符號,才能夠發展數學思維方式和心智技能。古今數學大師們都很重視數學符號的作用。萊布尼茨認識到好的數學符號能節省思維勞動,運用符號的技巧是數學成功的關鍵之一。歐拉則意識到符號的簡化和規則化,既有助于學生的學習,又有助

24、于數學的發展。符號感是學習數學的基礎,沒有符號感的培養難以實現數學教育的目標。4.數學符號是科學的語言,間接影響其他學科的學習效果。 數學是一門基礎學科,學習數學,在一定程度上是為學習其他學科提供基礎。這種基礎的作用是通過數學符號和數學語言為媒介而實現的。符號體系最先由數學學科創立,并為其他學科所采用。因此,在數學教學中對符號感的培養,對于學生科學素質和綜合能力的提局有著重要意義。5.數學符號對于人的發展具有潛移默化的陶冶作用。數學可以讓人形成一種理性精神,這種精神突出表現在數學們的言行和性格特征。Casson Stanley說,人與數學越近,就與動物越遠。Bush Vannevar說,數學家

25、不想玩弄數字,也不想用微積分進行等式轉換,最喜歡一個人擺弄高水平的邏輯符號,而且完全任自己的直覺判斷來選擇操作程序。Darwin Charles則形容數學家的工作是在漆黑的房子里尋找并不存在的黑色帽子的盲人。EgrafovM.說,如果你問數學家他在做什么,你總會得到同樣的回答:在思考。他們思考困難的、非同尋常的問題,不會思考普通的問題,而且只會寫下答案。Flanimarion，Camille描述了數學家思考時的投入:數學家的脾氣通常是難以忍受的,這可以得到心理學上的解釋。他們的頭腦長期處于緊張狀態可能導致消化不良和精神憂郁的原因。King,Jerry P.描繪了數學家們的工作狀態:數學家幾乎總

26、是獨自工作。數學家工作時總是獨自坐在書房中,眼睛盯著雜亂地寫在黑板上的各種方程或已經卷角的再版多次的數學資料,那是他想進行推廣的結論。那是一種安靜的工作,而且經常出現時間停滯的狀態,數學家什么也不做,只是坐在那里,眼睛盯著白紙發呆。當你進來時,發現正在工作的數學家翹著腿凝視著窗外時,你應該說:“對不起,我不知道您在工作。”因為他確實可能正在工作。2 數學符號感的培養2.1充分利用學生已有的生活經驗學生已有的生活(shnghu)經驗中潛藏著豐富的“符號(fho)感”，這是發展(fzhn)學生的數學“符號感”的重要基礎。比如，常見的交通信號、生活中一些電器的標識等。從某種意義上講，我們是生活在一個

27、被“符號化”了的世界里。既往的數學教學實踐表明，對學生而言，學會“數學符號運算”似乎是一個極大的困難。其中原因何在？主要問題在于我們以往的教學不承認學生已有經驗中的“符號世界”，沒有給學生提供機會經歷“從具體事物，學生個性化的符號表示，學會數學地表示”這一逐步符號化、形式化的過程。因此，在教學中教師應充分利用學生已有的生活經驗，同時積極引導和組織學生去認識、收集生活中的各種符號，并加以交流，使其建立事物與符號之間的對應關系，從而為數學符號感的培養奠定認知基礎。例如, 用火柴棒拼擺正方形, 拼擺1個正方形需要4根火柴棒(如圖所示)按照圖中的方式，拼擺2個正方形需要幾根火柴棒？ 拼擺3個正方形需要

28、幾根火柴棒？ 拼擺10個正方形需要多少根火柴棒？ 拼擺100個正方形需要多少根火柴棒？你是怎樣得到的？ 在拼擺2個、3個、10個正方形時，學生們可能會具體數一數火柴棒的根數，但當拼擺100個正方形時，就需要探索出正方形的個數與火柴棒的根數之間的關系，發現火柴棒根數的變化規律，而規律是一般性的, 需要用數學符號來表示.由此學生自然會意識到使用數學符號來表示火柴棒根數的變化規律的簡捷性和普遍性。顯然，此類例子也能夠從一定程度上促進學生理解引入數學符號的普遍性和必要性。其實，對學生而言，數學難學的關鍵之一在于：數學的外在符號表達形式會轉化為外部強加的僵硬的規則體系，也就是對數學與符號語言的關系缺乏正

29、確的認識與轉化。2.2充分挖掘符號的暗示功能 由于按一定規則組織起來的數學符號是思維活動的物質載體, 其功能主要有揭示一般規律、構造數學模型和表達數學思維模式等，因此，它能刺激聯想活動、誘發數學靈感。而我們在平時的數學教學中，往往只教給學生用符號表達的結果，而常常忽視了對數學符號的“最原始”的暗示功能的挖掘，從而導致學生多習慣于停留在數學符號操作的層面上，而不能達到真正借助于符號揭示其深刻的內涵層面。因此，在數學教學中要抓住數學符號創設的啟發性原則，注意充分挖掘符號的暗示功能。例如：“ ” 暗示根號下非負；而則暗示，等。2.3加強數學符號間的轉換訓練 這里所說的數學符號間的轉換，主要是指表示變

30、量(binling)之間關系的表格法、關系式法、圖象法和語言表示之間的轉換。由于一個數學對象從不同的角度去觀察會產生不同的表達形式，因此(ync)，將一種“符號(fho)表達”從一個角度轉換為另一個角度的“符號形式”，可以溝通知識之間的聯系，也有利于問題的解決，這樣也就存在著符號間轉換的根據與可能。例如, “ 已知, 求的最小值”。可以轉換為“求直線上的點到原點的距離的最小值”。進一步再轉換為“求原點到直線的距離”。這樣既溝通了代數與解析幾何的聯系, 又使問題變得簡單易解。所以，在教學時要注意符號語言之間的轉換訓練，充分發揮各種語言的優勢，從而使學生在語言轉換的過程中加深對數學的理解。另外,

31、從數學學習心理的角度來看，不同的思維形式之間的轉換及表達方式是數學學習的核心。因此, 能把變量之間關系的一種形式轉換為另一種表示形式, 構成了數學學習過程中的重要方面。2.4重視師生之間、學生之間的符號語言交流 毫無疑問, 數學只有通過交流才能夠深入和發展, 只有用文字和符號表達出來, 數學思想才變得清晰。也就是說, 數學是借助于數學符號語言與普通文字語言的結合才得以流傳, 當然,學生是通過理解這些數學語言的內涵而掌握數學知識, 進而形成能力的。然而, 由于學生個人的數學認知結構存在差異, 因此, 他(她)對同一數學知識的理解就帶有明顯的個人特征。例如,在剛剛學習了完全平方公式以后, 用它來計

32、算時, 不少學生會出現形如這樣的理解(在他們看來, 此處的“”與公式中的“”是一樣的)。學習了分配律后, 也有不少學生會有如下“同理可得的結論”： 、等。通過交流, 可以幫助教師發現學生錯誤的理解, 從而引導學生自我反思、自我否定, 進而引起同學們的共鳴。通過交流,也可以使學生獲得解決問題的不同思考角度,有利于學生在問題解決中充分地活動, 進而加深對數學的理解。2.5對數學符號運算進行必要的訓練 標準認為, 必須對學生進行(jnxng)分階段的、適當的數學符號運算的訓練。如, 在進行相反數的教學時, 可安排如下練習:；等等。當然,我們并不主張進行繁雜的形式運算訓練, 而應該增加實際情境、探索過程(guchng)、幾何解決等以幫助學生理解數學符號的運算。2.6重視(zhngsh)對符號的涵義和實質的分析 如眾所知, 數學符號的主要作用之一是用高度簡約化的形式語言來表征具體的數學內容。而我們在實際的教學過程中往往會發現學生學習的數學知識過于表面化的現象。例如, 學生在學習數學符號時沒有真正理解數學符號的意義及其蘊含的思想方