1、會計學12.5等比數列的前等比數列的前n項和項和(1)第一頁，編輯于星期五：十三點 二十三分。（一）（一）知識回顧：知識回顧： 2.通項公式：通項公式： 11nnqaa3.等比數列的主要性質：等比數列的主要性質： 在等比數列在等比數列 中，若中，若 則則 ( ) ( ) naqpnmqpnmaaaa Nqpnm, 成等比數列成等比數列 bGa,abG2(G,a,b 0)1.等比數列的定義：等比數列的定義： qnnaa 1Nnq, 0（常數（常數） （ ）,m nmnqaag第1頁/共28頁第二頁，編輯于星期五：十三點 二十三分。64個格子個格子1223344551667788你想得到什么樣的賞

2、賜？陛下，賞小人一些麥粒就可以。OK請在第一個格子放1顆麥粒請在第二個格子放2顆麥粒請在第三個格子放4顆麥粒請在第四個格子放8顆麥粒 依次類推第2頁/共28頁第三頁，編輯于星期五：十三點 二十三分。你認為國王你認為國王有能力滿足有能力滿足上述要求嗎上述要求嗎每個格子里的麥粒數都是每個格子里的麥粒數都是前 一個格子里麥粒數的一個格子里麥粒數的2倍且共有且共有64格子格子2213263220212?第3頁/共28頁第四頁，編輯于星期五：十三點 二十三分。由剛才的例子可知：實際上就是一個以由剛才的例子可知：實際上就是一個以1為首項，為首項，2為公比的等比數列的前為公比的等比數列的前64項的求和問題，

3、即：項的求和問題，即： 842164S 636222 把上式左右兩邊同乘以把上式左右兩邊同乘以2 2 得：得：646322842264S16+由由- - 得：得：126464S=184467440737095516151.841910錯位相減法錯位相減法第4頁/共28頁第五頁，編輯于星期五：十三點 二十三分。第5頁/共28頁第六頁，編輯于星期五：十三點 二十三分。nnnaaaaaS 132111212111 nnnqaqaqaqaaS即即“請你用請你用錯位相減法錯位相減法或者或者其他方法其他方法在這兩個式子中在這兩個式子中任選一個任選一個進行研究進行研究”第6頁/共28頁第七頁，編輯于星期五：

4、十三點 二十三分。已知：等比數列已知：等比數列 ，公比為，公比為 ， naq21aaSn na，如何用，如何用 qna,1來表示來表示 解：解： 2111qaqaaSn11nqa兩邊同時乘以兩邊同時乘以 q 得：得： nqS211qaqannqaqa111 - - 得：得：nnqaaSq11)1 (當當 時時1qqqannS1)1(11q當當 時時1naSn說明：這種求和方法稱為說明：這種求和方法稱為錯位相減法錯位相減法第7頁/共28頁第八頁，編輯于星期五：十三點 二十三分。等比數列的前項和公式等比數列的前項和公式：)1()1(11)1(1qnaqSqqann或：或：)1()1(111qnaq

5、Sqqaann第8頁/共28頁第九頁，編輯于星期五：十三點 二十三分。注注（1）公式中涉及公式中涉及 五個量五個量 “知三求二知三求二” (方程思想方程思想) （2）選擇合適的公式，簡化運算過程）選擇合適的公式，簡化運算過程 q1時，已知時，已知首項和公比首項和公比，用，用 已知已知首項和末項首項和末項，用，用nnSanqa,1qqaSnn1)1(1qqaaSnn11第9頁/共28頁第十頁，編輯于星期五：十三點 二十三分。方法二：方法二：Sn = a1 + a2 + + an= a1 + a1q + a1q2 + + a1 qn-1= a1 + q ( a1 + a1q + + a1 qn-2

6、 )= a1 + q Sn-1= a1 + q ( Sn an ) ( 1 q ) Sn = a1 q an當當q1時時 Sn a1( 1 qn )1 - q=a1 - an q1 - q當當q1時時Sn = n a1第10頁/共28頁第十一頁，編輯于星期五：十三點 二十三分。方法三：方法三： 21aa32aa1nnaqa23121nnaaaqaaa1nnnsaqsa當當q1時時 Sn a1( 1 qn )1 - q=a1 - an q1 - q當當q1時時Sn = n a1第11頁/共28頁第十二頁，編輯于星期五：十三點 二十三分。解解:由由211a212141q8n得得： 2562551)

7、(182182121S191148127,0.243aaq例 1 求 下 列 等 比 數 列 前 8項 的 和 ：1 （ 1） ， ， ， ；2 （ 2）（1）第12頁/共28頁第十三頁，編輯于星期五：十三點 二十三分。第13頁/共28頁第十四頁，編輯于星期五：十三點 二十三分。 第14頁/共28頁第十五頁，編輯于星期五：十三點 二十三分。閱讀程序，回答下列問題：閱讀程序，回答下列問題： （1）程序中的）程序中的AN、SUM分別表示什么，為什么？分別表示什么，為什么？（2）請根據程序分別計算當）請根據程序分別計算當n = 6，11，16時，時，各個矩形的面積的和（不必計算機上運行程序）。各個矩

8、形的面積的和（不必計算機上運行程序）。第15頁/共28頁第十六頁，編輯于星期五：十三點 二十三分。1)33,nxn解:( 當把 軸上的區間0,3分成n等分時，各等分的長都是即各矩形的底都是 。3 3 23 (1),.,.nnnn顯然分點的橫坐標分別是2從各分點作y軸的平行線與y=9-x 的圖像相交，交點的縱坐標分別是：22233 23 (1)9,9,.,9 ,nnnn（ ）（）它們分別是相應矩形的高。第16頁/共28頁第十七頁，編輯于星期五：十三點 二十三分。222333 233 (1)39,9,.,9 .nnnnnnn這樣，各個矩形的面積分別是 （ ）（）所以，程序中的AN表示第k個矩形的面

9、積，SUM表示前k個矩形面積的和。第17頁/共28頁第十八頁，編輯于星期五：十三點 二十三分。（2）根據程序，當n=6時，5個矩形的面積的和就是輸入N=6時，SUM的最后一個輸出值。即SUM=15.625(這里精確到小數點后3位）同理，當n=11時，10個矩形的面積的和就是輸入N=11時，SUM的最后一個輸出值。即SUM=16.736。當n=16時，15個矩形的面積的和SUM=17.139。第18頁/共28頁第十九頁，編輯于星期五：十三點 二十三分。練習： 2 2、求：、求：（1 1）等比數列）等比數列1 1，2 2，4 4，從第從第5 5項到第項到第1616項的和。項的和。（1 1）a a1

10、 1=3=3、q=2q=2、n=6 n=6 ；1 1、根據下列各題的條件，求相應的等比數列、根據下列各題的條件，求相應的等比數列 aan n 的前的前n n項和項和S Sn n：（2 2）a a1 1=8=8、a an n=0.5 =0.5 。（2 2）等比數列）等比數列 從第從第3 3項到第項到第7 7項和。項和。333,24816416422SS3127293128SS第19頁/共28頁第二十頁，編輯于星期五：十三點 二十三分。1. 根據下列條件，求相應的等比數列根據下列條件，求相應的等比數列 的的第20頁/共28頁第二十一頁，編輯于星期五：十三點 二十三分。,111qqannS,1na(

11、 q=1).(q1).1.已知則qna,1,11qqaannS,1na( q=1).(q1).已知則qaan,12.對含字母的題目一般要分別考慮q=1和q1兩種情況。第21頁/共28頁第二十二頁，編輯于星期五：十三點 二十三分。填填 表表數數 列列 等等 差差 數數 列列 等等 比比 數數 列列 前前 n 項項 和和 公公 式式推導方法推導方法 21nnaan S dnnna211 qqann 111Sqqaan 11 1 q【注意】在應用等比數列的前【注意】在應用等比數列的前n n項和公式時考慮項和公式時考慮 . .倒序相加倒序相加錯位相減錯位相減公比是否為公比是否為1第22頁/共28頁第二

12、十三頁，編輯于星期五：十三點 二十三分。新時代的豬八戒不新時代的豬八戒不再是貪吃膽小懶做再是貪吃膽小懶做，而是堂堂正正的，而是堂堂正正的企業大老板企業大老板八八戒養豬集團公司戒養豬集團公司，有一天，他要，有一天，他要擴大業務，出現擴大業務，出現資金周轉不足，資金周轉不足，于是他就去找當于是他就去找當年的大師兄孫猴年的大師兄孫猴子幫忙子幫忙 哈哈，我是CEO了西游記后傳第23頁/共28頁第二十四頁，編輯于星期五：十三點 二十三分。周轉不靈周轉不靈西游記后傳第24頁/共28頁第二十五頁，編輯于星期五：十三點 二十三分。西游記后傳No problem！我每天！我每天給你投資給你投資100萬元，萬元， 連續一個月連續一個月(30天天)，但，但有一個條件：有一個條件：猴哥猴哥,能不能幫能不能幫幫我幫我第一天返還第一天返還1 1元，元，第二天返還第二天返還2 2元，元，第三天返還第三天返還4 4元元后一天返還數為前一天的后一天返還數為前一天的2 2倍倍 第一天出元入萬第一天出元入萬；第二天出元入；第二天出元入