1、基于(jy)MATLAB的圖像復原摘要(zhiyo)隨著信息技術的發展，數字圖像像已經充斥著人們身邊的任意一個角落。由于圖像的傳送、轉換，或者其他原因，可能會造成圖像的降質、模糊、變形、質量下降、失真或者其他情況的圖像的受損。本設計(shj)就針對“圖像受損”的問題，在MATLAB環境中實現了利用幾何失真校正方法來恢復被損壞的圖像。幾何失真校正要處理的則是在處理的過程，由于成像系統的非線性，成像后的圖像與原圖像相比，會產生比例失調，甚至扭曲的圖像。圖像復原從理論到實際的操作的實現，不僅能改善圖片的視覺效果和保真程度，還有利于后續的圖片處理，這對醫療攝像、文物復原、視頻監控等領域都具有很重要的意

2、義。關鍵字：圖像復原；MATLAB；幾何失真校正目錄(ml)TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc29043 摘要(zhiyo) 1 MATLAB 6.x 信號處理(xn ho ch l)對MATLAB 6 進行了簡介，包括程序設計環境、基本操作、繪圖功能、M文件以及MATLAB 6 的稀疏矩陣這五個部分。MATLAB的工作環境有命令窗口、啟動平臺、工作空間、命令歷史記錄與當前路徑窗口這四部分。M文件的編輯調試環境有四個部分的設置，分別是：Editor/Debugger的參數設置，字體與顏色的設置，顯示方式的設置，鍵盤與縮進的設置。MATLAB采用路徑搜索的方法來查找文件

3、系統的M文件，常用的命令文件組在MATLAB文件夾中，其他M文件組在各種工具箱中。基本操作主要是對一些常用的基本常識、矩陣運算及分解、數據分析與統計這三方面進行闡述。MATLAB的基本操作對象時矩陣，所以對于矩陣的輸入、復數與復數矩陣、固定變量、獲取工作空間信息、函數、幫助命令進行了具體的描述。矩陣運算是MATLAB的基礎，所有參與運算的數都被看做為矩陣。MATLAB中共有四大矩陣分解函數：三角分解、正交分解、奇異值分解以及特征值分解。數據分析與統計包括面向列的數據分析、數據預處理、協方差矩陣與相關系數矩陣、曲線擬合這四部分。MATLAB 中含有豐富的圖形(txng)繪制寒素，包括二維圖形繪制

4、、三維圖像繪制以及通用繪圖工具函數等，同時還包括一些專業繪圖函數，因此其具有很強大的繪圖功能。簡單的二維曲線可以用函數plot來繪制，而簡單的三維曲線圖則用plot3來繪制。在繪制圖形時，MATLAB自動選擇坐標軸表示的數值范圍，并用一定的數據間隔標記做標注的數據，當然自己也可以指定坐標軸的范圍與數據間隔。專業的繪圖函數有繪梯度圖制條形圖、餅圖、三維餅圖、箭頭圖、星點圖、階梯圖以及等高線。M文件時用戶自己通過文本編輯器或字處理器生成的，且其之間可以相互調用，用戶可以根據自己的需要，自我編寫M文件。M文件從功能上可以分為底稿文件與函數文件兩類，其中底稿文件是由一系列MATLAB語句組成的，而函數

5、文件的第一行必須包含關鍵字“function”，二者的區別在于函數文件可以接受輸入參數，并可返回輸出參數，而底稿文件不具備參數傳遞的功能；在函數文件中定義及使用的變量大都(ddu)是局部變量，只在本函數的工作區內有效，一旦退出該函數，即為無效變量，而底稿文件中定義或使用的變量都是全局變量，在退出文件后仍為有效變量。稀疏矩陣是一種特殊類型的矩陣，即矩陣中包括較多的零元素。MATLAB對稀疏矩陣的存儲有兩種模式：完全存儲和稀疏存儲。函數full和sparse是一對用來對矩陣存儲模式進行轉換的內部矩陣。函數sparse可以用一組非零元素直接創建一個稀疏矩陣，其格式如下：S=Sparse(i，j，s，

6、m，n)其中i和j都為數組，分別代表矩陣中非零元素的行號和列號；s是一個全部元素為非零的數組，元素在矩陣中排列的位置為(i,j)；m為輸出矩陣的稀疏矩陣的行數，n為輸出的稀疏矩陣的列數。函數(hnsh)sparse還有一種格式為：S=Sparse(i，j，s，m，n，nzmax)其中，參數i、j、s、m、n的說明與上面(shng min)的格式相同，參數nzmax用來設置矩陣中非零元素的最大數目。Full函數可以講稀疏矩陣變為一般矩陣。將一個矩陣的對角線元素保存在一個稀疏矩陣中，可以使用(shyng)函數spdiags實現，其語法格式為：S=spdiags(B，d，m，n)創建一個大小為的稀疏

7、矩陣S，其非零元素來自矩陣B中的元素且按對角線排列。參數d指定矩陣B中用于生成稀疏矩陣S的對角線位置。矩陣的主對角線可以認為是第0條對角線，每向右移動一條對角線編號加1，向左下移動一條對角線編號減1，也就是說B中j列的元素填充矢量d中第j個元素所指定的對角線。用外部文件創建的文本文件，如果其中的數據按3個列排列，可以將這個文本文件載入工作空間，用于創建一個稀疏矩陣。MATLAB提供了專門針對稀疏矩陣的函數。處理稀疏矩陣時，計算的復雜程度與稀疏矩陣中的非零元素的個數成正比，計算的復雜程度也與矩陣的行列大小有關，稀疏矩陣的乘法、乘方，包含一定次數的線性方程等，都是比較復雜的運算。稀疏矩陣的行交換與

8、列交換可以用以下兩種方法表示：對于交換矩陣P，對稀疏矩陣S的行交換可表示為，列交換可以表示為。對于一個交換矢量p，p為一般矢量，包含1n個自然數的一個排列。對稀疏矩陣進行行交換，可以表示為S(p,:)。S(p,:)為列交換形式。對于矩陣S的第i列進行行交換的形式為S(p,i)。稀疏(xsh)矩陣和一般矩陣一樣，同樣可以進行LU分解、Cholesky分解、QR分解以及一些不完全分解。與一般矩陣的特征值求解函數eig不同的是，計算稀疏矩陣的特征值采用函數eigs。一般矩陣的奇異值分解用函數svd，對稀疏矩陣額的奇異值分解使用函數svds。第二章對離散信號進行了詳盡的闡述，并就其MATLAB的實現作

9、了總結。典型的離散信號有單位抽樣序列、單位階躍系列、正弦序列、復正弦序列、指數(zhsh)序列、隨機序列6種。單位抽樣序列的表達式如下： （1-1）又被稱為Kronecker函數，該信號在離散信號與離散系統的分析與綜合中有著重要(zhngyo)的作用，在MATLAB中可以利用zeros函數來實現。如要產生N點的單位抽樣序列，可通過下列語句實現：單位階躍序列的表達式如下： （1-2）MATLAB中的ones函數可以容易實現N點單位階躍序列：。正弦序列的表達式如下： （1-3）其MATLAB的實現如下所示：復正弦序列的表達式如下： （1-4）其MATLAB的實現如下所示：指數序列(xli)的表達式

10、如下所示： （1-5）其MATLAB的實現(shxin)如下所示：隨機(su j)序列在MATLAB中是可以很容易實現的，有以下兩類：rand(1,N)產生0，1上均勻分布的隨機序列；randn(1,N)產生均值為0，方差為1的高斯隨機序列，也就是白噪聲序列，其他的分布的隨機數可以通過上述隨機數的變換而產生的。對離散信號所作的基本運算分別是移位、相加、相乘等等，其MATLAB的實現如下所示：信號延遲：給定離散信號，若信號定義為，那么，是信號在時間軸上右移k個抽樣周期得到的新序列。信號相加：。值得注意的是，當序列和的長度不等或位置不對應時，首先應使兩者位置對齊，然后通過zeros函數左右補零使其

11、長度相等后再相加。信號相乘：，這是樣本與樣本之間的點乘運算，在MATLAB中可采用來實現，但兩序列應做如相加運算同樣的操作。序列和同上，相乘后得到序列。信號標量乘：，其MATLAB很容易實現：。信號翻轉：，在MATLAB中可以直接用fliplr函數實現此操作。信號和：對于N點信號，其和的定義為：，采用MATLAB實現所示：。信號積：對于N點信號，其積的定義為：，MATLAB實現如下所示：。信號能量：有限(yuxin)長信號的能量定義為：，其MATLAB實現(shxin)有兩種方法：或者(huzh)。對于0，1上均勻分布的隨機噪聲可以直接利用MATLAB中的rand函數實現，均值為0，方差為1的

12、高斯隨機噪聲即白噪聲有函數randn產生。對于其他分布（如瑞利分布、對數正態分布等）的隨機噪聲可以通過上述隨機數的變換而產生，這些都是噪聲的產生方法。MATLAB中含有豐富的函數用以生產無線電技術以及通訊等領域廣泛采用的信號波形，如方波、三角波和線性調頻信號等。其中MATLAB內部提供的產生信號波形的函數有五種，分別是：SAWTOOTH函數、SQUARE函數、SINC函數、DIRIC函數、CHIRP函數。第三章對離散系統的基本概念作了描述，然后對離散系統的時域與頻域表示方法以及相應的MATLAB實現進行了具體的闡述，最后介紹了有關離散系統變換的知識。離散系統的定義是：一個離散系統，可以抽象為一

13、種變換，或是一種映射，即把輸入序列變換為輸出序列：，式中，T代表變換。這樣，一個離散系統既可以是一個硬件裝置，也可以是一個數字表達式。離散系統有四個重要定義，分別是：線性、移不變性、因果性、穩定性。線性的定義是：設一個離散系統對的響應是，對的響應是，即 （1-6）若該系統對的響應，即 （1-7）那么，該系統是線性的。設一個離散系統對的響應是，即。若滿足，則該系統是移不變的，同時具有線性和移不變的離散系統成為線性移不變系統，簡稱為LSI系統。一個LSI系統，如果它在任意時刻的輸出只決定于現在時刻和過去的輸入，而與將來的輸入無關，那么，該系統是因果系統。穩定性的定義是一個信號，如果存在一個實數R，

14、使得對所有的n都滿足，那么，稱是有界的。對一個LSI系統，若輸入是有界的，輸出也有界，那么該系統是穩定的。穩定性是一個系統能否正常工作的先決條件。對于同一個離散系統，可以從時域和頻域兩個方面來進行描述，也可以對其進行內部描述。另外，頻域描述又可以分為頻率響應、轉移函數、零極點增益與二次分式幾種不同的表示形式。一個LSI系統可以用一個常系數線性差分方程來描述： （1-8）式中，M是方程的系數。給定輸入(shr)信號以及系統的初始條件，可求出該差分(ch fn)方程的解，從而得到系統的輸出。LSI系統的頻域表示分為頻率響應、轉移(zhuny)函數、零極點增益、二次分式四部分。頻率響應定義是：任意L

15、SI系統都可由單位抽樣響應表示，相應的在頻域中可以用頻率響應來表示，它是的離散傅里葉變換。若定義，則LSI系統的頻率響應變為：，該式為單位抽樣的Z變換，是系統的轉移函數。將轉移函數的分子、分母分別作因式分解，便可得出LSI系統的零極點增益表示形式： （1-9）式中，稱為系統的增益因子。使分母多項式等于零的z值（即），稱為系統的極點，同理，使分子多項式等于零的z值（即），稱為系統的極點。通過系統的零極點增益表示形式，很容易判斷一個LSI系統的穩定性，也就是說，若所有的極點都位于單位圓內，則系統是穩定的。離散系統的內部描述是用狀態方程和輸出方程來表示的。離散系統的MATLAB實現是用函數來實現的，

16、對這些函數進行簡要介紹。能產生單位抽樣響應的函數有：zeros函數、filter函數、impz函數。零極點增益是用roots函數來實現的。離散系統變換函數包括：tf2zp函數、tf2ss函數、zp2tf函數、zp2sos函數、zp2ss函數、sos2tfz函數、sos2zp函數、sos2ss函數、ss2tf函數、ss2zp函數、ss2sos函數。第四章對離散傅里葉變換DFT、Chirp z 變換、離散余弦變換DCT、Hilbert變換進行了闡述(chnsh)，并對其進行了MATLAB仿真。有限長序列的離散傅里葉變換(binhun)公式如下所示： （1-10）離散傅里葉DFT的性質有線性、正交性

17、、圓周移位、圓周卷積、共軛對稱性5個性質。Z變換(binhun)是離散系統與離散信號分析與綜合的重要工具。一個離散序列的z變換定義為： （1-11）Z變換有線性、序列移位、與指數序列相乘、的微分、復序列的共軛、序列卷積、序列乘積7個特性。Chirp Z變換即線性調頻Z變換，可用來計算單位圓上任一段曲線上的Z變換。做DFT時輸入的點數N和輸出點數M可以不相等，從而達到頻域”細化“的目的。序列的Hilbert變換是，則，求出，即可構成的解析信號：，也可以用DFT求出一個信號的解析信號及Hilbert變換，步驟是：求的DFT，k=0,1，N-1，其中對應負數頻率。令對做逆DFT，得到(d do)的解

18、析(ji x)信號。由，得。Hilbert變換(binhun)具有兩個性質，分別是：序列通過Hilbert變換器后，信號頻譜的幅度不發生變化；序列與其Hilbert變換是正交的。第五章對IIR系統、FIR系統結構、離散系統的Lattice結構進行了具體描述。一個N階IIR數字濾波器的系統函數可以表示為： （1-12）其差分方程為： （1-13）無限長單位取樣響應IIR數字濾波器的主要特點是：單位取樣響應是無限長的，即，。系數函數在有限平面z上有極點存在。結構上存在著輸出到輸入的反饋網絡，即結構式遞歸的。實現同一個系統函數，可以用不同的結構形式，它的主要的結構形式有直接型、直接型、級聯型與并聯型

19、四種。有限長單位取樣響應FIR濾波器突出特點是單位取樣僅有有限個非零值，即為一個N點序列，其中系統函數為： （1-14）在Z=0處有N-1階極點，而沒有除Z平面原點（Z=0）外的極點。FIR濾波器的結構主要是非遞歸結構，沒有輸出反饋。FIR系統的結構有直接型、級聯型兩種。 Lattice結構是一種新的系統結構形式，在功率譜估計、語音處理、自適應濾波等方面已經得到了廣泛的應用。這里從零點系統和全極點系統進行討論。一個M階的FIR系統的轉移函數可寫為： （1-15）系數(xsh)表示M階FIR系統(xtng)的第i個系數。第六章是用MATLAB來進行IIR DF（IIR數字濾波器）的設計(shj)

20、。先對數字濾波器進行簡介。數字濾波器是數字信號處理的重要基礎，在對信號的過濾、檢測與參數的估計等信號處理中，數字濾波器是使用最為廣泛的一種線性系統。數字濾波器是對數字信號實現濾波的線性是不變系統。設計數字濾波器包括以下幾個步驟：按照實際任務的要求，確定濾波器的性能指標。用一個因果、穩定的離散線性時不變的系統函數去逼近這一性能指標。根據不同的要求可以用IIR系統函數，也可以用FIR系統函數去逼近。利用有限精度算法實現系統函數，這里包括結構的選擇、字長選擇等。設計一個濾波器，重要的是尋找一個穩定、因果的系統函數去逼近濾波器的技術指標。一個也能過、穩定的模擬濾波器的系統函數應該滿足如下條件：濾波器的

21、單位沖擊響應函數應該是一個實函數，即是一個具有實系數的s的有理函數。的極點必須分布在s平面的左半平面。的分子多項式的階數必須小于或者等于分母多項式的階數。實際上設計模擬原型濾波器是要尋求一個逼近理想低通濾波器的函數，所謂原型低通濾波器是指低通模擬或數字濾波器。模擬低通濾波器的設計方法有：巴特沃斯、切比雪夫和橢圓濾波器。模擬低通巴特沃斯濾波器是以巴特沃斯函數作為濾波器的系統函數，它的幅度平方函數表示為： （1-16）式中的N為正整數，表示濾波器的階數。為通帶的截止頻率，或的3分貝帶寬。模擬的低通巴特沃斯濾波器的設計過程包括以下兩個過程：按照給定的通帶和阻帶(z di)指標確定階數N。從幅度平方函

22、數(hnsh)確定系統函數。切比雪夫型濾波器在通帶內幅度(fd)特性是等波紋的，在阻帶是單調的，而切比雪夫則相反，它在通帶內是單調的，在阻帶內是等波紋的。切比雪夫濾波器由3個參數需要確定：、和N，其中是給定的截止頻率，由容許的通帶波紋或通帶的幅度誤差確定。橢圓濾波器是采樣有限零點設計的濾波器，它能更好的逼近理想的低通濾波器。它的幅度平方函數為： （1-17）式中的是雅可比橢圓函數，是與通帶衰減有關的函數，階數N等于通帶和阻帶內最大點和最小點的總和。脈沖響應不變法的設計原理是使得數字濾波器的單位取樣響應序列模仿模擬濾波器的沖激響應。雙線性變換化是使得數字濾波器的頻率響應模仿模擬濾波器的頻率響應模

23、仿模擬濾波器的頻率響應的一種方法。這種方法的基本思路是：首先將整個s平面壓縮到平面的一條帶寬為（從到）的橫帶里，然后通過標準的變換關系將橫帶變換成整個z平面上去，這便得到s平面與z平面之間的一一對應的單值關系。對有限長單位脈沖響應數字濾波器進行介紹。窗函數在設計FIR數字濾波器中有很重要的作用，正確的選擇窗函數可以提高所設計的數字濾波器的性能，或者在滿足設計要求的情況下，減小FIR數字濾波器的階數。常見的窗函數有矩形窗、三角窗、布拉克曼窗、漢寧窗、海明窗、凱塞窗、巴特里特窗、切比雪夫窗8種。設計FIR數字濾波器最簡單的方法是窗函數法，通常也稱為傅里葉級數法。FIR濾波器的設計同IIR數字濾波器

24、的設計一樣，首先給出要求的理想濾波器的頻率響應，設計一個FIR數字濾波器頻率響應，去逼近理想的頻率響應。然而窗函數法設計FIR數字濾波器是在時域進行的，因而必須由理想的頻率響應推導出對應的單位取樣響應，在設計一個FIR數字濾波器的單位取樣響應去逼近。頻率取樣法設計FIR數字濾波器是從頻域出發，根據頻域的采樣定理，對給定的理想濾波器的頻率響應進行等間隔的采樣： （1-18）等波紋切比雪夫法是采用(ciyng)最大誤差最小準則得到最佳數字濾波器，并且最佳解是唯一的。切比雪夫逼近法設計FIR數字濾波器的過程是：規定(gudng)所需的頻率響應，加權函數(hnsh)和濾波器的單位脈沖響應的長度N。形成

25、、和。利用雷米茲多重交換算法求解逼近問題。計算濾波器的單位脈沖響應。采用切比雪夫逼近設計方法能夠得到既有嚴格線性相位，又有很好衰減特性的濾波器，因此，切比雪夫逼近法在濾波器設計中占有很重要的位置。講述了功率譜估計的問題。功率譜估計方法可以分為經典譜估計和現代譜估法兩種，經典譜估計法又可分為直接法和間接法，Bartlett法和Welch法是直接法的改進。隨機序列自相關函數估計的兩種形式為： （1-19）用FFT計算自相關函數的一般步驟：對補N個零，得，對做DFT得，k=0，1，2N-1；求的幅平方，然后除以N，得；對做逆變換，的。在MATLAB中，函數xcorr用來進行自相關函數估計，且為局域上

26、述FFT的快速算法，其格式為：C=XCORR(A,flag)，該函數返回長度為2N-1的自相關序列。AR模型功率譜估計是現代譜估計的主要內容。AR模型又稱為自回歸模型，它是一個全極點的模型，該模型現在的輸出時現在的輸入和過去輸出的加權和。AR模型譜估計的性質有：AR譜的平滑特性、AR譜的分辨率。基于矩陣特征分解的功率譜估計包括特征向量估計與MUSIC估計，這兩種估計方法均為非參數估計方法，特征向量估計主要使用混有白噪聲的正弦信號的功率皮估計，而MUSIC估計適合更為普遍情況下正弦信號參數估計的方法。函數Pmusic為MUSIC估計，而函數Peig為特征向量估計。2 圖像復原的方法(fngf)及

27、其應用2.1 圖像復原的方法(fngf)在圖像的獲取、傳輸和保存的過程中，由于各種原因，如大氣的湍流效應、傳感器特性的非線性、成像設備與物體之間的相對運動、攝像設備中光學系統的衍射(ynsh)、膠片顆粒噪聲和感光膠卷的非線性、光學系統的像差以及電視攝像掃描的非線性等所引起的幾何失真，都可能造成圖像的畸變和失真。通常，由于這些因素引起的質量下降稱為圖像退化1。圖像退化的表現是圖像出現模糊、失真以及附加噪聲等。由于圖像的退化，在圖像接收端顯示的圖像已經不再是發送的原始圖像，圖像的效果明顯變差，因此我們可以采用一些技術手段來盡可能的減輕甚至消除圖像質量的下降，還原圖像的本來面目，這就是圖像復原2。圖

28、像復原是圖像處理領域中一種非常重要的處理技術，與圖像增強等其他基本圖像處理技術類似，也是以獲取視覺質量程度的改善為目的，所不一樣的地方是圖像復原過程實際上是一個估計的過程，需要根據一些特定的退化模型，對退化圖像進行校正。簡而言之，圖像復原的處理過程就是提升退化圖像的質量，并通過圖像質量的提高來達到圖像在視覺上的改善。因為引起圖像退化的原因很多，且性質各不相同，目前還沒有統一的復原方法，許多研究人員根據不同的應用環境，采取了不同的退化模型3-4、估計準則和處理技巧，所以得到了各種復原方法。圖像復原的算法是整個技術的核心內容。目前，國內在這方面的研究才剛起步，而國外已經取得了較好的成果。早期的圖像

29、恢復是用光學的方法對失真的測試圖像進行復原，但是關于數字圖像復原技術的研究則是從對天文觀測圖像的后期處理中才逐漸發展起來的。其中一個成功例子是在1964年，NASA的噴氣推進實驗室用計算機處理有關月球的照片。照片是用電視攝像機在空間飛行器上拍攝的，圖像的復原包括消除噪聲和干擾等因素，校正幾何失真和對比度損失以及反卷積。另一個典型的例子則是對肯尼迪遇刺事件現場照片的處理。由于事情發生的太突然，照片是在相機移動地過程中拍攝的。圖像復原的主要目的就是消除移動造成的失真。還有其在在醫學領域，圖像復原的技術能廣泛的應用于X光，CT，B超等成像系統，用來抑制各種醫學成像系統或圖像獲取系統的噪聲，改善醫學圖

30、像的分辨率5。現今的復原方法有：維納濾波、逆濾波、最小二乘濾波、幾何失真校正等多種復原方法。隨著數信號處理和圖像處理的發展，新的復原算法不斷出現，不同的復原方法所需的條件是不相同(xin tn)的，所以在應用中可以根據具體情況加以選擇。2.2 圖像復原的應用(yngyng)目前國內外對于圖像復原技術的研究和應用主要集中在空間探索、天文觀測、物質研究、遙感遙測、軍事科學、生物科學、醫學影象、刑事偵察、交通監控等領域。如在生物方面，主要是用于生物活體細胞內部組織的三維再現和重構，通過復原熒光顯微鏡所收集的細胞內部的逐層切片圖，來重現細胞內部構成；醫學方面，如對腫瘤周圍組織進行顯微觀察，以獲取腫瘤安

31、全切緣與癌腫原先部位(bwi)之間關系的定量數據；天文方面則采用迭代盲反卷積進行氣動光學效應圖像復原研究等。3 幾何(j h)失真校正實現(shxin)在圖像的獲取或者顯示的過程中通常會產生幾何失真(sh zhn)，比如成像系統有一定的幾何非線性，其主要原因是視像管攝像機和陰極射線管顯示器的掃描偏轉系統有一定的非線性，所以會造成圖像的枕形失真或桶性失真。另外，由衛星拍攝的地球表面的圖像往將往覆蓋較大的面積，由于地球表面呈球形，這樣拍攝的圖像同樣會有比較大的幾何失真。幾何失真一般分為系統失真和非線性失真。系統失真是有規律的、能預測的；而非線性系統的失真則是隨機的。當對圖像進行定量分析的時候，就要

32、先對畸變的圖像進行準確的幾何失真校正12（即把幾何失真的圖像校正成與原圖像相差無幾的圖像），以免影響分析精度。基本的方法是：首先，要建立幾何校正的數學模型；其次，用已知的條件來確定模型參數；最后，根據畸變模型對圖像進行幾何校正。通常可以分為以下兩步：（1）圖像空間坐標的變換；（2）確定校正空間各像素的灰度值（灰度內插）。3.1 空間變換假設一幅圖像為，經過幾何失真變成了，其中，表示的是失真圖像的坐標，而不是原圖像的坐標。上述變化可表示為： （3-1） （3-2）這里，和是空間變換，產生了幾何失真圖像。若函數和已知，則可以依據一個坐標系統的像素坐標算出另一坐標系統的對應像素的坐標。在已知情況下，

33、通常和可用多項式來近似： （3-3） （3-4）式中，為多項式的次數(csh)，和為各項系數(xsh)。3.1.1 已知和條件下的幾何(j h)校正若我們具備先驗知識、，則希望將幾何畸變圖像恢復為基準幾何坐標的圖像。幾何校正通常分為直接和間接兩種方法。直接法。先通過來推出，然后計算每個像素的校正坐標值，保持各像素灰度值不變，然后生成一幅校正圖像，但其像素的分布是不太規則的，可能會出現疏密不均、像素擠壓等現象。間接法。假設復原圖像的像素在基準坐標系統內是等距網格的交叉點，從網格交叉點的坐標出發，可以算出在已知幾何畸變圖像上的坐標，即： （3-5）雖然點坐標為整數，但一般不為整數，不會剛好就處于畸

34、變圖像像素的中心，所以不能直接明確該點的灰度值，而只能由其在幾何失真圖像的周圍像素灰度內插求出，作為對應像素的灰度值，據此可以獲得校正之后的圖像。由于間接法內插灰度比較容易，所以在通常情況下采用的是間接法來進行幾何失真校正。3.1.2 和未知條件下的幾何失真在這種情況下，通常用原始圖像和幾何畸變圖像上多對“連接點”的坐標來確定和。假設基準圖像像素的空間坐標和待校正圖像的對應像素的空間坐標之間的關系用二元多項式來表示，表達式如下： （3-6） （3-7）式中，為多項式的次數(csh)，和為各項待定系數(xsh)。對于(duy)線性失真： （3-8） （3-9）對于一般的（非線性）二次失真： （3

35、-10） （3-11）利用“連接點”建立失真圖像與校正圖像之間其他像素空間位置的相應關系，而“連接點”在失真圖像和校正圖像中的位置是精確已知的。失真圖像和校正圖像中有四邊形區域，這兩個四邊形的頂點就是相應的“連接點”。假定四邊形區域中的幾何畸變的過程可以用二次失真方程來表示，即： （3-12） （3-13）將以上兩個表達式代入式（3-1）和式（3-2）中，得： （3-14） （3-15）因為一共有四對“連接點”，代入式（3-14）和式（3-15）可得8個聯立方程，由這些方程可以解出8個系數、。這些系數就可以形成用于變換四邊形區域內所有像素的幾何失真模型，即空間映射公式。通常來說，可以把一幅圖像

36、分割成一系列覆蓋全圖的四邊形區域的集合，在每個區域尋找足夠的“連接點”用來計算進行映射所需的系數。只要有了系數，校正（即復原）圖像就不那么困難了。如果想找到非線性失真圖像在任一點的的值，需要簡單地知道在失真圖像中的什么地方被映射。為此，可以把代入式（3-14）和式（3-15）得到幾何失真坐標。在無失真圖像中被映射到點的值是。這樣簡單地令，就得到了復原圖像的值。3.2 灰度插值最簡單的灰度灰度插值是最近鄰插值（也稱為零階插值），該方法實現起來相對簡單，但是有時不夠精確，甚至經常(jngchng)產生不希望的認為疵點，如高分辨率圖像直邊的扭曲；對于通常的圖像處理，雙線性插值很實用；更完善的技術如樣

37、條插值、立方卷積內插等可以得到較平滑的結果，但是更平滑的仿真的代價就是增加計算開銷。在MATLAB13軟件(run jin)中生成如圖3.1所示的figure圖像，然后在figure圖像上的失真圖像和原始(yunsh)圖像上選取九對點，最后依據選取的九對點來進行校正。圖3.1 選取連接點圖像圖3.2 幾何失真(sh zhn)及校正后圖像3.3 結果(ji gu)分析圖3.1是調用(dioyng)cpselect函數，使系統啟動交互連接點工具，然后在figure文件上的圖像交替選擇對應的坐標點，將其輸出到Workspace中，進行坐標點的統計；圖3.2是校正的結果，第二張是幾何失真之后的圖像，第

38、三張是幾何校正后的圖像，校正后的圖像和原圖像相比，幾乎沒有什么差別，所以幾何失真校正復原出來的結果很好，但是它的適用條件是圖像的幾何失真，其他的失真方式，比如說圖像的質量退化，就不可以采用這種復原方法。參考文獻1 朱冠南.基于(jy)MATLAB的圖像復原設計(shj)J.技術(jsh)交流,2009:87.2 王婷.退化圖像的復原改進算法研究與實現D.哈爾濱:哈爾濱工程大學,2007.3 何東健.數字圖像處理M.西安:西安電子科技大學出版社,2003:263-264.4 胡學龍,許開宇.數字圖像處理M.北京:電子工業出版社,2006:111-132.5 吳亞東.圖像復原算法研究D.成都:電子科技大學,2006.6 楊杰.數字圖像處理及MATLAB實現M.北京:電子工業出版社,2013:127-131. 7 Rafael C Gonzalez,Richard E Woods,Steven L Eddins.Digital image processing(MATLAB)M.Addi