1、要甜的，要甜的，好吃的！好吃的！ 從前有一位富翁想吃芒果從前有一位富翁想吃芒果, ,打發他打發他的仆人到果園去買的仆人到果園去買, ,并告訴他并告訴他:要甜的要甜的, ,好吃好吃的的, ,你才買你才買.仆人拿好錢就去了仆人拿好錢就去了. .到了果園到了果園, ,園主說園主說:我這里樹上的芒果個個都是我這里樹上的芒果個個都是甜的甜的, ,你嘗一個看你嘗一個看.仆人說仆人說:我嘗一個怎能知道我嘗一個怎能知道全體呢全體呢 我應當個個都嘗過我應當個個都嘗過, ,嘗一個買一個嘗一個買一個, ,這樣這樣最可靠最可靠.仆人于是自己動手摘芒果仆人于是自己動手摘芒果, ,摘一個嘗一摘一個嘗一口口, ,甜的就都買

2、回去甜的就都買回去. .帶回家去帶回家去, ,富翁見了富翁見了, ,覺得覺得非常惡心非常惡心, ,一齊都扔了一齊都扔了. .嘗一個嘗一個 ，怎么知道全體呢？怎么知道全體呢？我得嘗一個買一我得嘗一個買一個個嘗一個，怎么嘗一個，怎么知道全體呢？知道全體呢？我得嘗一個買我得嘗一個買一個一個想一想：想一想：故事中仆人的做法實際嗎？故事中仆人的做法實際嗎？換作你，換作你，你會怎么做你會怎么做？第一個芒果是甜的第一個芒果是甜的第二個芒果是甜的第二個芒果是甜的第三個芒果是甜的第三個芒果是甜的這個果園這個果園的芒果都的芒果都是甜的是甜的已知已知判斷判斷前提新的新的判斷判斷結論世界近代世界近代三大數學三大數學難

3、題難題1852年，英國人年，英國人弗南西斯弗南西斯格思里格思里為為地圖著色時，提出了四色猜想地圖著色時，提出了四色猜想.每幅地圖可以用四種顏色著色，使得每幅地圖可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的相鄰區域上著不同色有共同邊界的相鄰區域上著不同色. 19761976年，美國數學家年，美國數學家阿佩爾阿佩爾與與哈肯哈肯在兩臺計算機上，在兩臺計算機上，用了用了12001200個小時，完成了四色猜想的證明個小時，完成了四色猜想的證明. .費馬最后定理費馬最后定理,歷經三百多年的歷史歷經三百多年的歷史,這這個數學難題是由英國的數學家個數學難題是由英國的數學家威利斯威利斯（Andrew Wiles）199

4、4所解決所解決 據說歌德巴赫無意中據說歌德巴赫無意中觀察到觀察到： 3710，31720，131730， 偶數奇質數奇質數偶數奇質數奇質數改寫為改寫為:1037，20317，30131763+3， 1000100029+97129+971，83+5， 1002=139+863,105+5, 125+7，147+7，165+11,18 =7+11,， 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach(Goldbach Conjecture) Conjecture)世界近代三大數學世界近代三大數學難題難題之一。哥德巴赫是德國一位之一。哥德巴赫是德國一位中學教師，也是一位著名的數學家，生于中學教師，也是一

5、位著名的數學家，生于16901690年，年，17251725年當選為俄國彼得堡科學院院士。年當選為俄國彼得堡科學院院士。17421742年，哥年，哥德巴赫在教學中發現，每個不小于德巴赫在教學中發現，每個不小于6 6的偶數都是兩的偶數都是兩個素數（只能被和它本身整除的數）之和。如個素數（只能被和它本身整除的數）之和。如6 63 33 3，12125 57 7等等。等等。公元公元17421742年年6 6月月7 7日哥德巴赫日哥德巴赫(Goldbach(Goldbach) )寫信寫信給當時給當時的大數學家歐拉的大數學家歐拉(Euler)(Euler)，提出了以下的，提出了以下的猜想猜想: : (a

6、) (a) 任何一個任何一個=6=6之偶數，都可以表示成兩個奇質之偶數，都可以表示成兩個奇質數之和。數之和。 (b) (b) 任何一個任何一個=9=9之奇數，都可以表示成三個奇質之奇數，都可以表示成三個奇質數之和。數之和。這就是著名的哥德巴赫猜想。歐拉在這就是著名的哥德巴赫猜想。歐拉在6 6月月3030日給他的回信中說，他日給他的回信中說，他相信這個猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡單的問題，相信這個猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡單的問題，連歐拉這樣首屈一指的數學家都不能證明，這個猜想便引起了連歐拉這樣首屈一指的數學家都不能證明，這個猜想便引起了許許多數學家的注意多數學家的注意。從

7、提出這個猜想至今，許多數學家都不斷努力。從提出這個猜想至今，許多數學家都不斷努力想攻克它，但都沒有成功。當然曾經有人作了些具體的驗證工作想攻克它，但都沒有成功。當然曾經有人作了些具體的驗證工作，例如，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 : 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 1

8、8 = 5 + 13, . . . . . 等等。有人對等等。有人對3333108108以內且大過以內且大過6 6之偶數一一進行驗算，哥德之偶數一一進行驗算，哥德巴赫猜想巴赫猜想(a)(a)都成立。但嚴格的數學證明尚待數學家的努力。都成立。但嚴格的數學證明尚待數學家的努力。從此，這道著名的數學難題引起了世界上成千上萬數學家的注意從此，這道著名的數學難題引起了世界上成千上萬數學家的注意。200200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數學皇冠年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數學皇冠上一顆可望不可及的上一顆可望不可及的“明珠明珠”。到了。到了2020世紀世紀2020年代，才有人

9、開始年代，才有人開始向它靠近。向它靠近。19201920年年挪威數學家布爵挪威數學家布爵用一種古老的篩選法證明，得用一種古老的篩選法證明，得出了一個結論：每一個比出了一個結論：每一個比6 6大的偶數都可以表示為（大的偶數都可以表示為（9+99+9）。這種）。這種縮小包圍圈的辦法很管用，科學家們于是從（縮小包圍圈的辦法很管用，科學家們于是從（9 9十十9 9）開始，逐步）開始，逐步減少每個數里所含質數因子的個數，直到最后使每個數里都是一減少每個數里所含質數因子的個數，直到最后使每個數里都是一個質數為止，這樣就證明了個質數為止，這樣就證明了“哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想”。 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(

10、Goldbach Conjecture)目前目前最佳最佳的結果是中國數學家陳景潤于的結果是中國數學家陳景潤于19661966年年證明的，稱為證明的，稱為陳氏定理陳氏定理(Chens Theorem) (Chens Theorem) 即即 “任何充份大的偶數都是一個質數與一個自然任何充份大的偶數都是一個質數與一個自然數之和，而後者僅僅是兩個質數的乘積。數之和，而後者僅僅是兩個質數的乘積。” ” 通常都簡稱這個結果為大偶數可表示為通常都簡稱這個結果為大偶數可表示為 “ “1 + 1 + 2 2 ” ”的形式。的形式。哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)在陳景潤之前，關

11、於偶數可表示為在陳景潤之前，關於偶數可表示為s s個質數的乘積與個質數的乘積與t t個質數的乘積個質數的乘積之和之和( (簡稱簡稱“s + t ”s + t ”問題問題) )之進展情況如下之進展情況如下: :19201920年，挪威的布朗年，挪威的布朗(Brun(Brun) )證明了證明了 “ “9 + 9 ”9 + 9 ”。19241924年，德國的拉特馬赫年，德國的拉特馬赫(Rademacher(Rademacher) )證明了證明了“7 + 7 ”7 + 7 ”。19321932年，英國的埃斯特曼年，英國的埃斯特曼(Estermann(Estermann) )證明了證明了 “ “6 +

12、6 ”6 + 6 ”。19371937年，意大利的蕾西年，意大利的蕾西(Ricei(Ricei) )先後證明了先後證明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 ”和和“2 + 366 ”2 + 366 ”。19381938年，蘇聯的布赫年，蘇聯的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao(Byxwrao) )證明了證明了“5 + 5 ”5 + 5 ”。19401940年，蘇聯的布赫年，蘇聯的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao(Byxwrao) )證明了證明了 “ “4 + 4 ”4 + 4 ”。19481948年，匈牙利的瑞尼年，匈

13、牙利的瑞尼(Renyi(Renyi) )證明了證明了“1 + c ”1 + c ”，其中，其中c c是一很大的自然數。是一很大的自然數。19561956年，中國的王元證明了年，中國的王元證明了 “ “3 + 4 ”3 + 4 ”。19571957年，中國的王元先後證明了年，中國的王元先後證明了 “ “3 + 3 ”3 + 3 ”和和 “ “2 + 3 ”2 + 3 ”。19621962年，中國的潘承洞和蘇聯的巴爾巴恩年，中國的潘承洞和蘇聯的巴爾巴恩(BapoaH(BapoaH) )證明了證明了 “ “1 + 5 ”1 + 5 ”， 中國的中國的王元證明了王元證明了“1 + 4 ”1 + 4 ”

14、。19651965年，蘇聯的布赫夕太勃年，蘇聯的布赫夕太勃(Byxwrao(Byxwrao) )和小維諾格拉多夫和小維諾格拉多夫(BHHopappB(BHHopappB) )，及意大利，及意大利的朋比利的朋比利(Bombieri(Bombieri) )證明了證明了“1 + 3 ”1 + 3 ”。19661966年，中國的陳景潤證明了年，中國的陳景潤證明了 “ “1 + 2 ”1 + 2 ”。最終會由最終會由誰誰攻克攻克 “ “1 + 11 + 1 ” ”這個難題呢？這個難題呢？現在還沒法預測。現在還沒法預測。也許是在座的也許是在座的其中一位或幾其中一位或幾位位歌德巴赫猜想的提出過程：歌德巴赫猜

15、想的提出過程： 3710，31720，131730， 歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想: :“任何一個不小于任何一個不小于6 6的偶數都等于兩個奇質的偶數都等于兩個奇質數之和數之和”即即: :偶數奇質數奇質數偶數奇質數奇質數改寫為改寫為:1037，20317，30131763+3， 1000100029+97129+971，83+5， 1002=139+863,105+5, 125+7，147+7，165+11,18 =7+11,， 這樣的猜想學過的知識中有沒有？你能舉幾個例子嗎？這樣的猜想學過的知識中有沒有？你能舉幾個例子嗎？這類猜想有什么這類猜想有什么共同特點？共同特點？12 n1+3+(2n1)

16、=n21+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，銅能導電銅能導電鋁能導電鋁能導電金能導電金能導電銀能導電銀能導電一切金屬一切金屬都能導電都能導電.三角形內角和三角形內角和為為凸四邊形內角凸四邊形內角和為和為凸五邊形內角凸五邊形內角和為和為 180360540凸凸n邊形邊形內角和為內角和為.1802n調查得知某市調查得知某市甲、乙、丙、甲、乙、丙、丁四所高中學丁四所高中學生普遍認為數生普遍認為數學是嚴肅枯燥學是嚴肅枯燥的。的。全市高中全市高中生普遍認生普遍認為數學是為數學是枯燥的枯燥的.第一個數為第一個數為2第二個數為第二個數為4第三個數

17、為第三個數為6第四個數為第四個數為8第第n個個數為數為2n.部分部分個別個別整整 體體一一 般般這類猜想有什么這類猜想有什么共同特點？共同特點？這種由某類事物的這種由某類事物的部分對象部分對象具有某些具有某些特征特征, ,推出該類事物的推出該類事物的全部對象全部對象都具都具有這些特征的推理有這些特征的推理, ,或者由或者由個別個別事實事實概栝出概栝出一般一般結論的推理結論的推理, ,稱為稱為歸納推歸納推理理.(.(簡稱：歸納簡稱：歸納) )1、歸納推理的定義、歸納推理的定義:簡言之簡言之, ,歸納推理是由歸納推理是由部分到整體部分到整體、由由個別到一般個別到一般的推理。的推理。成語成語”一葉知

18、秋一葉知秋”例如：例如： 磨擦雙手（磨擦雙手（S S1 1 ）能產生熱（）能產生熱（P P），）， 敲擊石頭（敲擊石頭（S S2 2 ）能產生熱（）能產生熱（P P） ， 錘擊鐵塊（錘擊鐵塊（S S3 3 ）能產生熱（）能產生熱（P P） ， 磨擦雙手、敲擊石頭、錘擊鐵塊都是物質運動；磨擦雙手、敲擊石頭、錘擊鐵塊都是物質運動； 所以，物質運動能產生熱。所以，物質運動能產生熱。應用歸納推理可以應用歸納推理可以發現新事實發現新事實, ,獲得新結論獲得新結論! !2、歸納推理的一般步驟：、歸納推理的一般步驟： 檢驗猜想檢驗猜想。 提出帶有規律性的結論，即提出帶有規律性的結論，即猜想猜想； 對對有限有

19、限的資料進行觀察、分析、的資料進行觀察、分析、 歸納整理；歸納整理；需證明需證明？試驗、觀察試驗、觀察概括、推廣概括、推廣猜測一般性結論猜測一般性結論例例4.如圖所示有三根針和套在一根針上的若干金屬片如圖所示有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按按下列規則下列規則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.1.每次只能移動一個金屬片每次只能移動一個金屬片;2.較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.試推測試推測:把把n個金屬片從個金屬片從1號針移到號針移到3號針號針,最少需要移動多最少需要移動多少次少次?123123金屬片金屬片

20、設設 為把為把 個金屬片從個金屬片從1號針移到號針移到3號針的最少次數，則號針的最少次數，則nann1a123金屬片金屬片金屬片金屬片金屬片金屬片金屬片金屬片設設 為把為把 個金屬片從個金屬片從1號針移到號針移到3號針的最少次數，則號針的最少次數，則nann1an2a1233 221aa 1 33a金屬片金屬片金屬片金屬片金屬片金屬片金屬片金屬片設設 為把為把 個金屬片從個金屬片從1號針移到號針移到3號針的最少次數，則號針的最少次數，則nann1an2a123金屬片金屬片金屬片金屬片金屬片金屬片金屬片金屬片設設 為把為把 個金屬片從個金屬片從1號針移到號針移到3號針的最少次數，則號針的最少次數

21、，則nann1an2a3 221aa 1 33a1233a 15 n=4時時,n=3時時,23a n=2時時,n=1時時,11a 37a 221aa 1 3a4a 4a 15n=4時時,n=3時時,23a n=2時時,n=1時時,11a 37a 221aa 11,121,2nnnaan 331aa 121nnaa數列數列是首項為是首項為2公比為公比為 的的12nna 21nna 12342222215211 7212 5 7216 5 5 3 7221n任何形如任何形如 的數都是質數的數都是質數這就是著名的這就是著名的費馬猜想費馬猜想觀察到都是質數觀察到都是質數,進而進而猜想猜想:半個世紀后半個世紀后, ,歐拉發現第歐拉發現第5 5個費馬數個費馬數