1、第五節 二次函數的圖象及性質, 貴陽五年中考命題規律)年份題型題號考查點考查內容分值總分(1)求二次函數表達二次函數的式； (2)求2016解答25動點過程線1212圖象及性質段的最大值； (3)探索點的坐標給出拋物線經過 x 軸上兩點坐標：二次函數的(1)判斷字2015解答24母符號；1212圖象及性質(2)確定表達式； (3)探索點的坐標給出拋物線經過兩點坐標： (1)求二次函數的表達式；(2)求平移2014解答25圖象及圖象1212后字母的范的平移圍； (3)分類討論以某邊為底的等腰三角形2013填空15二次函數的根據性質求4性質字母范圍根據圖象求： (1)頂解答23二次函數的點坐標；1

2、014圖象(2) 直線表達式； (3)直線與拋物1/182012選擇解答命題規律命題預測線交點坐標二次函數的根據圖象確定最大值、310圖象及性質最小值根據圖象上的點的坐標求： (1) 二二次函數的次函數表達121525式； (2) 四圖象及性質邊形的面積； (3) 探索存在性縱觀貴陽市年中考，二次函數圖象及性質在中考中一般設置 12道題，分值為 12 15分，在解答、選擇、填空均有涉及，但在解答題當中必然出現且分值 10 12分預計 2017年貴陽中考，二次函數圖象及性質是必考內容，涉及內容為已知拋物線上的點的坐標，求表達式及探索其他問題，學生務必加大訓練力度 .2/18, 貴陽五年中考真題及

3、模擬)二次函數的圖象及性質(7 次)1( 2013 貴陽 15 題 4 分 ) 已知二次函數y x2 2mx 2，當 x 2 時， y 的值隨 x 值的增大而增大，則實數 m的取值范圍是_m 2_2( 2012 貴陽 10 題 3 分 ) 已知二次函數y ax2 bx c(a 0) 的圖象如圖所示，當 5 x 0 時，下列說法正確的是 (B)A有最小值 5、最大值 0B有最小值 3、最大值 6C有最小值0、最大值63/18D有最小值2、最大值63( 2013 貴陽 23 題 10 分) 已知：直線y ax b 過拋物線y x2 2x 3 的頂點 P，如圖所示：(1) 頂點 P 的坐標是 _(

4、1， 4) _；(2) 若直線 y axb 經過另一點A(0 ，11) ，求出該直線的表達式；(3) 在 (2) 的條件下，若有一條直線y mxn 與直線 y ax b 關于 x 軸成軸對稱，求直線y mx n 與拋物線y x2 2x3 的交點坐標解： (2)y 7x 11； (3) 直線y mx n 與直線y 7x 11 關于 x 軸對稱， y mx n 過點P( 1， 4 mn，24) ，A(0 ， 11) ， 11n，m 7， n 11. y 7x11， 7x 11 x 2x 3， x1 7，x2 2， y1 60， y23， 交點坐標為 (7 ， 60) ， ( 2，3) 1 24(

5、2012 貴陽 25 題 12 分 ) 如圖 ，二次函數y2x x c 的圖象與 x 軸分別交于A、 B兩點 ，頂點 M關于 x 軸的對稱點是M.(1) 若 A( 4，0) ，求二次函數的關系式；(2) 在 (1) 的條件下，求四邊形AMBM的面積；1是否存在拋物線 y 2x2 x c，使得四邊形 AMBM 為正方形？若存在 ，請求出此拋物線的函數關系式；若不存在，請說明理由12x 12；(2)121211225解： (1)y 2x y2x x 12 2(x 2x 1) 212 2(x 1) 2 ， 頂點 M的坐標為 (1 ，25125 2 ) ， A( 4， 0) ，對稱軸為 x1， 點 B

6、 的坐標為 (6 ， 0) ， AB6 ( 4) 6 410， SABM 2 10 242 ， 頂點 M 關于 x 軸的對稱點是 M ， S四邊形AMBM 2S 2 2 125； (3) 存在拋物線y 2x x 2，ABM使得四邊形 AMBM 為正方形理由如下：令12A(x1， 0) ， B(x 2，y 0，則 2xx c 0，設點 A， B 的坐標分別為114ac b22c 10) ，則 x1 x2 2 2，x1 x2 22c， AB ，點 M 的縱坐標為：4a 2 ， 頂點 M 關于 x 軸的對1 2c213稱點是 M ，四邊形 AMBM 為正方形 ， 2212

7、2，又拋物線，整理得 ， 4c 4c 3 0，解得 c 2， c22113123與 x 軸有兩個交點 ， b 4ac ( 1)4 2c0，解得 c2， c的值為 2，故存在拋物線y 2x x 2，使得四邊形AMBM為正方形15( 2014 貴陽 25 題 12 分 ) 如圖 ，經過點 A(0 ， 6) 的拋物線y2x2 bx c 與 x 軸相交于B( 2， 0) ， C 兩點(1) 求此拋物線的函數關系式和頂點D 的坐標；(2) 將 (1) 中求得的拋物線向左平移1 個單位長度 ，再向上平移m(m 0) 個單位長度得到新拋物線y1，若新拋物線 y1 的頂點 P 在 ABC內，求 m的取值范圍在

8、 (2) 的結論下 ，新拋物線 y1 上是否存在點 Q，使得 QAB是以 AB 為底邊的等腰三角形？請分析所有可能出現的情況，并直接寫出相對應的m的取值范圍解： (1)y121212 2x 2x 6， D(2 ， 8) ； (2) y1 2(x 2 1) 8 m，y 2(x 1) 8 m， P(1 ， m 8) ，1在拋物線12 2x 6中易知 C(6 ，0) ， 直線 AC 為 y x 6，當 x 1 時， y 5， 5m 80，解得y 2x221031033m8； (3) 當 3m18 時，存在兩個 Q 點，可作出兩個等腰三角形；當m 18 時，存在一個 Q 點，可作出一103個等腰三角形

9、；18 m_0， b 4ac _0； ( 選填 “ ”或 “ ”)若該拋物線關于直線 x 2 對稱，求拋物線的函數表達式；(3) 在 (2) 的條件下，連接AC， E 是拋物線上一動點，過點E 作 AC 的平行線交x 軸于點F. 是否存在這樣的點E，使得以A， C， E， F 為頂點所組成的四邊形是平行四邊形？若存在，求出滿足條件的點E 的坐標；若不存在，5/18請說明理由1 24解： (2)y 3x 3x 4；(3) 存在 ( ) 假設存在點E，使得以 A， C， E， F 為頂點所組成的四邊形是平行四邊形，過點C 作 CE x 軸，交拋物線于點E，如圖 1，過點 E 作 EFAC，交 x

10、軸于點 F，則四邊形ACEF即為滿足條124對稱， 由拋物線的對稱性可知E 點的橫坐標為 4，又件的平行四邊形 ， 拋物線 y 3x3x 4 關于直線 x 2 OC 4，E 點的縱坐標為 4，存在點E(4， 4) ( ) 假設在拋物線上還存在點E，使得以A， C，F，E為頂點所組成的四邊形是平行四邊形，如圖2，過點 E作 EF AC交 x 軸于點 F，則四邊形ACFE即為滿足條件的平行四邊形， ACEF， ACEF，過點E作 EG x 軸于點 G， ACEF， CAO EFG，又 COA EGF 90，ACEF， CAO EFG， EGCO 4，點 E的124E 的坐標縱坐標是 4，4 3x3

11、x 4，解得 x1 2 2，x2 2 2， 點 E 的坐標為 (2 2， 4) ，同理可得點為(2 2，4) 圖 16/18圖 27( 2016 貴陽 25 題 12 分 ) 如圖，直線y 5x5 交 x 軸于點 A，交 y 軸于點 C，過 A，C 兩點的二次函數yax24x c 的圖象交x 軸于另一點B.(1) 求二次函數的表達式；(2) 連接 BC，點 N 是線段 BC上的動點，作NDx 軸交二次函數的圖象于點D，求線段 ND長度的最大值；(3) 若點 H 為二次函數y ax2 4x c 圖象的頂點 ，點 M(4， m) 是該二次函數圖象上一點，在x 軸、 y 軸上分別找點 F， E，使四

12、邊形 HEFM的周長最小，求出點 F， E 的坐標溫馨提示：在直角坐標系中，若點 P， Q 的坐標分別為 P(x 1， y1) ，Q(x 2， y2) ，當 PQ平行 x 軸時 ，線段 PQ的長度可由公式 PQ|x x | 求出；當 PQ平行 y 軸時，線段 PQ的長度可由公式PQ |y y | 求出1212解： (1) 直線 y 5x 5交 x 軸于點 A，交 y 軸于點 C， A( 1， 0) ， C(0， 5) ， 二次函數 y ax 2 4xc的圖象過 A，C 兩點 ，0 a4 c，a 1，y x2 4x 5；c2，解得 c 5， 二次函數的表達式為7/18(2) 點 B 是二次函數的

13、圖象與x 軸的交點 ， 由二次函數的表達式為y x2 4x 5 得，點 B的坐標 B(5 ，5k b 0，k 1，0) ，設直線 BC表達式為 y kx b，直線 BC過點 B(5 ， 0) ， C(0 ，5) ， b 5，解得 b5， 直線 BC表達式為 y x5，設 ND的長為 d， N 點的橫坐標為n，則 N 點的縱坐標為 n 5， D 點的坐標為 D(n ， n2 4n222 5) ，則 d | n4n 5 ( n 5)| ，由題意可知： n 4n 5 n 5， d n 4n 5 ( n 5)2522552525n 5n (n 2) 4 ， 當 n 2時， d 有最大值 ，d 最大 4

14、 ，線段 ND長度的最大值是4 ； (3) 由題意可得二次函數的頂點坐標為H(2 ，9) ，點 M的坐標為 M(4， 5) ，作點 H(2 ， 9) 關于 y 軸的對稱點H，則點 H 的坐標為 H( 1112，9) ，作點 M(4， 5) 關于 x 軸的對稱點 M1，則點 M1 的坐標為 M1(4 ， 5) ，連接 H1M1 分別交 x 軸于點 F，y 軸于點E，所以 H1M1 HM的長度是四邊形HEFM的最小周長 ，則點 F、E 即為所求 ，設直線H1M1 表達式為y k1xb1，直線 H1M1 過點 M1(4 ， 5 4k1 b1，1371313， H1( 2， 9) ，根據題意得方程組

15、9 2k1 b1，解得 ， y 3x 3 ， 點 F， E 的坐標分別為 ( 7 ， 0) ，13(0， 3)8/18, 中考考點清單 )二次函數的概念及表達式1定義：一般地，如果兩個變量x 和 y 之間的 函數關系 ，可以表示成y ax2 bx c(a ， b，c 是常數 ，且 a0) ，那么稱 y 是 x 的二次函數，其中， a 叫做二次項系數， b 叫做一次項系數， c 叫做常數項2三種表示方法：一般式： yax2 bxc(a 0) ；(2) 頂點式： ya(x h) 2k(a 0) ，其中二次函數的頂點坐標是 ( h， k) ；(3) 交點式： y a(x x1)(x x2)(a 0)

16、 ，其中 x1， x2為拋物線與x 軸交點的橫坐標二次函數的圖象及性質( 高頻考點 )3圖象性質9/18二次函數y ax2 bx c(a ， b， c 為常函數圖象數， a 0)對稱軸頂點坐標增減性最值b直線 x 2ab4ac b2b4ac b2( 2a，4a)( 2a，4a)bb在對稱軸的左側，即x 2a時， y 隨在對稱軸的左側，即當 x 2a時， yx 的增大而減小；在對稱軸的右側，即隨 x 的增大而增大；在對稱軸的右側，bb當 x 2a時， y 隨 x 的增大而增大，即當 x 2a時， y 隨 x 的增大而減簡記為左減右增小，簡記為左增右減bb拋物線有最低點，當 x 2a時， y拋物線

17、有最高點，當x 2a時， y 有有最小值， y 最小值 4ac b2最大值， y 最大值 4ac b24a4a4系數 a， b， c 與二次函數的圖象關系項目字母字母符號圖象的特征aa 0a 0bb 0ab 0(b 與 a 同號 )ab 0(b 與 a 異號 )cc 0c 0c 0b2 4ac2b 4ac 02b 4ac 02b 4ac 0特殊關系當 x 1 時， y a b c 當 x 1 時， y a b c若 ab c 0，即 x 1 時， y 0 若 ab c 0，即 x 1 時， y 0開口向上開口向下對稱軸為y 軸對稱軸在y 軸左側對稱軸在y 軸右側經過原點與 y 軸正半軸相交與

18、y 軸負半軸相交與 x 軸有唯一交點 ( 頂點 ) 與 x 軸有兩個不同交點與 x 軸沒有交點10/18二次函數與一元二次方程的關系5當拋物線與x 軸有兩個交點時，兩交點的橫坐標就是對應的一元二次方程的兩個不相等的實數根6當拋物線與x 軸只有一個交點時，該交點的橫坐標就是對應的一元二次方程的兩個相等的實數根7當拋物線與x 軸沒有交點時，對應的一元二次方程無實數根, 中考重難點突破)二次函數的圖象及性質【例 1】 ( 2016 蘭州中考 ) 二次函數yx2 2x 4 化為 ya(x h) 2k 的形式 ，下列正確的是()A y(x 1) 2 2B y (x 1) 23C y(x 2) 22D y

19、 (x 2) 2411/18【解析】根據配方法進行配方可解【學生解答】 B1( 2016 上海中考 ) 如果拋物線y x2 2 向下平移 1 個單位長度 ，那么所得新拋物線的表達式是(C )A y(x 1) 22B y (x 1) 222 4x 4 向左平移Cy x2 1D y x232( 2016 山西中考 ) 將拋物線 y x3 個單位長度 ，再向上平移 5個單位長度 ，得到拋物線的表達式為 ( D )A y(x 1) 2 13B y (x 5) 23 y(x 5) 2 13 y (x 1) 232CD3( 2016 貴陽適應性考試 ) 若二次函數 9的圖象經過A( 1， y ) ， B(

20、1， y ) ， C(3 ， y ) 三點，yx 6x123則關于 y1，y2，y3 大小關系正確的是 ( A ) y1y 2y3 y1y3y2ABC y2y 1y3D y3y1y2拋物線 yax2 bx c(a 0) 的圖象與a，b， c 的關系12/18【例2】( 2016 泰安中考 ) 二次函數y ax 2 bxc 的圖象如圖所示，那么一次函數y ax b 的圖象大致是( ),A),B),C),D)b【解析】由二次函數的圖象可知a0， 2a0，所以 b 0，所以 yax b 經過一、二、四象限【學生解答】 A13/18c4( 2016 賀州中考 ) 拋物線 yax2 bxc 的圖象如圖所

21、示，則一次函數y ax b 與反比例函數y x在同一平面直角坐標系內的圖象大致為(B ),A),B)14/18,C),D)a5( 2016 自貢中考 ) 二次函數y ax 2 bx c 的圖象如圖 ，反比例函數yx與正比例函數y bx 在同一坐標系內大致圖象是(C ),A),B)15/18,C),D)6( 2016 煙臺中考 ) 二次函數yax2 bxc 的圖象如圖所示，下列結論： 4acb； 2a b0.其中正確的是 (B )ABCD二次函數表達式的確定【例3】 ( 2015寧波中考 ) 如圖 ，已知二次函數 y ax2 bx c 的圖象過A(2， 0) ， B(0 ， 1) 和 C(4， 5) 三點(1) 求二次函數的表達式；(2) 設二次函數的圖象與x 軸的另一個交點為 D，求點 D 的坐標；16/18在同一坐