1、第第1313章章 非正弦周期電流電路非正弦周期電流電路非正弦周期信號非正弦周期信號13.1周期函數分解為傅里葉級數周期函數分解為傅里葉級數13.2有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率13.3非正弦周期電流電路的計算非正弦周期電流電路的計算13.4對稱三相電路中的高次諧波對稱三相電路中的高次諧波13.5本章重點本章重點和信號的頻譜和信號的頻譜2. 2. 非正弦周期函數的有效值和平均功率非正弦周期函數的有效值和平均功率l 重點重點3. 3. 非正弦周期電流電路的計算非正弦周期電流電路的計算1. 1. 周期函數分解為傅里葉級數周期函數分解為傅里葉級數13.1 13.1 非正弦周期信號非正

2、弦周期信號 生產實際中，經常會遇到非正弦周期電流電生產實際中，經常會遇到非正弦周期電流電路。在電子技術、自動控制、計算機和無線電技路。在電子技術、自動控制、計算機和無線電技術等方面，電壓和電流往往都是周期性的非正弦術等方面，電壓和電流往往都是周期性的非正弦波形。波形。l 非正弦周期交流信號的特點非正弦周期交流信號的特點(1) 不是正弦波不是正弦波 (2) 按周期規律變化按周期規律變化)()(nTtftf例例2示波器內的水平掃描電壓示波器內的水平掃描電壓周期性鋸齒波周期性鋸齒波例例1 1半波整流電路的輸出信號半波整流電路的輸出信號脈沖電路中的脈沖信號脈沖電路中的脈沖信號 Tt例例3 3交直流共存

3、電路交直流共存電路例例4 4+V Es 13.2 13.2 周期函數分解為傅里葉級數周期函數分解為傅里葉級數ttfTd )(0若周期函數滿足狄利赫利條件：若周期函數滿足狄利赫利條件：周期函數極值點的數目為有限個；周期函數極值點的數目為有限個；間斷點的數目為有限個；間斷點的數目為有限個；在一個周期內絕對可積，即：在一個周期內絕對可積，即：可展開成收斂的傅里葉級數可展開成收斂的傅里葉級數注意 一般電工里遇到的周期函數都能滿足一般電工里遇到的周期函數都能滿足狄利赫利條件。狄利赫利條件。直流分量直流分量基波（和原基波（和原函數同頻）函數同頻）二次諧波二次諧波（2倍頻）倍頻） 高次諧波高次諧波)cos(

4、)(110kkkmtkAAtf)cos()(1110tAAtfm)2cos(212tAm)cos(1nnmtnA周期函數展開成傅里葉級數：周期函數展開成傅里葉級數：sincos)(1110tkbtkaatfkkktkbtkatkAkkkkm111sincos )cos(也可表示成：也可表示成：kkkkkmkkkmkkkkmabAbAabaAaAarctansin cos2200系數之間的關系為：系數之間的關系為：20112011000)(d)sin()(1)(d)cos()(1d)(1ttktfbttktfattfTaAkkT求出求出A0、ak、bk便可得到原函數便可得到原函數 f(t) 的展

5、開式。的展開式。系數的計算：系數的計算：利用函數的對稱性可使系數的確定簡化利用函數的對稱性可使系數的確定簡化偶函數偶函數0 )()(kbtftf0 )()(katftf奇函數奇函數奇諧波函數奇諧波函數0 )2()(22kkbaTtftf注意 T/2t T/2f (t) o T/2t T/2f (t) otf (t)T/2To周期函數的頻譜圖：周期函數的頻譜圖：m1kAk的圖形的圖形 幅度頻譜幅度頻譜 11117 5 3 Akmok1相位頻譜相位頻譜 的圖形的圖形 1kk周期性方波信號的分解周期性方波信號的分解例例1解解圖示矩形波電流在一個周期內的表達式為：圖示矩形波電流在一個周期內的表達式為：

6、TtTTtItiS2 020 )(m2d1d)(102/0mTTmSOItITttiTI 直流分量：直流分量：諧波分量：諧波分量：20) (dsin)(1ttktibSKK為偶數為偶數K為奇數為奇數20)cos1(0kItkkImmtT/2TSimIo0sin12)(dcos)(2020tkkIttktiamSk22k2kkkIbabAmK（k為奇數）為奇數）si的展開式為：的展開式為：)5sin513sin31(sin22tttIIimmSttt基波基波直流分量直流分量三次諧波三次諧波五次諧波五次諧波七次諧波七次諧波周期性方波波形分解周期性方波波形分解基波基波直流分量直流分量直流分量直流分量

7、+ +基波基波三次諧波三次諧波直流分量直流分量+ +基波基波+ +三次諧波三次諧波)5sin513sin31(sin22tttIIimmStT/2TSimIIS01si3si5siIS01si3si5si等效電源等效電源)5sin513sin31(sin22tttIIimmS11117 5 3 Akmo矩形波的矩形波的幅度幅度頻譜頻譜tT/2TSimI11117 5 3 k1o-/21kk矩形波的矩形波的相位頻譜相位頻譜20200)(dcos 0)(dsinttkttk13.3 13.3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率1. 1. 三角函數的性質三角函數的性質正弦、余弦信號一個

8、周期內的積分為正弦、余弦信號一個周期內的積分為0。k整數整數 sin2、cos2 在一個周期內的積分為在一個周期內的積分為。)(dcos )(dsin202202ttkttk 0)(dsinsin 0)(dcoscos0)(dsincos202020ttptkttptkttptkpk 三角函數的正交性三角函數的正交性2. 2. 非正弦周期函數的有效值非正弦周期函數的有效值)cos()(10kkkmtkIIti若若則有效值則有效值: :)(dcos1)(d1201002ttkIITttiTITkkkmT)(dcos12010ttkIITITkkkm d)(cos102122TkkkmIttkIT

9、 d102020TItIT 0d)cos(2100TkttkIT 0d)cos()cos(210TqqmkkmttqItkITqk 21220kkmIII 周期函數的有效值為直流分量及各周期函數的有效值為直流分量及各次諧波分量有效值平方和的方根。次諧波分量有效值平方和的方根。 222120 IIII結論3. 3. 非正弦周期函數的平均值非正弦周期函數的平均值00d)(1IttiTIT其直流值為：其直流值為：)cos()(10kkkmtkIIti若若其平均值為：其平均值為：TavttiTI0d)(1正弦量的平均值正弦量的平均值(絕對平均值絕對平均值)為：為： 898. 0dcos10TmavIt

10、tITI4.4.非正弦周期交流電路的平均功率非正弦周期交流電路的平均功率TtiuTP0d1)cos()(10ukkkmtkUUtu)cos()(10ikkkmtkIIti利用三角函數的正交性，得：利用三角函數的正交性，得：.)( cos210100PPPIUIUPikukkkkkk平均功率直流分量的功率各次諧波的平均功率平均功率直流分量的功率各次諧波的平均功率 coscos 22211100IUIUIUP結論 13.4 13.4 非正弦周期電流電路非正弦周期電流電路的計算的計算1. 1. 計算步驟計算步驟對各次諧波分別應用相量法計算；（注意對各次諧波分別應用相量法計算；（注意: :交流交流各諧

11、波的各諧波的 XL、XC不同，對直流不同，對直流 C 相當于開路、相當于開路、L 相于短路。）相于短路。）利用傅里葉級數，將非正弦周期函數展開成若利用傅里葉級數，將非正弦周期函數展開成若干種頻率的諧波信號；干種頻率的諧波信號；將以上計算結果轉換為瞬時值迭加。將以上計算結果轉換為瞬時值迭加。2. 2. 計算舉例計算舉例例例1方波信號激勵的電路。求方波信號激勵的電路。求u, 已知：已知：s28. 6 A157pF1000 mH1 20TICLRm、tT/2TSimI解解(1) (1) 方波信號的展開式為：方波信號的展開式為：)5sin51 3sin31(sin22tttIIimmSs28. 6 ,

12、A157 TIm代入已知數據：代入已知數據：0RLCuSi直流分量：直流分量：A5 .78215720IImA 10014.357.1221mmII基波最大值：基波最大值：A205115mmII五次諧波最大值：五次諧波最大值：rad/s101028.614.32266T角頻率：角頻率：三次諧波最大值：三次諧波最大值：A3.333113mmIIA5 .780SI 電流源電流源各頻率的諧波分量為：各頻率的諧波分量為：A10sin10061tisA103sin310063tisA105sin510065tis （2 2） 對對各次諧波分量單獨計算：各次諧波分量單獨計算：（a) a) 直流分量直流分量

13、 IS0 作用作用A5 .780SI電容斷路，電感短路電容斷路，電感短路mV57. 1105 .7820600SRIURu0SI（b)基波作用基波作用A 10sin10061tisk11010k110100010113611261LCk50)( j)j ()j()(1RCLRXXXXRXXRZCLCLCLXLRmV2500050210100(6111）ZIURLCu1Si(c)三次諧波作用三次諧波作用A 103sin310063tis03333119.895 .374)( j)j)(j()3(CLCLXXRXXRZk3101033k33. 01010001031313611261LC06133

14、19.895 .3742103 .33)3(ZIUSmV2 .89247.120RLCu3Si(d)五次諧波作用五次諧波作用A105sin510065tis53.893 .208)5( j)j)(j()5(55551CLCLXXRXXRZk5101055k2 . 01010001051513611261LCmV53.892166. 453.893 .20821020)5(615s5ZIURLCu5Si (3)各各諧波分量計算結果瞬時值迭加：諧波分量計算結果瞬時值迭加：mV)53.895sin(166.4 )2 .893sin(47.12 sin500057.15310tttuuuUumV57.

15、 10UmV2 .89247.123UmV250001UmV53.892166. 45UV. )42000cos(601000cos12030: ttu已知已知求電路中各表讀數求電路中各表讀數( (有效值有效值) ) 。例例2V1L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30bcdA3A2V2V1A1a解解(1)u0=30V作用于電路，作用于電路，L1、L2短路，短路，C1、C2開路。開路。i0= iL20 = u0/R =30/30=1A, iC10=0, uad0= ucb0 = u0 =30VaiiC1iL2L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30bcdaiC10i

16、L20L1C1C2L2+_30bcdu0i0(2) u1=120cos1000t V作用作用40102510001111010101000 40104010006213231CCLLV01201U00cb1211UIILA90340j0120j1111UCICV012011adUU1U1I11CI21LIj40j40j40j10a+_30bcd并聯諧振并聯諧振(3) u2=60cos(2000t+ /4)V作用作用20102520001212120101020002 ,801040200026213231CCLLV45602UA45320j4560j22122LUIL0122CIIV4560

17、0 2cb2ad2UUU2I12CI22LIj80j20j20j202Ua+_30bcd并聯諧振并聯諧振i=i0+ i1 + i2 =1A 所求電壓、電流的瞬時值為：所求電壓、電流的瞬時值為：iC1= iC10 +iC11 +iC12 =3cos(1000t+90) AiL2= iL20 +iL21 +iL22 =1+3cos(2000t 45) Auad= uad0 + uad1 + uad2 =30+120cos1000t Vucb= ucb0 + ucb1 + ucb2 =30+60cos(2000t+45) VA 1I表表A1的讀數：的讀數：2.12A 2/3表表A2的讀數：的讀數：A

18、35. 2)2/3(122表表A3的讀數：的讀數：V90)2/120(3022表表V1的讀數：的讀數：V0 .52)2/60(3022表表V2的讀數：的讀數：例例3已知已知u(t)是周期函數，波形如圖，是周期函數，波形如圖，L=1/2 H，C=125/ F，求理想變壓器原邊電流求理想變壓器原邊電流i1(t)及輸及輸出電壓出電壓u2的有效值。的有效值。2410.5u/Vt/ms12解解rad/s102/23T) cos(1212)(ttuA5 . 18/121i（1 1）當）當u=12V作用時，作用時，電容開路、電感短路，電容開路、電感短路，有：有：02u*C1i2i+2u+2 : 18Lu*o

19、作作用用時時( (2 2) )當當) cos(12 tu410125102163CXC-j42Uj0012*1I+2 : 18*2I00121I+8j4-j4+1U1102110233LXLA3 j4 j124 j1UIV01201UUV061012UnUV243. 4262UA)90cos(35 . 101ti振幅相量振幅相量例例4求求Uab、i、及功率表的讀數。及功率表的讀數。V)303cos(2100cos2220 Vcos2220021ttutu : :已知已知解解一次諧波作用：一次諧波作用：V04400)1(abUA4 .1896. 620j604400)1(I三次諧波作用：三次諧波

20、作用：V301000)3(abUA1518. 160j603010000)3(IV22.45110044022abUA)153cos(218. 1)4 .18cos(296. 600ttiW92.14524 .18cos96. 6220P測的是測的是u1的功率的功率I+60j20+1UWab2U*例例5L=0.1H，C31F，C1中只有基波電流，中只有基波電流，C3中中只有三次諧波電流，只有三次諧波電流，求求C1、C2和各支路電流。和各支路電流。A 3000cos101000cos205ttis: :已已知知解解FLC52210911C1中只有基波電流，說明中只有基波電流，說明L和和C2對三次

21、諧波發對三次諧波發生并聯諧振。即：生并聯諧振。即：1i100LC3C2C1200Si2i3i1i100LC3C2C1200Si2i3i0)1( jj1221CLCLC C3中只有三次諧波電流，說明中只有三次諧波電流，說明L、C1、C2對一對一次諧波發生串聯諧振。即：次諧波發生串聯諧振。即：F109851C直流作用：直流作用：5AS1 iiA 1000cos20)(S2titi一次諧波作用：一次諧波作用：三次諧波作用：三次諧波作用：A4823. 2310j2001001010003)3(3IA1167. 810j930100)3(3)3( 1IIISA)113000cos(67. 85)(01t

22、tiA)483000cos(23. 2)(03tti1i100LC3C2C1200Si2i3i2iSi1i100C3200Si3i 13.5 13.5 對稱三相電路中的高次諧波對稱三相電路中的高次諧波)(AtuuBC2(),()33TTuu tuu tBC2(),()33TTuu tuu t設設展開成傅里葉級數展開成傅里葉級數( ( k 為奇數為奇數) ) ，則有：，則有：Am( )1cos()kkuUkt Bm( )12 cos()3kkkuUkt Cm( )12 cos()3kkkuUkt A相相B相相C C相相 1. 1. 對稱三相電路中的高次諧波對稱三相電路中的高次諧波令令 k =6n

23、+1，(n =0,1,2)，即：即：k =1,7,13 討論各相的初相分別為：各相的初相分別為： A相相B相相C C相相)(k2(4 )3kn2(4 )3kn正序對稱正序對稱三相電源三相電源令令 k =6n+3，即：即：k =3,9,15 各相的初相分別為：各相的初相分別為： 零序對稱零序對稱三相電源三相電源令令 k =6n+5，即：即：k =5,11,17 A相相B相相C C相相)(k(21)2)kn(21)2)knA相相B相相C C相相)(k2(22)2)3kn2(22)2)3kn各相的初相分別為：各相的初相分別為： 負序對稱負序對稱三相電源三相電源結論三相對稱的非正弦周期量（奇諧波）可分解為三相對稱的非正弦周期量（奇諧波）可分解為3 3類對稱組，即正序對稱組、負序對稱組和零序類對稱組，即正序對稱組、負序對稱組和零序對稱組。對稱組。在上述對稱的非正弦周期電壓源作用下的對稱三在上述對稱的非正弦周期電壓源作用下的對稱三相電路的分析計算，按相電路的分析計算，按3 3類對稱組分別進行。對于類對稱組分別進行。對于正序和負序對稱組，可直接引用第正序和負序對稱組，可直接引用第1212章的方法和章的方法和有關結論，有關結論， 2. 2. 零序組分量的響應零序組分量