1、第三節 馬爾柯夫鏈預測馬爾柯夫(Markov)是俄國數學家。馬爾可夫法和博克斯一詹金斯法都是隨機時間序列分析法。1馬爾柯夫鏈預測馬爾柯夫鏈預測是利用某一系統的現狀及其發展動向去預測該系統未來狀況的一種分析方法和技術。對于一個系統，在由一種狀態轉換至另一種狀態的轉換過程中，存在著轉移概率，這種轉移概率可以依據其緊接的前一種狀態推算出來，而與該系統的原始狀態和此次轉移以前的有限次或無限次轉移無關。系統的這種由一種狀態至另一種狀態的轉移過程為馬爾柯夫過程，其整體轉移過程稱為馬爾柯夫鏈。2馬爾柯夫鏈預測對于某一預測對象的馬爾柯夫過程或馬爾柯夫鏈的運動、變化進行研究分析，進而推測預測對象的未來狀況和變化

2、趨勢的工作過程，稱為馬爾柯夫分析。 馬爾柯夫分析做為一種基本的隨機分析方法，不論在社會科學還是在自然科學中近年來都得到了廣泛的應用。 3第一節 馬爾柯夫過程分析基本原理一、概率向量二、概率矩陣三、系統的穩定狀態四、狀態轉移矩陣此部分內容在吉林科學技術出版社經濟預測及數量分析 吳風山4馬爾柯夫鏈作為一種基本的預測模型，以預測客觀經濟事件的未來狀態。當探討由一種狀態轉為另一種狀態的時候，可以使用這種模型，盡管這種方法只限于具有特殊性質的問題，但可從這種方法中獲得有益的信息。第二節 馬爾柯夫過程分析在預測中的應用5第二節 馬爾柯夫過程分析在預測中的應用應用馬爾柯夫鏈進行預測工作，首先必須把研究的問題

3、歸納成獨立的狀態，例如對于商品的銷售情況可以歸納為暢銷，滯銷等狀態。其次是需要確定經過一個時期后，事件由一種狀態轉為另一種狀態的概率，且這種概率必須滿足下列條件： 1 只與目前的狀態有關， 2 與具體的時間周期無關， 3 預測期間狀態的個數必須保持不變。如果現實問題符合上述假定，則構成一階馬爾柯夫鏈。并可據此建立預測模型6具體步驟是： 1. 確定系統的狀態。首先把預測所需要研究的目標歸納成一組“狀態”。各狀態之間應互不相容，且所有的狀態共同構成一完備事件組。 2確定轉移概率矩陣。依據歷史統計數字計算比例數或統計事件發生的頻率，依此確定轉移概率和狀態發生的概率；利用抽樣調查方法確定轉移概率或用主

4、觀概率法估計轉移概率。 3. 進行預測計算。多種方案分析，確定預測結果。7馬爾柯夫預測流程圖用馬爾柯夫過程分析進行預測的工作流程圖8第三節 馬爾柯夫過程分析預測應用實例 設有A、B、C三家企業的同種產品上個月在某地區市場上的占有率分別為：0.52，0.30，0.18 根據市場調查情況，每1000戶顧客中分別購買A、B，C三家企業產品的變化情況如表19 分析動態變化情況:上月份購買A企業產品的顧客為520人，本月份有156人轉為B企業，有52人轉為C企業，A企業只保住老顧客312人；上月份購買B企業產品的顧客為300人，本月份有105人轉為購買A企業產品，有90人轉為購買C企業產品，B企業保住老

5、顧客105人；上月份購買C企業產品的顧客為180人，本月份有18人轉為購A買企業產品、有36人轉為購買B企業產品，C企業現有老顧客268人。10下面用馬爾柯夫分析方法預測：如按目前趨勢發展下去，三家企業產品的市場占有率，客戶轉移對A企業的影響程度如何？11 1將上述情況表達成初始狀態和轉移概率矩陣形式。以上月份為第一周期，如以S（0）表示第一周期A、B、C三個企業產品市場占有率的概率向量，則 S（0）=(0.52 0.30 0.18)即在初始狀態，1000戶顧客中，A企業有520戶，占產品總銷售額的52，B企業有300戶，占產品總銷售額的30，C企業有180戶，占產品銷售額的18。12利用相鄰

6、兩個周期產品銷售額(市場占有率)的數據來推測未來銷售周期內的顧客分配情況，主要取決于：1) 現在市場占有率的分配情況，即每一家購貨顧客人數的百分比；2) 某企業現有顧客在下一銷售周期仍購買該企業產品的顧客人數百分比和在下一銷售周期轉向購買其它企業產品顧客人數的百分比，即保留率和轉出率；3) 某企業原有顧客在下一周期轉向本企業購貨的百分，即轉入率。 13為分析研究未來若干周期的顧客流向，把表1的顧客人數轉移的數據，化為轉移概率。見表2。表中數據是每個企業在一個周期的顧客數與前一個周期顧客數相除所得到的比例。表中每一行表示某企業從一個周期到下一個周期將能保住的顧客數的百分比，以及將要喪失給競爭對手

7、的顧客數的的百分比。表中每一列表示各個企業在下一個周期將能保住的顧客數的百分比，以及該企業將要從其它競爭對手那里獲得顧客的百分比。即行表示保留與喪失顧客數的百分比；列表示保留與獲得顧客的百分比。14上表用矩陣形式表示，則為此矩陣稱為顧客流動的狀態轉移概率矩陣，式中的各行與各列構成各自的行向量。狀態轉移概率矩陣還表示一個隨機挑選的顧客，從一個周期到下一個周期仍購買某一企業產品的可能概率。152 計算本期市場占有率假設近期內轉移概率基本不變(即顧客的愛好變化)，根據馬爾柯夫過程分析的原理和預測模型，利用市場占有率概率向量S(0)與轉移概率矩陣P，計算得到本月三家產品的市場占有率S(1)為：S(1)

8、= S(0) P即162 計算本期市場占有率這樣我們得到本期A、B、C三個企業產品市場占有率的行向量S(1)為： 173 后續周期趨勢預測 預測下個月三個企業產品的市場占有率S(2)，可將本月三個企業產品市場占有率概率行向量S(1)乘以轉移概率矩陣P，即可得到每一企業下月份的市場占有率S(2) ，即183 后續周期趨勢預測這樣得第二周期(下月)A，B、C三個企業產品的市場占有率為：這說明在轉移概率基本不變的情況下，如果能夠估計出總的市場容量，即可求得各企業產品的市場需求量。19 如果需要進行長期趨勢預測，則可繼續計算下去，由第二周期的市場占有率行向量與轉移概率矩陣的乘積求得S(3)，其余類推。

9、即20下面根據上式對上例A，B，C三個企業產品第一至十二周期的市場占有情況進行預測，將其數據列表3中，并繪制A，B，C三個企業產品銷售隨周期的變化趨勢曲線，如圖2。 212223 分析A，B，C三家產品的變化趨勢表3和圖2可以看到，A企業產品和B企業產品逐期下降，且A企業產品下降幅度較大，C企業產品卻以較大的幅度逐期上升。這說明A企業要想保住產品在市場上的優勢，必須分析產品下降的原因，采取相應的銷售策略和措施。244 平衡狀態分析平衡狀態是各企業產品銷售份額不發生逐期變化的狀態。即在顧客基本不流動時，這一系統所達到的平衡條件或穩定條件。從上例看到，當轉移概率基本不變時，隨著時間的推移，A、B企

10、業產品市場占有率逐期下降，C產品市場占有率逐期上升，但變化的速率隨后續周期而逐漸變小。到第十周期后A，B、C三家企業的產品市場占有率就基本保持不變了。所謂平衡條件就是各企業銷售份額不再隨周期發生變化的條件。25因此，我們可以根據定理將某一周期銷售份額的概率向量乘以轉移概率之后，得出與該周期銷售份額完全相同的概率向量的方法，來確定平衡條件。仍以上題為例。我們從表中看到進行到第十周期時S(0)(0.388，0.275，0.387)，再進行下去轉移后的狀態已不再變化，那么這一點是否就是平衡點呢?我們根據平衡條件的定義進行計算并比較其計算結果。26根據平衡條件，如果上例出現平衡狀態。則上一期狀態經過轉

11、移后其狀態應當不變，即相鄰兩個周期各企業的產品市場占有率相同，如用轉移矩陣表示則應為：并且滿足各產品市場占有率之和等于1條件，即 27如以分別代表平衡狀態A，B，C企業產品的市場占有率，則達到平衡狀態時，應有下列關系式成立：式中銷售概率向量：為該系統的平衡條件。28于是上例在平衡狀態有29 以上方程組有4個方程，而只有3個未知量，故知有一個方程不獨立，可以去掉一個方程，解出三個平衡狀態值去掉任意方程后，解上述聯立方程組得： 30即平衡系統的平衡條件這個結果與上面逐期進行計算所得結果完全相同，這表明，三種產品的市場占有率分別達到38.8，27.5，38.7 時，且轉移概率不變，該系統達到平衡狀態

12、，此時三種產品市場占有率不再隨周期的后 延而變化。 31在計算上述平衡狀態時，我們僅使用了狀態轉移概率矩陣，而沒有涉及到現在周期或初始的系統狀態，可見系統的平衡狀態僅與轉移概率有關，而與系統的初始狀態無關 (各狀態分量不為零時)，就是說，只有轉移概率才能決定最終的平衡狀態。馬爾柯夫過程分析，可以用于預測和對策分析，即可以預測出事物狀態經過一段時間轉入其它狀態時所占的比例，也可根據某些轉移矩陣確定出事物在遠期(平衡狀態時)所占的比例，并由此選擇經營策略，制定分階段的最優對策。32 本章所討論的問題僅限于一階馬爾柯夫過程分析，沒有涉及二階或高階馬爾柯夫過程，即假定系統轉移至一次狀態的概率僅取決于該系統前一狀態的結果，但是在